2026학년도 수능 미적분 25번 해설 및 시뮬레이터

수능 출제 분석

수열의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)를 활용한 극한값 추론

Q 문제 원문

수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여

\sqrt{9n^2 - 5} + 2n < a_n < 5n + 1

을 만족시킬 때, $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(a_n + 2)^2}{na_n + 5n^2 - 2}$ 의 값은? [3점]

① $\frac{1}{2}$

② $\frac{3}{2}$

③ $\frac{5}{2}$

④ $\frac{7}{2}$

⑤ $\frac{9}{2}$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 수열의 극한 단원에서 가장 중요하게 다루어지는 수열의 극한의 대소 관계(일명 샌드위치 정리)를 정확히 이해하고 적용할 수 있는지를 평가합니다.

부등식으로 주어진 수열 $a_n$의 점근적 거동(극한값)을 파악하는 역량
극한의 기본 성질을 활용하여 복잡한 유리식 형태의 극한을 계산 가능한 형태로 식을 조작하는 대수적 역량
무한대 분의 무한대 ($\frac{\infty}{\infty}$) 꼴의 극한에서 최고차항의 계수를 비교하여 극한값을 도출하는 계산력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

수열 $a_n$의 점근적 거동 파악

주어진 부등식의 양변을 양수인 자연수 $n$으로 나누어 극한값을 계산할 수 있는 형태로 만듭니다.

\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{9n^2 - 5} + 2n}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt{\frac{9n^2 - 5}{n^2}} + 2 \right) $$ $$ = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt{9 - \frac{5}{n^2}} + 2 \right) = \sqrt{9 - 0} + 2 = 3 + 2 = 5

다음으로 우변의 극한을 계산합니다.

\lim\limits_{n \to \infty} \frac{5n + 1}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 5 + \frac{1}{n} \right) = 5 + 0 = 5

좌변과 우변의 극한값이 모두 5로 수렴하므로, 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 5$ 입니다.

[참고도 1 : 샌드위치 정리에 의한 수렴 거동 (2D)]

Step 2

구하고자 하는 극한식의 대수적 변형

문제에서 요구하는 극한식은 다음과 같습니다.

\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(a_n + 2)^2}{na_n + 5n^2 - 2}

Step 1에서 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 5$ 임을 알았으므로, 주어진 식을 $\frac{a_n}{n}$ 형태가 나타나도록 변형해야 합니다. 분모의 최고차항이 $n^2$ 에 비례하므로, 분자와 분모를 각각 $n^2$ 으로 나누어 줍니다.

\frac{(a_n + 2)^2}{n^2} = \frac{(a_n + 2)^2}{n^2} = \left( \frac{a_n + 2}{n} \right)^2 = \left( \frac{a_n}{n} + \frac{2}{n} \right)^2

마찬가지로 분모도 $n^2$으로 나눕니다.

\frac{na_n + 5n^2 - 2}{n^2} = \frac{na_n}{n^2} + \frac{5n^2}{n^2} - \frac{2}{n^2} = \frac{a_n}{n} + 5 - \frac{2}{n^2}

따라서 주어진 극한식은 다음과 같이 재구성됩니다.

\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\left( \frac{a_n}{n} + \frac{2}{n} \right)^2}{\frac{a_n}{n} + 5 - \frac{2}{n^2}}

[참고도 2 : 차수 분석에 따른 분모/분자 스케일링 변형]

Step 3

극한의 기본 성질을 이용한 최종 계산

이제 극한의 수렴 성질에 따라 각각의 극한값을 대입합니다. $n \to \infty$ 일 때, $\frac{1}{n}$ 과 $\frac{1}{n^2}$ 은 모두 0으로 수렴합니다.

\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0, \quad \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} = 0 $$ $$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 5

이를 종합하여 계산하면 다음과 같습니다.

\frac{\left( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n} \right)^2}{\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} + 5 - \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n^2}} = \frac{(5 + 0)^2}{5 + 5 - 0} $$ $$ = \frac{5^2}{10} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}

따라서 구하는 극한값은 $\frac{5}{2}$ 입니다. 정답은 3번입니다.

3 이론 매칭

수열의 극한의 대소 관계 (샌드위치 정리) 극한의 기본 성질 다항식과 무리식의 점근적 거동 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 극한 계산

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 : $a_n$ 식 자체를 임의로 확정하는 오류

학생들은 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 5$ 라는 사실에서 넘어가서, $a_n = 5n$ 으로 단정짓고 대입하여 푸는 실수를 종종 범합니다. 물론 객관식의 경우 답이 도출될 수는 있으나, 이는 서술형 평가에서 완벽한 감점 요인이며 심각한 논리적 비약입니다.

수학적 교정 및 증명

만약 $a_n = 5n + \sqrt{n}$ 인 수열이 있다고 가정해 봅시다. 이 수열도 조건을 만족합니다.

이 경우 $a_n \neq 5n$ 이며, 무한대로 갈 때의 오차항($\sqrt{n}$)이 존재합니다.

하지만 우리가 구하려는 식을 $n^2$으로 나눈 형태를 보면:

$ \frac{a_n}{n} = \frac{5n + \sqrt{n}}{n} = 5 + \frac{1}{\sqrt{n}} \to 5 $

이처럼 극한 과정에서 오차항들이 0으로 소거되기 때문에 값이 일정하게 도출되는 것입니다. 따라서 식을 $a_n = 5n$으로 고정하는 것이 아니라, 반드시 $\frac{a_n}{n}$ 의 꼴을 만들어 극한의 성질을 적용하는 식의 변형 과정이 증명되어야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 수열의 극한의 대소 관계 (샌드위치 정리)

본 문제의 근간이 되는 "수열 $a_n, b_n, c_n$ 에 대하여 $a_n \le b_n \le c_n$ 이고 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = L, \lim\limits_{n\to\infty}c_n = L$ 이면, $\lim\limits_{n\to\infty}b_n = L$ 이다." 라는 정리의 입실론-엔($\epsilon-N$) 논법을 활용한 개념적 이해 과정입니다.

임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대하여 고려해 봅시다.
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = L$ 이므로, 어떤 자연수 $N_1$ 이 존재하여 $n > N_1$ 일 때 $L - \epsilon < a_n < L + \epsilon$ 이 성립합니다.
$\lim\limits_{n\to\infty}c_n = L$ 이므로, 어떤 자연수 $N_2$ 이 존재하여 $n > N_2$ 일 때 $L - \epsilon < c_n < L + \epsilon$ 이 성립합니다.
두 조건을 모두 만족하는 $N = \max(N_1, N_2)$ 를 잡습니다.
그러면 $n > N$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $L - \epsilon < a_n \le b_n \le c_n < L + \epsilon$ 가 연속적으로 성립합니다.
결과적으로 $L - \epsilon < b_n < L + \epsilon$ 이 성립하므로, 극한의 정의에 의해 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n = L$ 임이 증명됩니다. 본 문제에서는 이를 통해 $\frac{a_n}{n}$ 이 5로 수렴함을 엄밀하게 보장받습니다.

극한 수렴 실시간 시뮬레이터 (2D)

■ 시뮬레이터 조작 가이드 및 적용 수식

$n$ 의 값을 증가시키면서, 문제에서 요구하는 복잡한 분수 형태의 극한식이 어떻게 최종 극한값 $2.5 \left(\frac{5}{2}\right)$ 에 점근적으로 수렴하는지 실시간 그래프로 시각적으로 확인해 보세요.

1. 시뮬레이터 적용 가상 수열 $a_n$

$\displaystyle a_n = \frac{(\sqrt{9n^2 - 5} + 2n) + (5n + 1)}{2}$

Q. 가상 수열이 왜 필요한가요?
문제에서는 $a_n$의 부등식(범위)만 주어졌지만, 컴퓨터 차트가 점을 찍으려면 구체적인 '숫자 값'이 필요하기 때문입니다.

Q. 가운데 '+' 기호는 무엇인가요?
부등식 조건을 항상 만족하는 가장 안전한 수열을 만들기 위해, 하한식과 상한식을 더한(+) 뒤 2로 나누어 '평균값'을 가상의 $a_n$으로 설정한 것입니다.

2. 목표 수식 $F(n)$

$\displaystyle F(n) = \frac{(a_n + 2)^2}{n \cdot a_n + 5n^2 - 2}$

자연수 $n$의 값 n = 1

■ $a_n/n$ 근사값 (상/하한 평균)

0.000

■ 목표 극한식 계산 결과

0.000 (목표 : 2.5)