수능 출제 분석

입체도형의 부피와 부분적분법

기하학적 해석부터 정적분 연산까지 이어지는 논리적 사고 과정

Q [문제 원문]

26. 그림과 같이 곡선 $y = \sqrt{x + x\ln x}$ 와 $x$축 및 두 직선 $x=1$, $x=2$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

①$\frac{\sqrt{3}(3+8\ln 2)}{16}$

②$\frac{\sqrt{3}(5+12\ln 2)}{24}$

③$\frac{\sqrt{3}(1+12\ln 2)}{16}$

④$\frac{\sqrt{3}(1+2\ln 2)}{4}$

⑤$\frac{\sqrt{3}(1+9\ln 2)}{12}$

1 [출제의도]

이 문항은 정적분을 활용한 입체도형의 부피 계산 능력과 여러 가지 함수(다항함수와 로그함수)의 적분 시 부분적분법을 정확하게 적용할 수 있는지를 평가합니다.

$x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이 $S(x)$를 함수식으로 올바르게 표현하기
정삼각형의 넓이 공식을 적용하여 피적분함수 구성하기
다항함수와 로그함수가 결합된 형태에서 적절한 부분적분법 수행하기

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

임의의 점 $x$에서의 단면의 넓이 $S(x)$ 구하기

입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자르면 단면이 항상 정삼각형이 됩니다. 이 정삼각형의 밑변은 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 사이의 선분입니다. 즉, 좌표 $x$에서 정삼각형의 한 변의 길이는 해당 지점의 함숫값 $y$와 같습니다.

정삼각형의 한 변의 길이 : $y = \sqrt{x + x\ln x}$

한 변의 길이가 $a$인 정삼각형의 넓이 공식은 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ 입니다. 이를 이용해 단면의 넓이 $S(x)$를 구합니다.

S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times y^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \sqrt{x + x\ln x} \right)^2 $$ $$ S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} (x + x\ln x)

Step 2

입체도형의 부피 $V$ 적분식 세우기

도형은 $x=1$부터 $x=2$까지 존재합니다. 입체도형의 전체 부피 $V$는 단면의 넓이 $S(x)$를 해당 구간에서 정적분한 값과 같습니다.

V = \int_{1}^{2} S(x) dx = \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{3}}{4} (x + x\ln x) dx

상수를 인테그랄 밖으로 빼고, 계산의 편의를 위해 두 개의 적분으로 분리합니다.

V = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \int_{1}^{2} x dx + \int_{1}^{2} x\ln x dx \right]

Step 3

각 항의 정적분 계산 및 부분적분법 적용

첫 번째 항 계산 : 단순 다항함수의 적분입니다.

\int_{1}^{2} x dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2}(4 - 1) = \frac{3}{2}

두 번째 항 계산 : 다항함수($x$)와 로그함수($\ln x$)가 곱해져 있으므로 부분적분법을 적용합니다.

미분하기 쉬운 함수를 $u$, 적분하기 쉬운 함수를 $v'$으로 둡니다.
$u = \ln x \implies u' = \frac{1}{x}$
$v' = x \implies v = \frac{1}{2}x^2$

\begin{aligned} \int_{1}^{2} x\ln x dx &= \left[ \frac{1}{2}x^2 \ln x \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \right) dx \\ &= \left( \frac{1}{2}(4)\ln 2 - \frac{1}{2}(1)\ln 1 \right) - \int_{1}^{2} \frac{1}{2}x dx \\ &= 2\ln 2 - \left[ \frac{1}{4}x^2 \right]_{1}^{2} \\ &= 2\ln 2 - \left( \frac{1}{4}(4) - \frac{1}{4}(1) \right) \\ &= 2\ln 2 - \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \\ &= 2\ln 2 - \frac{3}{4} \end{aligned}

Step 4

최종 부피 도출

Step 3에서 구한 두 적분값을 원래의 식에 대입합니다.

\begin{aligned} V &= \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \frac{3}{2} + \left( 2\ln 2 - \frac{3}{4} \right) \right] \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \frac{6}{4} - \frac{3}{4} + 2\ln 2 \right] \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{3}{4} + 2\ln 2 \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{3 + 8\ln 2}{4} \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}(3 + 8\ln 2)}{16} \end{aligned}

따라서 구하고자 하는 입체도형의 부피는 $$ \frac{\sqrt{3}(3+8\ln 2)}{16} $$

3 [이론 매칭]

입체도형의 부피

구간 $[a, b]$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)$일 때, 입체도형의 부피는 $V = \int_{a}^{b} S(x) dx$ 로 정의됨을 적용하였습니다.

부분적분법

두 함수의 곱으로 이루어진 함수를 적분할 때, $\int u v' dx = u v - \int u' v dx$ 를 이용하는 기법입니다. 주로 '로다삼지' 순서로 $u$를 설정합니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 정삼각형의 넓이 상수 누락

가장 흔히 발생하는 실수는 "한 변의 길이가 $y$인 단면"이라는 점에 집중한 나머지, 정삼각형의 넓이 공식인 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 상수를 곱하는 것을 잊고 $\int y^2 dx$ 로 계산해버리는 경우입니다.

수학적 해결 방안 :

이를 방지하기 위해 $V = \int S(x) dx$ 라는 원칙을 먼저 세우고, $S(x)$를 먼저 완벽히 함수로 도출한 뒤에 적분 기호 안으로 대입하는 습관을 들여야 합니다. $S(x)$를 별도의 수식 라인으로 빼내어 작성하는 것이 잔실수를 줄이는 핵심입니다.

5 [핵심 이론 증명]

단면적을 이용한 부피 공식 유도 과정

닫힌구간 $[a, b]$를 $n$개의 등분된 구간으로 나눕니다. 각 구간의 길이는 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 입니다.

임의의 부분 구간 $[x_{k-1}, x_k]$ 에서 단면의 넓이를 $S(x_k)$라고 할 때, 이 구간에 해당하는 얇은 기둥(근사된 입체)의 부피는 밑넓이 곱하기 높이의 개념으로 $\Delta V_k = S(x_k) \Delta x$ 로 근사할 수 있습니다.

입체도형 전체의 부피 $V$는 이 미소 부피들을 모두 더한 후 $n$을 무한대로 보내는 리만합의 극한으로 정의됩니다.

$$ V = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} S(x_k) \Delta x = \int_{a}^{b} S(x) dx $$

따라서 단면의 넓이가 $x$에 대한 연속함수 $S(x)$로 주어지면, 위 정적분식을 통해 정확한 부피를 도출할 수 있습니다.

기하학적 시각화 패널 (2D / 3D)

아래 슬라이더를 움직여 절단면 $x$의 위치를 변화시켜 보세요. 2D 그래프의 밑변 길이와 3D 입체의 단면(정삼각형)이 어떻게 연동되는지 직관적으로 확인할 수 있습니다.

절단면 위치 ($x$) 1.50

[2D] 밑면 영역 및 단면의 밑변

함수 $y = \sqrt{x+x\ln x}$ 의 그래프

[3D] 입체도형 및 정삼각형 단면

마우스 드래그로 회전, 휠로 확대/축소 가능합니다.

X 축

Y 축

Z 축