수능 출제 분석

이산확률변수의 분산과 선형변환

확률질량함수의 성질과 확률변수의 성질을 융합한 핵심 문항 해설

Q [문제 원문]

27. 이산확률변수 $X$가 가지는 값이 $0$부터 $4$까지의 정수이고

P(X=x) = \begin{cases} \frac{|2x-1|}{12} & (x=0, 1, 2, 3) \\ a & (x=4) \end{cases}

일 때, $V\left(\frac{1}{a}X\right)$의 값은? (단, $a$는 $0$이 아닌 상수이다.) [3점]

①36

②39

③42

④45

⑤48

1 [출제의도]

이 문항은 이산확률분포의 확률질량함수가 가지는 기본 성질(확률의 총합은 1)을 이용하여 미지의 상수를 구하고, 이산확률변수의 기댓값과 분산의 정의를 정확히 적용하여 값을 계산하는 능력을 평가합니다. 더 나아가 확률변수의 선형변환에 따른 분산의 성질을 올바르게 이해하고 추론할 수 있는지를 묻고 있습니다.

2 [상세 풀이]

Step 1

확률질량함수의 성질을 이용한 상수 $a$ 구하기

이산확률변수 $X$가 가질 수 있는 모든 값에 대한 확률의 총합은 항상 $1$이어야 합니다. 즉, $\sum P(X=x) = 1$ 입니다. 주어진 확률질량함수에 $x=0, 1, 2, 3$을 대입하여 각각의 확률을 구합니다.

P(X=0) = \frac{|-1|}{12} = \frac{1}{12} $$ $$ P(X=1) = \frac{|2-1|}{12} = \frac{1}{12} $$ $$ P(X=2) = \frac{|4-1|}{12} = \frac{3}{12} $$ $$ P(X=3) = \frac{|6-1|}{12} = \frac{5}{12}

따라서 이들의 합과 $P(X=4)=a$를 더하면 $1$이 되어야 합니다.

\frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} + a = 1 $$ $$ \frac{10}{12} + a = 1 \quad \implies \quad a = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}

Step 2

이산확률변수 $X$의 평균 $E(X)$ 구하기

기댓값(평균)은 각 변량에 그 확률을 곱하여 모두 더한 값입니다. 앞서 구한 확률분포표를 바탕으로 $E(X)$를 계산합니다. (단, 계산의 편의를 위해 $a = \frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ 로 분모를 통일하여 계산합니다.)

\begin{aligned} E(X) &= \sum_{x=0}^{4} x P(X=x) \\ &= 0 \cdot \frac{1}{12} + 1 \cdot \frac{1}{12} + 2 \cdot \frac{3}{12} + 3 \cdot \frac{5}{12} + 4 \cdot \frac{2}{12} \\ &= \frac{0 + 1 + 6 + 15 + 8}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \end{aligned}

Step 3

이산확률변수 $X$의 분산 $V(X)$ 구하기

분산은 제평평제 (제곱의 평균 - 평균의 제곱) 공식을 이용하는 것이 계산상 효율적입니다. 먼저 $X^2$의 평균인 $E(X^2)$를 구합니다.

\begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{x=0}^{4} x^2 P(X=x) \\ &= 0^2 \cdot \frac{1}{12} + 1^2 \cdot \frac{1}{12} + 2^2 \cdot \frac{3}{12} + 3^2 \cdot \frac{5}{12} + 4^2 \cdot \frac{2}{12} \\ &= \frac{0 + 1 + 12 + 45 + 32}{12} = \frac{90}{12} = \frac{15}{2} \end{aligned}

이제 분산 $V(X)$를 계산합니다.

V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = \frac{15}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{30}{4} - \frac{25}{4} = \frac{5}{4}

Step 4

확률변수의 선형변환 성질을 이용한 최종 답안 도출

구하고자 하는 값은 $V\left(\frac{1}{a}X\right)$ 입니다. Step 1에서 $a = \frac{1}{6}$ 임을 구했으므로, $\frac{1}{a} = 6$ 이 됩니다. 확률변수의 성질 $V(cX) = c^2 V(X)$ 를 적용하여 최종값을 계산합니다.

V\left(\frac{1}{a}X\right) = V(6X) = 6^2 V(X) = 36 \times \frac{5}{4} = 9 \times 5 = 45

기존 분산

$V(X) = \frac{5}{4}$

$\times 6^2$ 확장

$V(6X) = 45$

따라서 정답은 45

3 [이론 매칭]

확률질량함수의 성질

이산확률변수가 가질 수 있는 모든 값들에 대한 확률의 총합은 $1$이다. 이를 통해 미정계수식을 구성할 수 있습니다.

이산확률변수의 기댓값과 분산

평균은 변량과 확률의 곱의 총합이며, 분산은 '제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 값'으로 계산합니다.

확률변수의 선형변환

확률변수 $X$에 대하여 $Y = aX + b$ 라 할 때, 분산은 상수항 $b$에 영향을 받지 않으며 일차항 계수 $a$의 제곱에 비례하여 커집니다 : $V(aX + b) = a^2 V(X)$

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 선형변환 시 분산의 비례 계수 착각

많은 학생들이 기댓값의 성질 $E(aX) = aE(X)$ 와 혼동하여, 분산 역시 $V(aX) = aV(X)$ 로 착각하는 실수를 범합니다. 이 문제에서도 $V(6X)$를 $6 \times V(X) = \frac{30}{4} = 7.5$ 로 잘못 계산할 수 있습니다.

수학적 해결 및 증명 : 분산은 왜 제곱에 비례하는가?

분산의 본래 정의는 '편차의 제곱의 평균' 입니다. 즉, $V(X) = E(\{X - E(X)\}^2)$ 입니다.
이 정의에 선형변환 $aX$를 대입하여 증명해 보겠습니다.

\begin{aligned} V(aX) &= E(\{aX - E(aX)\}^2) \\ &= E(\{aX - aE(X)\}^2) \\ &= E([a\{X - E(X)\}]^2) \\ &= E(a^2\{X - E(X)\}^2) \\ &= a^2 E(\{X - E(X)\}^2) \\ &= a^2 V(X) \end{aligned}

증명에서 보듯 괄호 안에서 변량들이 상수 $a$배 만큼 벌어지면, 제곱 과정($[\dots]^2$)을 거치면서 분산은 면적의 개념처럼 $a^2$배로 확장되게 됩니다.

5 [핵심 이론 증명]

제평평제 공식의 유도 : $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$

분산을 계산할 때 매번 평균을 빼고 제곱하는 과정은 연산이 매우 복잡합니다. 따라서 이를 전개하여 식을 간소화한 것이 이른바 '제평평제' 공식입니다. 편의상 $E(X) = m$ 이라 하겠습니다.

$$ \begin{aligned} V(X) &= E(\{X - m\}^2) \\ &= E(X^2 - 2mX + m^2) \end{aligned} $$

기댓값 $E$의 선형성에 의해 기댓값을 각각 분리할 수 있습니다. (여기서 $m$은 상수이므로 $E(m^2) = m^2$ 입니다.)

$$ \begin{aligned} V(X) &= E(X^2) - 2mE(X) + m^2 \\ &= E(X^2) - 2m(m) + m^2 \\ &= E(X^2) - 2m^2 + m^2 \\ &= E(X^2) - m^2 \end{aligned} $$

마지막으로 $m$ 대신 원래의 표기인 $E(X)$를 대입하면 우리가 사용하는 공식이 유도됩니다.

$$ V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 $$

확률분포 & 선형변환 시각화 도구

? 이 시각화 도구는 왜 제공되나요?

문제 풀이의 핵심인 확률변수의 선형변환 시 분산의 변화 원리를 직관적으로 깨닫게 하기 위함입니다. 많은 학생들이 공식 $V(cX) = c^2 V(X)$를 기계적으로 암기하지만, 왜 $c$배가 아닌 $c^2$배로 커지는지 체감하지 못하는 경우가 많습니다.

이 도구를 통해 $X$의 값들이 $c$배만큼 간격이 벌어질 때, '편차의 제곱'을 평균 내는 분산의 정의상 그 퍼짐의 정도가 제곱($c^2$)에 비례하여 기하급수적으로 폭발하는 시각적 충격을 직접 경험하고, 4번 목차의 실수 포인트를 완벽히 극복할 수 있습니다.

아래 슬라이더를 통해 변환 계수 $c$값을 변경해 보세요. 확률변수 $Y = cX$ 가 되면서 전체 데이터가 우측으로 이동함과 동시에, 분산 영역(빨간색 화살표)이 얼마나 넓게 팽창하는지 확인해 보세요.

상수 $c$ 배율 : 1.0배

변환 후 평균 E(cX)

2.50

변환 후 분산 V(cX)

1.25

💡 상수 $c$ 값 변화에 따른 그래프 관찰 포인트

$c$값이 증가할수록 전체 데이터가 우측으로 이동하며 평균이 증가합니다. : $E(cX) = cE(X)$
막대 사이의 간격이 넓어지면서 데이터가 흩어지는 정도(퍼짐)가 제곱($c^2$)에 비례하여 기하급수적으로 확대됩니다. : $V(cX) = c^2V(X)$
각 확률변수 값에 대응하는 확률값(세로축, 막대의 높이 비율) 자체는 변하지 않고 유지됩니다.

📊 확률질량함수 $P(Y=cx)$ 분포도