수능 출제 분석

매개변수로 나타낸 함수의 미분법과 교점 추론

복잡한 삼각함수 식의 단순화 및 합성함수, 곱의 미분법의 유기적 결합

Q [문제 원문]

27. 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선

$x = e^{4t}(1 + \sin^2\pi t)$, $y = e^{4t}(1 - 3\cos^2\pi t)$

를 $C$라 하자. 곡선 $C$가 직선 $y = 3x - 5e$ 와 만나는 점을 P라 할 때, 곡선 $C$ 위의 점 P에서의 접선의 기울기는? [3점]

①$\frac{3\pi-4}{\pi+4}$

②$\frac{3\pi-2}{\pi+6}$

③$\frac{3\pi}{\pi+8}$

④$\frac{3\pi+2}{\pi+10}$

⑤$\frac{3\pi+4}{\pi+12}$

1 [출제의도]

이 문항은 매개변수로 나타내어진 곡선과 직선의 기하학적 교점을 대수적 방정식으로 변환하여 해결할 수 있는지, 그리고 매개변수 함수의 미분법을 정확히 적용하여 특정 점에서의 접선의 기울기를 도출할 수 있는지를 묻습니다.

곡선과 직선의 교점을 구하기 위해 매개변수 $x(t)$, $y(t)$를 직선의 방정식에 대입하는 논리적 전개 능력
삼각함수의 항등식($\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$)을 이용하여 복잡한 식을 간결하게 정리하는 식 변형 능력
지수함수와 삼각함수가 결합된 형태에서 곱의 미분법과 합성함수의 미분법(속미분)을 실수 없이 수행하는 연산 능력

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

교점 P를 결정하는 매개변수 $t$의 방정식 세우기

점 P는 매개변수 $t$로 정의된 곡선 $C$와 직선 $y = 3x - 5e$ 가 만나는 점입니다. 따라서 곡선의 $x$좌표와 $y$좌표를 결정하는 함수 $x(t)$와 $y(t)$를 직선의 방정식에 그대로 대입하여, 교점 P에서의 매개변수 $t$의 값을 구해야 합니다.

직선의 방정식 $y = 3x - 5e$ 에 $x = e^{4t}(1 + \sin^2\pi t)$, $y = e^{4t}(1 - 3\cos^2\pi t)$ 를 대입합니다.

e^{4t}(1 - 3\cos^2\pi t) = 3 \left\{ e^{4t}(1 + \sin^2\pi t) \right\} - 5e

Step 2

삼각함수 항등식을 이용한 식의 정리 및 $t$ 값 도출

지수항 $e^{4t}$를 포함하는 항들을 좌변으로 모두 모아서 식을 정리해 봅시다.

e^{4t}(1 - 3\cos^2\pi t) - 3e^{4t}(1 + \sin^2\pi t) = -5e $$ $$ e^{4t} \left\{ (1 - 3\cos^2\pi t) - (3 + 3\sin^2\pi t) \right\} = -5e $$ $$ e^{4t} \left\{ 1 - 3\cos^2\pi t - 3 - 3\sin^2\pi t \right\} = -5e

괄호 안의 식에서 공통인수 $-3$을 묶어내면 삼각함수 항등식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 을 적용할 수 있는 형태가 나타납니다.

e^{4t} \left\{ -2 - 3(\cos^2\pi t + \sin^2\pi t) \right\} = -5e $$ $$ e^{4t} \left\{ -2 - 3(1) \right\} = -5e $$ $$ -5e^{4t} = -5e

양변을 $-5$로 나누면 $e^{4t} = e^1$ 이 됩니다. 지수법칙에 의해 지수끼리 비교합니다.

교점 P에서의 매개변수 값 : $t = \frac{1}{4}$

Step 3

매개변수 함수의 미분 ($\frac{dx}{dt}$ 및 $\frac{dy}{dt}$ 계산)

점 P에서의 접선의 기울기는 $\frac{dy}{dx}$ 입니다. 매개변수 함수의 미분법에 의해 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ 로 계산합니다.
곱의 미분법과 합성함수의 미분법을 주의하여 $x(t)$와 $y(t)$를 각각 $t$에 대해 미분합니다.

1) $\frac{dx}{dt}$ 계산

$$ x = e^{4t}(1 + \sin^2\pi t) $$ $$ \frac{dx}{dt} = (e^{4t})'(1 + \sin^2\pi t) + e^{4t}(1 + \sin^2\pi t)' $$ $$ \frac{dx}{dt} = 4e^{4t}(1 + \sin^2\pi t) + e^{4t}(2\sin\pi t \cdot \cos\pi t \cdot \pi) $$ ($\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ 이지만, 나중에 대입할 것이므로 이대로 두어도 무방합니다.)

2) $\frac{dy}{dt}$ 계산

y = e^{4t}(1 - 3\cos^2\pi t) $$ $$ \frac{dy}{dt} = (e^{4t})'(1 - 3\cos^2\pi t) + e^{4t}(1 - 3\cos^2\pi t)' $$ $$ \frac{dy}{dt} = 4e^{4t}(1 - 3\cos^2\pi t) + e^{4t}\left(-3 \cdot 2\cos\pi t \cdot (-\sin\pi t) \cdot \pi\right) $$ $$ \frac{dy}{dt} = 4e^{4t}(1 - 3\cos^2\pi t) + e^{4t}(6\pi\sin\pi t\cos\pi t)

Step 4

$t = \frac{1}{4}$ 대입 및 최종 기울기 도출

Step 2에서 구한 $t = \frac{1}{4}$ 을 앞서 구한 도함수 식에 대입합니다. 이 때 $\pi t = \frac{\pi}{4}$ 가 됩니다.

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\sin^2\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$ $\cos^2\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$

\begin{aligned} \left. \frac{dx}{dt} \right|_{t=\frac{1}{4}} &= 4e^1\left(1 + \frac{1}{2}\right) + e^1\left(2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \pi\right) \\ &= 4e\left(\frac{3}{2}\right) + e(\pi) = 6e + \pi e = e(6 + \pi) \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \left. \frac{dy}{dt} \right|_{t=\frac{1}{4}} &= 4e^1\left(1 - 3\left(\frac{1}{2}\right)\right) + e^1\left(6\pi \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ &= 4e\left(-\frac{1}{2}\right) + e(3\pi) = -2e + 3\pi e = e(3\pi - 2) \end{aligned}

따라서 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$ 는 다음과 같습니다.

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{e(3\pi - 2)}{e(6 + \pi)} = \frac{3\pi - 2}{\pi + 6}

곡선 $C$ 위의 점 P에서의 접선의 기울기는 $$ \frac{3\pi - 2}{\pi + 6} $$

3 [이론 매칭]

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

두 변수 $x$, $y$가 매개변수 $t$의 함수 $x=f(t), y=g(t)$ 로 주어질 때, $\frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$ (단, $f'(t) \neq 0$) 임을 적용하였습니다.

합성함수 및 곱의 미분법

$\sin^2\pi t = (\sin\pi t)^2$ 와 같이 거듭제곱 형태를 미분할 때 겉미분과 속미분($\pi$ 도출)을 연쇄적으로 적용하는 원리를 사용하였습니다.

삼각함수의 항등식

어떤 각도 $\theta$에 대해서도 항상 성립하는 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 을 이용하여, 복잡한 지수-삼각 혼합 방정식을 단순한 지수 방정식으로 치환하는 핵심 열쇠로 활용했습니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 합성함수 속미분 시 상수 $\pi$ 누락 오류

학생들이 시간 압박 속에서 미분을 진행할 때, $(\sin^2\pi t)' = 2\sin\pi t \cdot \cos\pi t$ 까지만 적고, 내부 함수인 $\pi t$ 의 미분인 $\pi$를 곱하는 것을 잊어버리는 치명적인 실수를 자주 범합니다. 이 경우 오답 선지로 직행하게 됩니다.

수학적 해결 및 증명 :

$h(t) = (f(g(t)))^2$ 형태의 미분입니다. 연쇄법칙(Chain Rule)에 의해 단계별로 치환하여 미분함을 명심해야 합니다.

$u = \sin\pi t$ 로 두면, 구하고자 하는 식은 $u^2$의 미분입니다.
$ \frac{d}{dt}(u^2) = \frac{d(u^2)}{du} \cdot \frac{du}{dt} = 2u \cdot (\sin\pi t)' $

다시 $v = \pi t$ 로 두면,
$ (\sin v)' = \frac{d(\sin v)}{dv} \cdot \frac{dv}{dt} = \cos v \cdot \pi $

따라서 최종적으로 $ 2(\sin\pi t) \cdot (\cos\pi t) \cdot \pi $ 가 됨을 구조적으로 인지해야 합니다.

5 [핵심 이론 증명]

매개변수로 나타낸 함수의 미분법 유도

매개변수 $t$로 나타낸 곡선 $x = f(t)$, $y = g(t)$ 가 주어졌고, $f(t)$ 와 $g(t)$ 가 모두 미분가능하며 $f'(t) \neq 0$ 이라고 가정합니다.

매개변수 $t$의 증분 $\Delta t$ 에 대한 $x, y$ 의 증분을 각각 $\Delta x, \Delta y$ 라고 하면, 접선의 기울기를 나타내는 도함수 $\frac{dy}{dx}$ 는 다음과 같이 정의를 통해 유도됩니다.

$$ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

함수 $x = f(t)$ 가 미분가능하고 $f'(t) \neq 0$ 이므로, $\Delta x \to 0$ 이면 연속성에 의해 $\Delta t \to 0$ 입니다. 분모와 분자를 $\Delta t$ 로 나눌 수 있습니다.

$$ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}} = \frac{\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}}{\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} $$

이 원리에 의해 본 문제에서 복잡한 $x, y$ 간의 직접적인 식을 구하지 않고도 $t$ 를 매개로 하여 기울기를 구할 수 있었습니다.

기하학적 시각화 패널

매개변수 $t$의 변화에 따라 2차원 평면 위에서 곡선 $C$ 가 그려지는 과정을 분석할 수 있습니다. 슬라이더를 움직여 교점 P ($t=0.25$) 에서의 접선을 확인하세요. (마우스 드래그 및 휠로 화면 이동/확대 가능)

매개변수 시간 ($t$) 0.25

x 좌표 : 0.00

y 좌표 : 0.00

[2D] $xy$-평면 투영

파란색 곡선 $C$ 와 빨간색 직선 $y=3x-5e$ (마우스 드래그 및 휠 사용)