수능 출제 분석

수열의 극한과 급수의 융합 추론

등차수열과 등비수열의 구조적 관계를 파악하고 무한급수의 합을 계산하는 문항

Q [문제 원문]

첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\{a_n\}$과 등비수열 $\{b_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

어떤 자연수 $k$에 대하여

$b_{k+i} = \frac{1}{a_i} - 1 \quad (i = 1, 2, 3)$

이다.

부등식

$0 < \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(b_n - \frac{1}{a_n a_{n+1}}\right) < 30$

이 성립할 때, $a_2 \times \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{2n} = \frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $a_1 \neq 0$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

①91

②93

③95

④97

⑤99

1 [출제의도]

이 문항은 주어진 조건식을 통해 등차수열과 등비수열의 미지수(공차, 공비)를 대수적으로 추론해 내고, 부분분수를 이용한 급수의 합과 등비급수의 합을 정확히 계산하여 특정 부등식을 만족하는 자연수 상수를 결정하는 능력을 평가합니다.

등차수열의 일반항 설정 및 등비수열의 비(Ratio) 속성을 활용한 연립방정식 해결
망원급수(Telescoping series) 형태인 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$ 의 극한값 계산

※ 망원급수(Telescoping series)란?
고등학교 정규 교육과정의 공식 용어는 아니지만, $\frac{1}{A B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)$ 와 같은 부분분수 분해를 통해 식을 전개했을 때, 이웃하는 항들이 연쇄적으로 소거(Cancel out)되어 처음과 끝의 일부 항만 남게 되는 형태의 급수를 직관적으로 부르는 명칭입니다. 수능 수학에서는 이러한 소거 규칙성을 파악하여 무한급수의 합을 정확히 구하는 능력을 매우 중요하게 평가합니다.
무한등비급수의 수렴 조건 인지 및 합 공식 적용

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

수열의 일반항 설정 및 조건식 대입

첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\{a_n\}$의 공차를 $d$라고 합시다. 첫째항 $a_1 = d$ 이므로 일반항은 다음과 같습니다. ($a_1 \neq 0$ 이므로 $d \neq 0$)

$$ a_n = a_1 + (n-1)d = d + nd - d = dn $$

등비수열 $\{b_n\}$의 공비를 $r$이라고 하면, 조건 $b_{k+i} = \frac{1}{a_i} - 1$ ($i=1, 2, 3$)에 의해 다음 세 개의 식이 성립합니다.

i=1 : b_{k+1} = \frac{1}{a_1} - 1 = \frac{1}{d} - 1 = \frac{1-d}{d} $$ $$ i=2 : b_{k+2} = \frac{1}{a_2} - 1 = \frac{1}{2d} - 1 = \frac{1-2d}{2d} $$ $$ i=3 : b_{k+3} = \frac{1}{a_3} - 1 = \frac{1}{3d} - 1 = \frac{1-3d}{3d}

Step 2

등비중항을 이용한 공차 $d$ 와 공비 $r$ 도출

수열 $\{b_n\}$이 등비수열이므로 이웃하는 항의 비가 일정합니다. 즉, 공비 $r$은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

r = \frac{b_{k+2}}{b_{k+1}} = \frac{\frac{1-2d}{2d}}{\frac{1-d}{d}} = \frac{1-2d}{2(1-d)} $$ $$ r = \frac{b_{k+3}}{b_{k+2}} = \frac{\frac{1-3d}{3d}}{\frac{1-2d}{2d}} = \frac{2(1-3d)}{3(1-2d)}

이 두 식을 같다고 놓고 $d$에 대한 방정식을 풉니다.

\frac{1-2d}{2(1-d)} = \frac{2(1-3d)}{3(1-2d)} $$ $$ 3(1-2d)^2 = 4(1-d)(1-3d) $$ $$ 3(1 - 4d + 4d^2) = 4(1 - 4d + 3d^2) $$ $$ 3 - 12d + 12d^2 = 4 - 16d + 12d^2 $$ $$ 4d = 1 \quad \therefore d = \frac{1}{4}

구한 $d$의 값을 대입하여 공비 $r$과 수열 $\{b_n\}$의 항들을 확정합니다.

$ r = \frac{1 - 2\times\frac{1}{4}}{2\left(1 - \frac{1}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} $

$ b_{k+1} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = 3 $

Step 3

무한급수의 합 계산 및 자연수 $k$ 추론

조건의 부등식을 계산하기 위해 두 무한급수를 각각 계산합니다.

1) 무한등비급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ 계산

공비가 $r = 1/3$ 이므로 수렴합니다. $b_{k+1} = b_1 \cdot r^k = 3$ 에서 $b_1 \cdot (1/3)^k = 3 \implies b_1 = 3^{k+1}$ 입니다. $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{b_1}{1 - r} = \frac{3^{k+1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3^{k+1}}{\frac{2}{3}} = \frac{3^{k+2}}{2} $$

2) 부분분수 급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$ 계산

a_n = \frac{1}{4}n$ 이므로 $a_n a_{n+1} = \frac{1}{16}n(n+1)$ 입니다. $$ \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{16}{n(n+1)} = 16 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}} = 16 \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 16 \cdot 1 = 16 $

부등식에 대입하여 자연수 $k$를 찾습니다.

$$ 0 < \frac{3^{k+2}}{2} - 16 < 30 $$ $$ 16 < \frac{3^{k+2}}{2} < 46 \implies 32 < 3^{k+2} < 92 $$ 자연수 $k$ 에 대하여 $k=1$ 이면 $3^3=27$, $k=2$ 이면 $3^4=81$, $k=3$ 이면 $3^5=243$ 이므로 부등식을 만족하는 유일한 자연수는 k = 2 입니다.

Step 4

최종 목표 식의 값 계산

이제 문제에서 요구하는 $a_2 \times \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{2n}$ 의 값을 계산합니다.

$a_2 = 2d = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
수열 $\{b_{2n}\}$ 은 첫째항이 $b_2$, 공비가 $r^2$ 인 등비수열입니다.
$k=2$ 이므로 $b_1 = 3^{2+1} = 27$ 입니다.
$b_2 = b_1 \cdot r = 27 \times \frac{1}{3} = 9$
공비 $R = r^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$

\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{2n} = \frac{b_2}{1 - R} = \frac{9}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{\frac{8}{9}} = \frac{81}{8}

따라서 최종 결과는 다음과 같습니다.

a_2 \times \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{2n} = \frac{1}{2} \times \frac{81}{8} = \frac{81}{16}

$p = 16, q = 81$ (서로소) 이므로 $p+q$ 의 값은 97

3 [이론 매칭]

등차수열과 등비수열의 일반항

등차수열 $a_n = a + (n-1)d$ 와 등비수열 $b_n = a r^{n-1}$ 의 기본 정의를 활용하여 미지수 방정식을 구성하였습니다.

무한등비급수의 수렴 조건과 합

공비 $r$이 $|r| < 1$ 일 때 급수가 수렴하며 그 합은 $\frac{a}{1-r}$ 임을 적용하였습니다.

부분분수 분해를 이용한 무한급수의 합 (망원급수)

$\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}(\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$ 공식을 이용하여 이웃한 항들이 소거되는 형태(Telescoping sum)를 만들어 극한값을 도출하였습니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 분모가 0이 될 가능성 간과

학생들이 $d$를 구하기 위해 방정식을 세울 때, $1-d$ 나 $1-2d$ 로 양변을 나누거나 식을 변형할 때 해당 값이 0이 될 수 없는 조건을 명시적으로 확인하지 않는 실수를 범합니다.

수학적 확인 :

만약 $d = 1$ 이라면 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ 가 되고, $b_{k+1} = 0$, $b_{k+2} = -\frac{1}{2}$ 이 됩니다. 하지만 등비수열에서 중간 항이 0이 되면 모든 항이 0이어야 하므로 모순이 발생합니다.
유사하게 $d = \frac{1}{2}$ 이면 $b_{k+2} = 0$ 이 되어 역시 모순입니다. 따라서 분모가 0이 되는 경우는 문제의 조건(등비수열 존재)에 의해 자연스럽게 배제됩니다.

5 [핵심 이론 증명]

망원급수(Telescoping Series)의 합 증명

본 문제에서 사용된 급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$ 의 수렴 과정을 논리적으로 증명합니다.

먼저 제 $N$항까지의 부분합 $S_N$을 정의합니다.

$$ S_N = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) $$

합의 기호를 전개하여 나열해보면,

$$ S_N = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) $$

이웃하는 항들이 서로 부호가 반대되어 연쇄적으로 소거(Cancel out)됩니다.

$$ S_N = 1 - \frac{1}{N+1} $$

무한급수의 합은 부분합의 극한으로 정의되므로,

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{N+1} \right) = 1 - 0 = 1 $$

이 원리를 통해 복잡해 보이는 수열의 무한합을 간단한 수치로 확정지을 수 있었습니다.

수열의 수렴성 시각화 (2D)

두 수열의 항들이 $n$이 커짐에 따라 어떻게 변화하는지 나타낸 좌표평면 그래프입니다.
파란색 선형은 공비가 $\frac{1}{3}$인 등비수열 $\{b_n\}$으로, 지수함수적으로 매우 급격히 감소합니다. 반면 주황색 선형은 부분분수 수열 $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$로, 대략 $\frac{1}{n^2}$에 비례하여 상대적으로 완만하게 0에 수렴하는 형태를 보입니다. 두 극한의 수렴 속도와 곡선 형태의 차이를 직관적으로 비교해 보세요.

등비수열 $\{b_n\}$

부분분수 수열 $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$

무한등비급수 자기 유사성 시각화 (3D)

무한히 더해지는 등비급수 $S = \frac{a}{1-r}$ 의 본질을 기하학적 프랙탈 구조로 시각화했습니다. 바깥쪽의 하얀색 프레임(Wireframe)은 이 급수가 궁극적으로 도달하는 극한의 총 부피($S = 40.5$)를 의미합니다.

슬라이더를 움직여 $n$값을 증가시켜 보세요.
- $n=1$일 때, 가장 큰 블록인 첫째항($a=27$)이 채워집니다.
- $n \ge 2$부터는, **남은 빈 공간**에 이전 블록이 공비($r=\frac{1}{3}$)만큼 축소된 복제본이 계속해서 채워집니다.
※ 왜 $n=8$까지만 표현했나요?
공비가 $\frac{1}{3}$로 매우 작아 수렴 속도가 극히 빠르기 때문입니다. $n=8$일 때의 누적합 $S_8$은 전체 한계선 부피의 $99.98\%$를 이미 채우게 되며, 시각적으로 극한값에 도달한 상태를 충분히 대변합니다.

항의 개수 ($n$) 1

추가된 항 ($b_n$) : 27

누적합 ($S_n$) : 27.00