접선의 방정식을 통한 기하학적 관계 도출 및 치환/부분적분법의 유기적 결합
28. 함수 $$ f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + \ln(1+x) $$ 와 양수 $t$에 대하여 점 $(s, f(s))$ $(s>0)$에서 $y$축에 내린 수선의 발과 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(s, f(s))$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점 사이의 거리가 $t$가 되도록 하는 $s$의 값을 $g(t)$라 하자. $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} g(t) dt$ 의 값은? [4점]
이 문항은 미분법을 활용한 접선의 방정식 도출과 치환적분법 및 부분적분법을 이용한 정적분 연산을 결합하여 묻는 고난도 문항입니다. 기하학적 상황으로부터 새로운 매개변수 함수 관계식을 이끌어내고, 이를 바탕으로 복잡한 정적분을 끝까지 계산해낼 수 있는 논리적 끈기와 연산력을 평가합니다.
주어진 함수 $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + \ln(1+x)$ 의 도함수 $f'(x)$를 구합니다.
점 $(s, f(s))$ 에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
점 $(s, f(s))$에서 $y$축에 내린 수선의 발 $H$의 좌표는 $(0, f(s))$ 입니다.
접선이 $y$축과 만나는 점(y절편)을 $Q$라 하면, 접선의 방정식에 $x=0$을 대입하여 $y = f(s) - s f'(s)$ 임을 알 수 있습니다. 즉, $Q$의 좌표는 $(0, f(s) - s f'(s))$ 입니다.
문제의 조건에 따라 두 점 사이의 거리 $t$는 $y$좌표의 차이의 절댓값입니다. $s>0$이므로 $f'(s) > 0$ 이고, 거리 $t$는 다음과 같이 정리됩니다.
앞서 구한 식 $t = \frac{s^3}{1+s}$ 을 $s$에 관하여 정리하여 역함수의 명시적인 식 $s = g(t)$ 를 직접 구하는 것은 3차 방정식을 풀어야 하므로 대수적으로 매우 복잡합니다. 따라서 아래 다이어그램과 같이 원함수와 역함수의 일대일 대응 관계를 파악하여, 적분 변수를 $t$에서 $s$로 치환하는 우회 전략을 사용해야 합니다.
구하고자 하는 정적분은 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} g(t) dt$ 입니다.
아닙니다! 역함수 관계는 오직 $t=h(s)$와 $s=g(t)$ 사이에만 성립합니다.
$s \cdot h'(s)$는 새로운 역함수가 아니라, 치환적분(대입)의 결과물일 뿐입니다. $\int \mathbf{g(t)} \mathbf{dt}$ 식을 $s$에 대한 적분으로 변환할 때, $g(t)$ 자리에는 $s$를 대입하고, $dt$ 자리에는 미분 결과인 $h'(s)ds$를 대입하여 두 조각이 곱해진 형태가 바로 $\int \mathbf{s} \cdot \mathbf{h'(s) ds}$ 가 된 것입니다.
우리가 계산해야 할 최초의 목표인 $\int g(t) dt$ 자체가 바로 '역함수를 적분하라'는 미션이기 때문입니다. $g(t)$는 명시적인 식을 구할 수 없으므로 일반적인 적분 계산법으로는 값을 낼 수 없습니다.
고교 교과과정에서는 이렇게 '식을 모르는 역함수의 정적분'을 구해야 할 때, 우리가 방금 한 것처럼 원함수로 변수를 치환하고 이어서 부분적분법을 적용하여 기하학적 넓이 구조($[sh(s)] - \int h(s)ds$)로 우회하여 푸는 방식을 표준 해법으로 배웁니다. 따라서 이 우회하는 풀이 메커니즘 전체를 가리켜 '역함수의 정적분 원리를 활용한다'고 부르는 것입니다.
부분적분법을 통해 최종 답을 구합니다.
곡선 $y=f(x)$ 위의 임의의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식 $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ 를 적용하여 기하학적 거리 $t$를 대수적 식으로 유도하였습니다.
적분 변수 $t$를 $s$에 대한 함수로 치환하는 치환적분법을 거친 후, 피적분함수가 곱의 형태임을 인지하여 $\int u v' ds = uv - \int u' v ds$ 의 부분적분법을 연쇄적으로 적용하였습니다.
수험생들이 가장 많이 범하는 실수는 $t = \frac{s^3}{s+1}$ 식을 보고, $s$를 $t$에 대한 식(즉 역함수)으로 직접 정리하려 드는 것입니다. 이는 3차방정식을 풀어야 하므로 사실상 불가능하며 시간만 낭비하게 됩니다.
역함수의 정적분 $\int_{a}^{b} f^{-1}(x) dx$ 형태가 주어졌을 때는 $y = f^{-1}(x)$ 로 치환하여 $x = f(y)$, $dx = f'(y) dy$ 로 바꾸어 $\int_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)} y f'(y) dy$ 로 적분 변수를 완전히 넘기는 것이 문제 해결의 열쇠입니다. 이후 부분적분을 통해 쉽게 계산할 수 있습니다.
함수 $f(x)$가 연속이고 일대일 대응일 때, $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 가정합니다.
우리가 구하고자 하는 정적분 $\int_{f(a)}^{f(b)} g(x) dx$ 에서 $g(x) = y$ 로 치환해 보겠습니다. 그러면 $x = f(y)$ 가 되고, 양변을 미분하면 $dx = f'(y) dy$ 가 됩니다.
적분 구간은 $x=f(a)$일 때 $y=a$, $x=f(b)$일 때 $y=b$로 바뀝니다.
$$ \int_{f(a)}^{f(b)} g(x) dx = \int_{a}^{b} y f'(y) dy $$
여기에 부분적분법 ($u=y, v'=f'(y)$) 을 적용하면 다음의 공식이 유도됩니다.
$$ [y f(y)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f(y) dy = b f(b) - a f(a) - \int_{a}^{b} f(y) dy $$
이 공식은 주어진 문제에서 $\int g(t) dt$ 를 계산할 때, 직접 적분하지 않고 직사각형 넓이의 차에서 본함수의 정적분을 빼는 형태인 $[s t] - \int t ds$ 구조로 우회하여 계산하는 본질적인 이유와 정당성을 증명합니다.
아래 슬라이더를 움직여 점 $P$의 $x$좌표인 $s$ 값을 변화시켜 보세요.