정사영, 삼수선의 정리, 피타고라스 정리를 융합한 공간지각력 분석
그림과 같이 지름의 길이가 5인 두 원 $C_1$, $C_2$를 두 밑면으로 하는 원기둥이 있고, 원 $C_1$ 위의 $\overline{AB}=5$인 두 점 A, B와 원 $C_2$ 위의 $\overline{CD}=3$인 두 점 C, D에 대하여 $\overline{AD}=\overline{BC}$이다.
점 D에서 원 $C_1$을 포함하는 평면에 내린 수선의 발을 H라 하자. 사각형 ABCD의 넓이가 삼각형 ABH의 넓이의 4배일 때, 이 원기둥의 높이는? [3점]
이 문항은 공간도형에서 정사영과 삼수선의 정리를 활용하여 입체도형의 단면 넓이와 길이를 추론하는 능력을 종합적으로 평가합니다.
점 $C$에서 원 $C_1$을 포함하는 평면에 내린 수선의 발을 $C'$이라 합시다. 원기둥이므로 선분 $CD$의 길이와 평행 상태는 정사영된 현 $HC'$에 그대로 유지됩니다. 따라서 $\overline{HC'} = 3$입니다.
문제의 조건에서 $\overline{AB} = 5$ 이고 원 $C_1$의 지름이 $5$이므로, 선분 $AB$는 원 $C_1$의 지름입니다.
또한 3차원 공간에서 $\overline{AD} = \overline{BC}$ 이고, 원기둥의 높이를 $h$라 할 때 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립합니다.
같은 원 $C_1$ 위에서 현의 길이 $\overline{AH}$와 $\overline{BC'}$가 같으므로, 호의 길이도 같아져 두 현은 원의 중심축에 대해 대칭을 이룹니다. 결과적으로 현 $HC'$는 지름 $AB$와 평행합니다. 즉, $HC' \parallel AB$ 인 등변사다리꼴 $ABC'H$가 밑면에 형성됩니다.
선분 $AB$는 원 $C_1$의 지름이므로 원의 중심 $O$를 지납니다. 앞서 등변사다리꼴 $ABC'H$에서 $HC' \parallel AB$임을 확인했습니다.
점 $H$에서 지름 $AB$에 내린 수선의 발을 $K$라 하면, $\triangle ABH$의 높이는 선분 $HK$의 길이와 같습니다.
이 높이는 평행한 두 선분 $AB$와 $HC'$ 사이의 거리 $d$와 일치하며, 이는 원의 중심 $O$에서 현 $HC'$까지의 거리와도 동일합니다.
여기서 거리 $d$를 구하기 위해 직각삼각형 $AHK$가 아닌, 원의 중심 $O$를 이용한 직각삼각형을 설정합니다.
현 $HC'$의 중점을 $M$이라 하면, 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분하므로 $OM \perp HC'$이고 $\overline{OM} = d$가 됩니다.
직각삼각형 $OMH$에서 빗변 $OH$는 원의 반지름이므로 $\frac{5}{2}$이고, 밑변 $HM$은 현 $HC'$의 절반인 $\frac{3}{2}$입니다. 피타고라스 정리를 사용하면,
따라서 삼각형 $ABH$는 밑변이 $\overline{AB} = 5$이고 높이가 $d = 2$인 삼각형이 됩니다. 삼각형 $ABH$의 넓이를 구합니다.
사각형 $ABCD$는 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ 이고 $\overline{AD} = \overline{BC}$인 등변사다리꼴입니다.
이 등변사다리꼴의 빗면 높이를 $l$이라 할 때, 점 $D$에서 선분 $AB$에 내린 수선의 길이를 구해야 정답을 얻을 수 있습니다.
점 $D$에서 평면 $C_1$에 내린 수선이 $DH$ 이고, 점 $H$에서 평면 위의 직선 $AB$에 내린 수선의 거리가 $d=2$ 이므로, 삼수선의 정리에 의해 $l$은 다음과 같이 계산됩니다. (원기둥의 높이는 $h$)
이제 윗변이 $CD=3$, 아랫변이 $AB=5$, 높이가 $l$인 사각형 $ABCD$의 넓이를 식으로 나타냅니다.
문제의 조건 "사각형 ABCD의 넓이가 삼각형 ABH의 넓이의 4배"를 수식으로 작성합니다.
양변을 $4$로 나누고 제곱하여 원기둥의 높이 $h$를 도출합니다.
따라서 이 원기둥의 높이는 $\sqrt{21}$ 입니다.
공간 상의 도형을 한 평면에 수직으로 투영하는 변환입니다. 평행한 두 평면 사이에서 선분의 길이나 평행 상태가 그대로 보존됨을 이용했습니다.
직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같습니다. 공간 상 두 점 사이의 거리를 구할 때 평면 거리와 높이를 매개로 널리 쓰입니다.
원의 지름에 대한 원주각은 항상 직각($90^\circ$)입니다. 이 문제에서는 선분 $AB$가 중심을 지나는 지름임을 판단하는 근거로 간접 사용되었습니다.
공간 밖의 한 점에서 평면에 내린 수선, 그 발에서 평면 위 직선에 내린 수선, 원래 점에서 그 직선에 내린 수선 사이의 직교 관계를 나타냅니다.
오류 : "사각형 $ABCD$를 직사각형으로 오해하거나, 높이를 단순히 원기둥의 높이 $h$로 계산하는 경우"
평면 $C_1$과 평면 $C_2$가 평행하므로 두 현 $AB$와 $CD$는 평행합니다. 하지만 선분 $AB$는 5, $CD$는 3으로 길이가 다릅니다. 따라서 $ABCD$는 직사각형이 될 수 없으며, 공간으로 기울어진 '등변사다리꼴'입니다. 또한 이 도형의 높이는 원기둥의 높이($h$)가 아닌 기울어진 빗면의 거리($l$)를 사용해야 합니다.
사각형 $ABCD$의 높이 $l$은 점 $D$에서 직선 $AB$에 내린 수선의 길이입니다.
$D$에서 평면 $C_1$에 내린 수선의 발이 $H$이므로 $DH \perp$ (평면 $C_1$).
평면 $C_1$ 상에서 $H$로부터 직선 $AB$에 수선의 발 $K$를 내리면 $HK \perp AB$ 입니다. (본 풀이에서 길이 $d=2$ 에 해당)
삼수선의 정리에 의해 $DK \perp AB$ 가 성립하므로, $DK$ 가 바로 사다리꼴 $ABCD$의 높이 $l$이 됩니다.
직각삼각형 $DHK$에서 피타고라스 정리에 의해 $l = DK = \sqrt{DH^2 + HK^2} = \sqrt{h^2 + d^2}$ 임이 증명됩니다.
평면 $\alpha$ 밖의 점 $P$, 평면 $\alpha$ 위의 점 $O$, 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$과 그 위의 점 $H$에 대한 증명입니다.
정리 :
조건 : $PO \perp \alpha$, $OH \perp l$ 이면, 결론 : $PH \perp l$ 이다.
증명 :
1. $PO \perp \alpha$ 이고, 직선 $l$은 평면 $\alpha$ 위에 있으므로, $PO \perp l$ 이 성립합니다.
2. 조건에 의해 $OH \perp l$ 입니다.
3. 직선 $l$은 두 교차하는 직선 $PO$ 와 $OH$ 에 각각 수직입니다.
4. 한 직선이 평면 위의 교차하는 두 직선과 각각 수직이면, 그 직선은 평면 전체에 수직입니다. 따라서 직선 $l$은 두 직선 $PO$, $OH$ 가 결정하는 평면 $POH$ 전체에 수직입니다.
5. 직선 $PH$ 는 평면 $POH$ 위에 있으므로, 직선 $l$은 $PH$ 와도 수직입니다.
$\therefore PH \perp l \quad \blacksquare$
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