지수 로그함수의 그래프 성질과 대칭이동을 활용한 좌표 추론
곡선 $y = \log_{16}(8x+2)$ 위의 점 $A(a, b)$ 와 곡선 $y = 4^{x-1} - \frac{1}{2}$ 위의 점 $B$ 가 제 1 사분면에 있다.
점 $A$ 를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점이 직선 $OB$ 위에 있고 선분 $AB$ 의 중점의 좌표가 $\left(\frac{77}{8}, \frac{133}{8}\right)$ 일 때,
$a \times b = \frac{q}{p}$ 이다. $p + q$ 의 값을 구하시오.
(단, O는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]
이 문항은 고등학교 수학 I 과정의 지수함수와 로그함수의 그래프 성질 및 고등학교 수학의 도형의 이동, 평면좌표의 성질을 종합적으로 연계하여 해결할 수 있는지 평가합니다.
점 $A(a, b)$ 가 곡선 $y = \log_{16}(8x+2)$ 위의 점이므로 다음 식을 얻을 수 있습니다.
점 $A(a, b)$ 를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 $A'$ 라 하면, 도형의 대칭이동 성질에 의해 다음과 같습니다.
조건에서 점 $A'$ 가 원점 $O(0,0)$ 과 곡선 $y = 4^{x-1} - \frac{1}{2}$ 위의 점 $B(x_B, y_B)$ 를 지나는 직선 $OB$ 위에 있다고 하였습니다. 세 점 $O, A', B$ 가 한 직선 위에 있고 두 점 $A', B$ 가 모두 제 1 사분면에 있으므로, 양의 실수 $k$ 에 대하여 점 $B$ 의 좌표는 점 $A'$ 의 $k$ 배로 표현할 수 있습니다.
점 $B(kb, ka)$ 가 곡선 $y = 4^{x-1} - \frac{1}{2}$ 위에 있으므로 식을 세우면 다음과 같습니다.
식 (1)에서 구한 $2^{4b} = 8a+2$ 와 비교하기 위하여 식 (2)의 양변에 $4$ 를 곱하여 형태를 맞춰줍니다.
이제 식 (1)과 식 (3)의 밑과 지수, 계수의 형태를 비교하여 두 식이 모순 없이 성립하게 만드는 상수 $k$ 의 값을 구합니다.
$k = 2$ 일 때 식 (3)의 좌변과 우변은 다음과 같이 변형됩니다.
따라서 $2(8a + 2) = 2 \cdot 2^{4b}$ 가 되므로 양변을 $2$ 로 나누면 다음과 같습니다.
이는 식 (1)과 완벽히 동일한 식이 됩니다! 그러므로 문제의 조건을 만족하는 비례 상수는 $k = 2$ 임을 알 수 있습니다.
$k = 2$ 이므로 점 $B$ 의 좌표는 $B(2b, 2a)$ 입니다.
선분 $AB$ 의 중점 $M$ 의 좌표가 $\left(\frac{77}{8}, \frac{133}{8}\right)$ 이므로 선분의 중점 구하는 공식을 적용합니다.
각 성분별로 식을 정리하여 연립방정식을 세웁니다.
식 (5)에서 $b$ 를 정리하면 다음과 같습니다.
이를 식 (4)에 대입하여 일차방정식을 풉니다.
구한 $a$ 값을 대입하여 $b$ 의 값을 구합니다.
구한 값 $A\left(\frac{63}{4}, \frac{7}{4}\right)$ 이 원래 로그함수 식 $y = \log_{16}(8x+2)$ 에 성립하는지 확인합니다.
$b = \frac{7}{4}$ 가 정확히 성립합니다! 이제 두 좌표의 곱 $a \times b$ 의 값을 계산합니다.
$441$ 과 $16$ 은 공약수가 $1$ 뿐인 서로소인 자연수이므로, $p = 16$, $q = 441$ 입니다.
따라서 최종적으로 구하고자 정하는 값은 다음과 같습니다.
$y = a^x$ 와 $y = \log_a x$ 는 서로 역함수 관계에 있으며, 밑이 같은 지수함수와 로그함수의 그래프는 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭입니다.
점 $P(x, y)$ 를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $P'(y, x)$ 가 됩니다.
좌표평면 위의 두 점 $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$ 를 이은 선분 $PQ$ 의 중점 $M$ 의 좌표는 $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ 입니다.
서로 다른 세 점 $O(0,0)$, $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$ 가 한 직선 위에 있을 조건은 원점과 두 점을 각각 이은 두 직선의 기울기가 같다는 것입니다. 즉, $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$ 가 성립합니다.
오류 : "두 곡선이 완벽한 역함수 관계인 줄 착각하여 점 $B$ 의 좌표를 대칭점 $A'$ 와 같은 $(b, a)$ 로 두고 푸는 경우"
대칭이동이라는 조건과 지수 로그함수라는 조건만 보고 두 함수 $y = 4^{x-1} - \frac{1}{2}$ 와 $y = \log_{16}(8x+2)$ 가 완벽한 역함수 관계라고 어림짐작하여 $B(b, a)$ 로 두고 계산을 진행하는 실수를 자주 합니다.
하지만 대칭점 $A'(b, a)$ 는 지수함수 곡선 위가 아니라 '직선 $OB$' 위에 있는 점이므로, 비례 관계를 나타내는 미지수 $k$ 를 사용하여 $B(kb, ka)$ 로 설정해야 올바른 식을 세울 수 있습니다.
로그함수 $y = \log_{16}(8x+2)$ 의 역함수를 직접 구해보겠습니다.
로그의 정의에 의해 $16^y = 8x+2$ 이며, 이를 $x$ 에 관하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$ x = \frac{16^y - 2}{8} = \frac{1}{8} \cdot 16^y - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \cdot (4^2)^y - \frac{1}{4} = 4^{2y-\frac{3}{2}} - \frac{1}{4} $$
따라서 $x$ 와 $y$ 를 바꾸면 역함수 식은 $y = 4^{2x-\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}$ 입니다.
이는 문제에 주어진 지수함수 곡선 $y = 4^{x-1} - \frac{1}{2}$ 과 일치하지 않으므로 두 곡선은 서로 역함수 관계가 아닙니다.
따라서 대칭이동한 점 $A'$ 가 지수곡선 위에 위치할 수 없으며, 단지 $OB$ 선상에 있는 비례 구조의 점임을 파악해야 합니다.
원점 $O$ 와 제 1 사분면의 두 점 $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$ 가 한 직선 위에 있기 위한 조건을 유도합니다.
정리 :
원점 $O(0,0)$ 과 두 점 $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$ 가 한 직선 위에 있다면, 양의 실수 $k$ 에 대하여 $x_2 = kx_1$, $y_2 = ky_1$ 가 성립한다.
증명 :
원점 $O(0,0)$ 과 제 1 사분면의 점 $P(x_1, y_1)$ 을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$ y = \frac{y_1}{x_1} x $$
점 $Q(x_2, y_2)$ 역시 동일한 직선 위에 있으므로 이 직선의 방정식에 대입하면 다음이 성립합니다.
$$ y_2 = \frac{y_1}{x_1} x_2 \implies \frac{y_2}{y_1} = \frac{x_2}{x_1} $$
이 비율의 값을 양의 실수 $k$ 라 놓겠습니다.
$$ \frac{x_2}{x_1} = k, \quad \frac{y_2}{y_1} = k \quad (k > 0) $$
각각의 분모를 양변에 곱해주면 다음을 얻을 수 있습니다.
$$ x_2 = k x_1 , \quad y_2 = k y_1 $$
따라서 세 점 $O, P, Q$ 가 한 직선 위에 있으면 점 $Q$ 의 좌표를 $(kx_1, ky_1)$ 와 같이 나타낼 수 있음이 증명됩니다. $\blacksquare$
인터랙티브 관찰 및 조작 가이드
슬라이더로 점 A의 위치를 제어할 수 있습니다.
그래프 영역 마우스 휠 스크롤/터치 줌으로 확대 축소가 가능하며, 마우스 드래그로 화면을 자유롭게 이동할 수 있어 기하학적 세밀함을 눈으로 끝까지 추적할 수 있습니다.