조건부확률과 다항분포의 융합 추론
시행의 규칙성을 분석하고 다항분포적 상황에서 조건부확률을 계산하는 문항
Q [문제 원문]
28. 16개의 공과 1부터 6까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 여섯 개의 빈 상자가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때,
$k$가 홀수이면
1, 3, 5가 적힌 상자에 공을 각각 1개씩 넣고,
$k$가 짝수이면
$k$의 약수가 적힌 상자에 공을 각각 1개씩 넣는다.
이 시행을 4번 반복한 후 여섯 개의 상자에 들어 있는 모든 공의 개수의 합이 홀수일 때, 3이 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수가 2가 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수보다 1개 더 많을 확률은? [4점]
1 [출제의도]
이 문항은 복잡하게 주어진 시행의 규칙을 논리적으로 분해하여, 공의 총합이 홀수가 되는 표본 공간(사건 $A$)을 홀짝성의 관점에서 파악하는 능력을 평가합니다. 또한, 여러 종류의 근원사건이 존재하는 상황에서 단순히 횟수만 고려하는 이항분포의 관점을 넘어, 각각의 확률이 다른 사건들이 복합적으로 일어나는 다항분포(같은 것이 있는 순열)의 개념을 활용하여 조건부확률을 정확하게 계산할 수 있는지 묻는 고난도 추론 문항입니다.
2 [상세 풀이]
시행 규칙의 분석과 홀짝성 분류
사건 $A$는 '4번 반복 후 모든 공의 개수의 합이 홀수'인 사건입니다. 1회 시행 시 상자에 추가되는 공의 총 개수를 주사위 눈 $k$에 따라 분류해 봅시다.
- 주사위 눈 $k \in \{1, 3, 5\}$ 인 경우 : 1, 3, 5번 상자에 넣으므로 총 3개(홀수) 증가. (확률 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$)
- 주사위 눈 $k=2$ 인 경우 : 약수 1, 2 상자에 넣으므로 총 2개(짝수) 증가. (확률 $\frac{1}{6}$)
- 주사위 눈 $k=4$ 인 경우 : 약수 1, 2, 4 상자에 넣으므로 총 3개(홀수) 증가. (확률 $\frac{1}{6}$)
- 주사위 눈 $k=6$ 인 경우 : 약수 1, 2, 3, 6 상자에 넣으므로 총 4개(짝수) 증가. (확률 $\frac{1}{6}$)
따라서 1회 시행 시 공이 홀수 개 증가하는 사건(이를 사건 $O$라 합시다)이 일어날 확률은 주사위 눈이 $\{1, 3, 4, 5\}$일 때이므로 $P(O) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 이고, 짝수 개 증가하는 사건(이를 사건 $E$라 합시다)이 일어날 확률은 주사위 눈이 $\{2, 6\}$일 때이므로 $P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 입니다.
전제 조건(사건 A)의 확률 계산
4번의 시행 후 총합이 홀수가 되려면, 공이 홀수 개 증가하는 사건 $O$가 홀수 번 일어나야 합니다. 즉, 4번 중 1번 또는 3번 일어나야 합니다.
$P(O\text{가 1번}) = \binom{4}{1} \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 4 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{27} = \frac{8}{81}$
$P(O\text{가 3번}) = \binom{4}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$
$\therefore P(A) = \frac{8}{81} + \frac{32}{81} = \frac{40}{81}$
사건 B (조건식)의 대수적 정리
주사위 눈 $k$가 나오는 횟수를 $c(k)$ 라고 합시다. $\sum c(k) = 4$ 입니다.
조건 B는 '(3번 상자 공 개수) = (2번 상자 공 개수) + 1' 입니다. 어떤 눈이 나왔을 때 각 상자에 공이 들어가는지 확인합니다.
- 2번 상자에 공이 들어가는 경우 : 주사위 눈이 2, 4, 6 일 때. $\Rightarrow$ (2번 상자 총 개수) $= c(2) + c(4) + c(6)$
- 3번 상자에 공이 들어가는 경우 : 주사위 눈이 1, 3, 5, 6 일 때. $\Rightarrow$ (3번 상자 총 개수) $= c(1) + c(3) + c(5) + c(6)$
$c(1) + c(3) + c(5) + c(6) = c(2) + c(4) + c(6) + 1$
양변에서 $c(6)$을 소거하면 :
$c(1) + c(3) + c(5) = c(2) + c(4) + 1$
여기서 $c(1) + c(3) + c(5)$ 는 홀수 눈이 나온 횟수이므로 $c_{odd}$ 라고 치환합시다. 식을 정리하면 다음과 같은 핵심 관계식을 얻습니다.
사건 A 안에서 사건 B를 만족하는 케이스 분류 및 계산
사건 $A$의 두 가지 케이스 안에서 핵심 관계식 $c_{odd} - c(4) = c(2) + 1$ 을 만족하는 경우를 찾습니다. 주의할 점은, '공이 홀수 개 증가하는 횟수(사건 O)'는 $c_{odd} + c(4)$ 라는 점입니다.
[Case 1] 사건 O가 1번 일어난 경우 : $c_{odd} + c(4) = 1$
① $(1, 0)$ 대입 : $1 - 0 = c(2) + 1 \Rightarrow c(2) = 0$. 총 4번 던지므로 남은 횟수는 $c(6)$이 가져갑니다. 즉, $c(6) = 3$. 이 조합은 가능합니다. ($c_{odd}=1, c(2)=0, c(4)=0, c(6)=3$)
② $(0, 1)$ 대입 : $0 - 1 = c(2) + 1 \Rightarrow c(2) = -2$. 횟수가 음수가 될 수 없으므로 불가능합니다.
Case 1 의 확률 계산 (다항분포의 확률) : 홀수 집합 $\{1,3,5\}$ 이 1번, $6$ 이 3번 나올 확률입니다.
$P_1 = \frac{4!}{1! 3!} \times P(\{1,3,5\})^1 \times P(6)^3 = 4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^1 \times \left(\frac{1}{6}\right)^3 = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{216} = \frac{2}{216} = \frac{1}{108}$
[Case 2] 사건 O가 3번 일어난 경우 : $c_{odd} + c(4) = 3$
① $c(2)=1, c(6)=0$ 대입 : $c_{odd} - c(4) = 1 + 1 = 2$. 연립방정식 $c_{odd} + c(4) = 3$ 과 더하면 $2 c_{odd} = 5$ 가 되어 자연수 조건에 모순입니다.
② $c(2)=0, c(6)=1$ 대입 : $c_{odd} - c(4) = 0 + 1 = 1$. 연립방정식과 더하면 $2 c_{odd} = 4 \Rightarrow c_{odd} = 2$. 따라서 $c(4) = 1$ 입니다. 이 조합은 가능합니다. ($c_{odd}=2, c(2)=0, c(4)=1, c(6)=1$)
Case 2 의 확률 계산 (다항분포의 확률) : 홀수 집합이 2번, $4$가 1번, $6$이 1번 나올 확률입니다.
$P_2 = \frac{4!}{2! 1! 1!} \times P(\{1,3,5\})^2 \times P(4)^1 \times P(6)^1 = 12 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = 12 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
최종 조건부확률 계산
구하고자 하는 조건부확률 $P(B|A)$ 를 계산합니다.
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{5}{54}}{\frac{40}{81}} = \frac{5}{54} \times \frac{81}{40} = \frac{5}{2 \times 27} \times \frac{3 \times 27}{5 \times 8} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{16}$
3 [이론 매칭]
조건부확률
사건 $A$가 일어났다는 전제 하에 사건 $B$가 일어날 확률 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 의 정의를 핵심 뼈대로 사용하였습니다.
독립시행의 정리 (이항분포)
사건 $A$의 확률을 구할 때, 홀수 번 증가하는 사건과 짝수 번 증가하는 사건 두 가지로만 이분화하여 독립시행의 확률 $\binom{n}{r} p^r q^{n-r}$ 을 적용했습니다.
다항분포의 확률 (같은 것이 있는 순열)
사건 $A \cap B$ 를 구할 때, 3개 이상의 근원사건(홀수눈, 눈4, 눈6 등)이 각각 특정 횟수만큼 일어날 확률을 $\frac{n!}{r_1! r_2! \dots} p_1^{r_1} p_2^{r_2} \dots$ 공식을 통해 계산했습니다.
4 [실수 포인트 및 증명]
🚨 다항분포에서 단순 가짓수 곱셈의 오류
학생들이 가장 많이 하는 실수는 사건 $A \cap B$ 의 확률을 계산할 때, 확률값 $P(\{1,3,5\}) = \frac{1}{2}$ 과 $P(4) = \frac{1}{6}$ 등 가중치가 다른 사건들을 구별하지 않고, 전체 표본 공간 $6^4$ 분의 (경우의 수) 로 단순화하여 오계산하는 것입니다.
수학적 증명 및 올바른 접근 :
확률 공간이 동일한 근원사건으로 이루어져 있다면 가짓수로 계산할 수 있습니다. 하지만 본 문제에서 우리는 이미 집합 $\{1, 3, 5\}$ 를 하나의 사건으로 묶어버렸으므로 그 확률 가중치 $\frac{1}{2}$ 가 유지되어야 합니다.
만약 굳이 가짓수로 풀고 싶다면 묶지 않고 개별 눈 1, 3, 5 로 식을 전개해야 합니다. 예를 들어 Case 2에서 홀수 눈이 2번 나오는 경우를 단순히 '1가지'로 세면 안 되며, $\{1, 3, 5\}$ 중 중복을 허락하여 2개를 뽑는 순열 $3^2 = 9$ 가지를 반드시 곱해주어 $\frac{\frac{4!}{2!1!1!} \times 3^2 \times 1^1 \times 1^1}{6^4} = \frac{108}{1296} = \frac{1}{12}$ 로 계산해야 정확한 값이 나옵니다. 본 해설에서는 이러한 실수를 방지하기 위해 각 사건의 확률을 직접 거듭제곱하는 공식을 사용했습니다.
5 [핵심 이론 증명]
조건부확률의 표본 공간 축소 원리
조건부확률 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 의 공식은 단순히 분수식이 아니라 기하학적으로 **'표본 공간의 재정의'** 를 의미합니다.
원래 주사위를 4번 던지는 시행의 전체 표본 공간의 크기는 $6^4 = 1296$ 가지입니다. 여기서 벤 다이어그램을 상상해 볼 때, 사건 $A$ (합이 홀수인 사건)가 일어났다는 정보가 주어지는 순간, 사건 $A$ 바깥의 여집합 영역(합이 짝수인 경우들)은 가능성이 $0$으로 소멸됩니다.
$$ S_{new} = A, \quad P_{new}(X) = \frac{P_{old}(X)}{P_{old}(A)} $$
따라서, 새로운 세계(새로운 분모)는 오직 확률 $P(A) = \frac{40}{81}$ 만큼의 크기를 갖게 되며, 목표 사건 $B$ 역시 오로지 $A$의 영역 내부인 $A \cap B$ 에 속하는 부분만이 살아남아 분자가 됩니다. 우측의 3D 시각화에서 보여지듯 전체 공간(투명한 구)에서 유의미한 확률 덩어리(노드)들만 분리해 내어 비율을 재계산하는 것이 조건부확률의 본질입니다.
주사위 눈에 따른 상자 분배 (2D 매트릭스)
가로축은 상자 번호(1~6), 세로축은 주사위 눈($k$)을 나타냅니다.
색칠된 칸은 해당 눈이 나왔을 때 공이 추가되는 상자를 의미합니다.
붉은색은 공이 총 홀수 개 증가하는 경우를, 푸른색은 짝수 개 증가하는 경우를 시각화하여 홀짝성의 규칙을 직관적으로 보여줍니다.
확률 공간 분기 시각화 (3D Tree)
조건부확률의 분모가 되는 전제 사건 $A$를 중앙 거점 노드로 두고, 그 안에서 사건 $B$를 만족하는 두 가지 주요 케이스(Case 1, Case 2)가 파생되는 확률적 트리 구조입니다. 구의 부피는 확률의 크기에 비례합니다.
(3차원 좌표계 규약에 따라 빨간색 선은 x축, 초록색 선은 y축, 파란색 선은 z축을 나타냅니다.)