전체 확률의 법칙과 이항분포의 기댓값, 정규분포 근사를 융합한 핵심 문항 해설
29. $6$ 이하의 자연수 $a$에 대하여 한 개의 주사위와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져
나온 눈의 수가 $a$보다 작거나 같으면 동전을 $5$번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록하고,
나온 눈의 수가 $a$보다 크면 동전을 $3$번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록한다.
이 시행을 $19200$번 반복하여 기록한 수가 $3$인 횟수를 확률변수 $X$라 하자.
$E(X) = 4800$일 때, $P(X \le 4800 + 30a)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 $k$이다.
$1000 \times k$의 값을 구하시오.
| $z$ | $P(0 \le Z \le z)$ |
|---|---|
| $0.5$ | $0.191$ |
| $1.0$ | $0.341$ |
| $1.5$ | $0.433$ |
| $2.0$ | $0.477$ |
| $2.5$ | $0.494$ |
| $3.0$ | $0.499$ |
본 문항은 조건부 확률과 전체 확률의 법칙을 이용하여 특정 사건이 발생할 확률을 계산할 수 있는지 평가합니다. 또한 이항분포의 기댓값을 통해 미지수를 추론하고, 시행 횟수가 충분히 클 때 이항분포가 정규분포에 근사함을 이용하여 최종 확률을 계산하는 종합적인 확률과 통계 추론 능력을 묻고 있습니다.
전체 확률의 법칙을 적용합니다. 주사위를 던져 나온 눈의 수에 따라 상황을 두 가지로 분리합니다.
독립시행의 확률에 의해 앞면이 $3$번 나올 확률 $p$는 다음과 같이 계산됩니다.
이 시행을 $19200$번 반복하므로 확률변수 $X$는 이항분포 $B(19200, p)$를 따릅니다.
문제의 조건에서 $E(X) = 4800$ 이므로 이항분포의 평균 공식 $E(X) = np$ 를 사용합니다.
따라서 $a=4$ 이고, 1회 시행 성공 확률 $p = \frac{4+4}{32} = \frac{1}{4}$ 입니다.
시행 횟수 $n=19200$이 충분히 크므로 확률변수 $X$는 근사적으로 정규분포 $N(m, \sigma^2)$을 따릅니다.
즉, $X$는 정규분포 $N(4800, 60^2)$ 을 따릅니다.
구하고자 하는 확률은 $P(X \le 4800 + 30a)$ 입니다. $a=4$ 를 대입하면 $4800 + 120 = 4920$ 이 됩니다.
표준정규분포표에서 $P(0 \le Z \le 2.0) = 0.477$ 이므로,
따라서 $k = 0.977$ 이며, $1000 \times k = 977$ 입니다.
배반사건으로 나뉜 여러 조건 하에서 특정 사건이 발생할 확률을 종합적으로 계산하는 원리입니다.
독립시행을 $n$번 반복할 때 사건 발생 횟수 $X$에 대한 확률분포로, 평균은 $np$, 분산은 $npq$ 입니다.
$n$이 충분히 크면 (일반적으로 $np \ge 5$, $nq \ge 5$), 이항분포 $B(n, p)$는 정규분포 $N(np, npq)$에 근사합니다.
확률변수 $Z = \frac{X - m}{\sigma}$ 로 표준화하여 복잡한 확률 계산을 기 표로 작성된 면적으로 쉽게 구합니다.
학생들이 $P(Z \le 2.0)$ 을 계산할 때, 단순히 표에 주어진 $P(0 \le Z \le 2.0) = 0.477$ 만을 답으로 취하는 실수를 자주 범합니다. 이는 정규분포 곡선의 대칭성과 전체 면적의 성질을 망각한 것입니다.
표준정규분포 확률밀도함수 $\phi(z)$는 $z=0$ 에 대해 선대칭입니다. 따라서 곡선 아래 전체 면적이 $1$ 이므로, 절반의 면적은 항상 $0.5$ 입니다.
$ \int_{-\infty}^{0} \phi(z) dz = 0.5 $ 이므로, 반드시 $0.5 + 0.477 = 0.977$ 로 계산해야 합니다.
이항분포 $B(n, p)$에서 확률질량함수는 $P(X=x) = {}_{n}\mathrm{C}_{x} p^x q^{n-x}$ ($q = 1-p$) 입니다. 기댓값의 정의에 따라 식을 전개합니다.
$$ E(X) = \sum_{x=0}^{n} x \cdot {}_{n}\mathrm{C}_{x} p^x q^{n-x} $$
$x=0$ 일 때 항은 $0$이 되므로 $x=1$ 부터 더해도 무방하며, ${}_{n}\mathrm{C}_{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}$ 의 성질을 이용해 $x$를 약분합니다.
$$ \begin{aligned} x \cdot {}_{n}\mathrm{C}_{x} &= x \frac{n!}{x!(n-x)!} = \frac{n!}{(x-1)!(n-x)!} \\ &= n \frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!} = n \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{x-1} \end{aligned} $$
이를 원래 기댓값 식에 대입하고, $np$ 를 앞으로 묶어냅니다.
$$ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{x=1}^{n} n \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{x-1} p^x q^{n-x} \\ &= np \sum_{x=1}^{n} {}_{n-1}\mathrm{C}_{x-1} p^{x-1} q^{(n-1)-(x-1)} \end{aligned} $$
이항정리에 의해 시그마 부분은 $(p+q)^{n-1} = 1^{n-1} = 1$ 이 됩니다.
문제 해결의 핵심인 주사위 변수 $a$의 변화에 따라 성공 확률 $p$가 어떻게 달라지고, 그에 따라 수만 번의 시행 결과인 이항분포 $B(n, p)$가 어떻게 이동하는지 직관적으로 보여주기 위함입니다.
수식으로만 계산하던 $E(X)=4800$ 이라는 조건이 실제 분포 그래프 상에서 어떤 의미를 가지는지 눈으로 직접 확인해 보세요.
아래 슬라이더를 통해 주사위 눈금 변수 $a$값을 변경해 보세요. 확률 $p$가 변함에 따라 정규분포 곡선(평균 $m=np$)이 좌우로 이동하는 것을 확인할 수 있습니다.