2026학년도 수능 기하 29번 해설 및 인터랙티브 기하 시뮬레이터

수능 출제 분석

포물선의 정의와 타원의 대칭성을 융합한 기하학적 추론

Q 문제 원문

그림과 같이 초점이 $F(p, 0) \; (p > 0)$이고 준선이 $x = -p$인 포물선 위의 점 중 제 1사분면에 있는 점 A에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 H라 하고, 두 초점이 x축 위에 있고 세 점 F, A, H를 지나는 타원의 x좌표가 양수인 초점을 B라 하자.

삼각형 AHB의 둘레의 길이가 $p+27$, 넓이가 $2p+12$일 때, 선분 HF의 길이를 $k$라 하자. $k^2$의 값을 구하시오. [4점]

① 24

② 36

③ 45

④ 54

⑤ 360

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 이차곡선(포물선과 타원)의 정의와 대칭성을 활용하여 기하학적 도형의 성질을 대수적 방정식으로 이끌어내는 추론 능력을 평가합니다.

포물선의 정의($\overline{AF} = \overline{AH}$)를 이용하여 선분의 길이를 미지수로 표현하는 능력
타원의 장축, 단축에 대한 대칭성을 파악하고 현 $HA$의 수직이등분선이 타원의 축임을 발견하는 기하적 직관
주어진 둘레와 넓이 조건을 연립방정식으로 구성하고 치환을 통해 효율적으로 해를 도출하는 계산력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

타원의 대칭성과 꼭짓점 분석

포물선의 점 $A(x_A, y_A)$에서 준선 $x=-p$에 내린 수선의 발이 $H$이므로 점 $H$의 좌표는 $(-p, y_A)$입니다.

문제 조건에 따라 타원은 두 초점이 $x$축 위에 있고 점 $H$와 $A$를 지납니다. 점 $H$와 $A$는 $y$좌표가 같으므로 선분 $HA$는 $x$축에 평행합니다. 타원은 $x$축에 위치한 두 초점을 가지므로 $x$축에 대해 대칭이며, 선분 $HA$의 수직이등분선 위에 타원의 중심 $M$이 존재하게 됩니다.

\text{타원의 중심 } M\text{의 } x\text{좌표 } M_x = \frac{x_A + (-p)}{2} = \frac{x_A - p}{2}

핵심은 포물선의 초점 $F(p,0)$가 타원 궤도 위의 점이라는 사실입니다. 타원의 중심 $M$과 점 $F$가 모두 $x$축 상에 있으므로, 점 $F$는 타원의 장축이 끝나는 지점인 '타원의 꼭짓점'이 됩니다!

\text{장축의 반길이 } a = p - M_x = p - \frac{x_A - p}{2} = \frac{3p - x_A}{2} $$ $$ \therefore \text{타원의 장축의 길이 } 2a = 3p - x_A

[참고도 1 : 중심축 대칭성과 꼭짓점 F의 기하학적 위치]

Step 2

놀라운 기하학적 대칭 : 둘레 조건을 통한 $p$ 도출

타원의 초점을 각각 $B$(양수 좌표), $B'$이라 합시다. 초점 $B$와 $B'$은 타원의 중심 $M$에 대해 좌우 대칭입니다. 선분 $HA$의 양 끝점인 $H$와 $A$ 역시 중심 $M$에 대해 완벽히 대칭입니다.

따라서 대칭성에 의해 선분 $HB$의 길이는 선분 $AB'$의 길이와 완전히 동일합니다. ($\overline{HB} = \overline{AB'}$)

타원의 정의에 의해 타원 위의 점 $A$에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이 $2a$와 같습니다. 이를 $\triangle AHB$의 둘레 길이에 적용하면 대수적 기적이 일어납니다.

\text{둘레 } L = \overline{AH} + \overline{AB} + \overline{HB} $$ $$ \overline{HB} = \overline{AB'} \text{ 이므로,} $$ $$ L = \overline{AH} + (\overline{AB} + \overline{AB'}) = \overline{AH} + 2a

여기서 $\overline{AH} = x_A - (-p) = x_A + p$ 이고, 앞서 구한 $2a = 3p - x_A$ 를 대입합니다.

L = (x_A + p) + (3p - x_A) = 4p $$ $$ \text{조건에서 둘레가 } p+27 \text{ 이므로 } \implies 4p = p + 27 \implies \mathbf{p = 9}

[참고도 2 : 초점 대칭성을 이용한 둘레의 치환]

Step 3

넓이 조건 연립 및 최종 $k^2$ 도출

$\triangle AHB$의 넓이는 선분 $AH$를 밑변으로 할 때 점 $B$에서 내린 수선의 발까지의 높이 $y_A$로 계산됩니다. 점 $A$는 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점이므로 $y_A = \sqrt{4px_A}$ 입니다.

\text{넓이 } S = \frac{1}{2} \times \overline{AH} \times y_A = \frac{1}{2} (x_A+p) \sqrt{4px_A} = (x_A+p)\sqrt{p x_A}

앞서 구한 $p=9$를 대입하고 문제에 주어진 넓이 $2p+12 = 30$과 연립합니다.

(x_A + 9)\sqrt{9x_A} = 30 \implies (x_A + 9)\sqrt{x_A} = 10 $$ $$ t = \sqrt{x_A} \text{ 로 치환하면, } t^3 + 9t - 10 = 0 \implies (t - 1)(t^2 + t + 10) = 0 $$ $$ \therefore \mathbf{x_A = 1}

모든 변수가 도출되었습니다! $p=9$, $x_A=1$, $y_A=\sqrt{36}=6$.
따라서 두 점 $H$와 $F$의 좌표는 $H(-9, 6)$, $F(9, 0)$ 가 됩니다. $k^2 = \overline{HF}^2$ 를 피타고라스 정리로 계산합니다.

[참고도 3 : 피타고라스 정리를 이용한 $k^2$ 도출 기하 구조]

5 핵심 이론 정리 : 타원 둘레의 기하학적 치환

삼각형 AHB의 둘레 $L = 4p$ 유도 요약

복잡한 선분 길이를 타원의 대칭성과 정의를 이용해 미지수 $p$ 하나로 깔끔하게 치환하는 과정을 증명합니다.

1. 포물선 준선과 초점 거리 관계에 의한 선분 길이 : $\overline{AH} = x_A - (-p) = x_A + p$

2. 타원의 초점 $B, B'$은 중심에 대해 대칭이고, 현 $AH$도 대칭이므로 교차 현의 길이가 동일함 :

$\overline{HB} = \overline{AB'}$

3. 타원의 정의 (거리의 합 = 장축 $2a$) 적용 :

$\overline{AB} + \overline{AB'} = 2a$

4. 타원의 중심 $M_x = \frac{x_A-p}{2}$ 이고 꼭짓점이 $F(p,0)$ 이므로 장축 유도 :

$2a = 2 \times (p - M_x) = 3p - x_A$

5. 둘레 연산 결론 :

$L = \overline{AH} + (\overline{AB} + \overline{HB}) = (x_A+p) + (3p-x_A) = 4p$

완벽한 2D 평면 기하 시뮬레이터

뷰어 조작 가이드

수학 좌표계(xy평면)를 그대로 렌더링했습니다. 마우스 드래그(좌클릭)로 화면을 정면에서 편안하게 상하좌우 이동(Pan)시킬 수 있으며 휠로 확대/축소됩니다.
슬라이더를 조작하여 궤도가 점 H와 A를 완벽하게 지나는 것을 확인하세요.

초점 계수 ($p$) p : 9.0

점 A의 x좌표 ($x_A$) x : 1.0

■ 현재 둘레 vs 목표값($p+27$)

0.0 / 0.0

■ 현재 넓이 vs 목표값($2p+12$)

0.0 / 0.0

포물선

타원

준선

삼각형 ABH