수능 출제 분석

역함수의 추론과 곡선의 교점

새로운 함수 $M(x)$의 정의와 극한, 2계도함수를 활용한 완벽한 그래프 개형 분석

Q [문제 원문]

30. 실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 $f(x)$의 역함수
$f^{-1}(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $|x| \le 1$일 때, $4 \times (f^{-1}(x))^2 = x^2(x^2-5)^2$이다.

(나) $|x| \gt 1$일 때, $|f^{-1}(x)| = e^{|x|-1}+1$이다.

실수 $m$에 대하여 기울기가 $m$이고 점 $(1, 0)$을 지나는 직선이
곡선 $y=f(x)$와 만나는 점의 개수를 $g(m)$이라 하자.
함수 $g(m)$이 $m=a$, $m=b(a \lt b)$에서 불연속일 때,

$g(a) \times \left( \lim\limits_{m \to a+} g(m) \right) + g(b) \times \left( \frac{\ln b}{b} \right)^2$ 의 값을 구하시오.

(단, $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$) [4점]

1 [출제의도]

이 문항은 역함수의 성질과 함수의 연속성/증가 조건을 이용하여 숨겨진 함수의 식을 완벽하게 추론해내고, 기하학적 교점 문제를 새로운 함수 $M(x)$의 개형 분석으로 변환하여 해결하는 최고난도 문항입니다. 특정 구간에서의 미분과 극한, 2계도함수를 통한 볼록성 판단까지 미적분의 핵심 역량을 총체적으로 요구합니다.

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

역함수 $h(x) = f^{-1}(x)$의 식 완벽하게 추론하기

$f(x)$가 연속이고 증가하므로, 그 역함수인 $h(x) = f^{-1}(x)$ 역시 실수 전체에서 연속이며 단조 증가해야 합니다. 이 대원칙을 바탕으로 (가)와 (나) 조건에서 알맞은 식을 선택합니다.

① 구간 $|x| \le 1$에서의 $h(x)$

(가) 조건에 의해 $h(x)^2 = \frac{1}{4}x^2(x^2-5)^2$ 이므로 $h(x) = \pm \frac{1}{2}x(x^2-5)$ 입니다.
$h(x)$가 단조 증가해야 하므로 도함수 $h'(x) \ge 0$ 인 것을 골라야 합니다.

$+$인 경우: $y = \frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{2}x \implies y' = \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2} \lt 0$ ($-1 \le x \le 1$에서 감소하므로 탈락!)
$-$인 경우: $y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{5}{2}x \implies y' = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{2} \gt 0$ (증가하므로 합격!)

h(x) = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{5}{2}x \quad (-1 \le x \le 1)

경계값 확인 : $h(-1) = -2$, $h(1) = 2$

② 구간 $|x| \gt 1$에서의 $h(x)$

(나) 조건에 의해 $|h(x)| = e^{|x|-1} + 1$ 입니다.
$h(x)$는 증가함수이며, 앞서 구한 $h(-1)=-2, h(1)=2$와 끊어짐 없이 매끄럽게 연결되어야 합니다.

$x \gt 1$ 인 경우

$h(1)=2$와 연결되려면 양수여야 하므로 절댓값을 그대로 벗습니다.

h(x) = e^{x-1} + 1

(1, 2)에서 시작하여 가파르게 증가

$x \lt -1$ 인 경우

$h(-1)=-2$와 연결되려면 음수여야 하므로 마이너스를 붙여 벗습니다.

h(x) = -e^{-x-1} - 1

$-\infty$에서 위로 볼록하게 상승하여 (-1,-2) 도착

Step 2

교점 문제를 '새로운 함수 $M(x)$'로 변환하기 (직관적 우회)

문제에서 요구하는 것은 원함수 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=m(x-1)$의 교점 개수 $g(m)$입니다.
이 방정식을 대수적으로 풀기 위해 양변을 역함수 $h$에 대입하는 관점으로 바라봅시다.

방정식의 시선 전환 교점의 $x$좌표를 $t$라고 하면 $f(t) = m(t-1)$ 이 성립합니다.
이를 역함수 $h$의 정의를 이용해 치환하면, $x = f(t) \iff t = h(x)$ 로 둘 수 있습니다.
대입하면 $x = m(h(x) - 1)$ 이 됩니다.
$h(x) = 1$ 인 경우는 $x = 0$이어야 하는데 $h(0) = 0 \neq 1$ 이므로 분모가 0이 될 걱정 없이 양변을 나눌 수 있습니다.
따라서 식을 $m$에 대하여 깔끔하게 정리하면 $m = \frac{x}{h(x)-1}$ 이라는 완벽한 식을 얻게 됩니다!

결과적으로 새로운 함수 $M(x) = \frac{x}{h(x)-1}$ 를 정의하면, 우리가 구해야 할 교점 개수 $g(m)$은 곧 상수함수(수평선) $y=m$과 함수 $y=M(x)$ 그래프가 만나는 교점의 개수와 완전히 일치합니다. 복잡한 곡선과 직선의 만남을, 수평선을 위아래로 움직이며 관찰하는 아주 쉬운 문제로 치환한 것입니다.

Step 3

함수 $M(x)$의 구간별 정밀 개형 분석 (극한과 2계도함수)

함수 $h(x)$가 세 구간으로 나뉘어 있으므로, $M(x)$ 역시 세 구간으로 나누어 관찰합니다. 각 구간의 극한, 미분 증감, 그리고 2계도함수를 통한 곡률(볼록성)까지 완벽하게 파악해 봅시다.

구간 ① : $x \gt 1$ $M(x) = \frac{x}{e^{x-1}}$

[시작점과 극한] $x \to 1^+$ 일 때 $M(x) \to 1$에서 출발합니다. $x \to \infty$ 일 때 지수함수의 압도적인 증가 속도에 의해 다항식 $x$가 무시되므로 $M(x) \to 0$ 이 됩니다. ($y=0$ 점근선)
[도함수와 증감] $M'(x) = \frac{1-x}{e^{x-1}}$ 입니다. $x \gt 1$에서 항상 $M'(x) \lt 0$ 이므로 계속해서 감소만 합니다.
[2계도함수와 변곡점] $M''(x) = \frac{x-2}{e^{x-1}}$ 입니다. $x=2$에서 부호가 $-$에서 $+$로 바뀌므로 변곡점입니다. $1 \lt x \lt 2$에서는 위로 볼록하게 떨어지다가, $x \gt 2$부터는 아래로 볼록하게 꼬리를 길게 빼며 $y=0$에 다가갑니다.

구간 ② : $-1 \le x \le 1$ $M(x) = \frac{-2x}{x^3-5x+2}$

[수직 점근선] 분모 $x^3-5x+2 = (x-2)(x^2+2x-1) = 0$ 이 되는 점 중 구간 내의 해는 $x = \sqrt{2}-1 \approx 0.414$ 입니다. 이를 $\alpha$라 하면 $x=\alpha$가 수직 점근선이 되어 그래프가 둘로 쪼개집니다.
[도함수와 증감] $M'(x) = \frac{4(x^3-1)}{(x^3-5x+2)^2}$ 입니다. $-1 \le x \lt 1$ 범위에서 분자의 $x^3-1$은 무조건 음수이므로, 이 구간에서도 $M(x)$는 예외 없이 감소합니다.
[양끝점과 흐름] $x=-1$일 때 $M(-1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$에서 출발하여 점근선 $\alpha$ 왼쪽에서 $-\infty$로 끝없이 추락합니다. 점근선 $\alpha$ 오른쪽에서는 $+\infty$에서 나타나 내려오며 $x=1$일 때 $M(1)=1$에 안착하여 구간 ①의 시작점과 딱 맞아떨어집니다.

구간 ③ : $x \lt -1$ (가장 중요한 핵심 킬러 구간) $M(x) = \frac{x}{-e^{-(x+1)} - 2}$

[시작점과 극한] $x \to -1^-$ 일 때 $M(x) \to \frac{-1}{-1-2} = \frac{1}{3}$ 로 구간 ②와 매끄럽게 연결됩니다. $x \to -\infty$ 일 때는 분모의 지수항이 폭발적으로 커지므로 분자 $x$를 압도하여 $M(x) \to 0$ 에 수렴합니다. (왼쪽으로도 $y=0$ 점근선)
[극댓점(산봉우리) 찾기 - 치환의 마법] 이 구간의 개형을 지배하는 극댓값을 찾아봅시다. $M'(x) = \frac{-e^{-(x+1)}(x+1) - 2}{\text{(분모)}^2} = 0$ 이 되는 $x$를 찾아야 합니다. 분자가 0이 되어야 하는데 식이 복잡하므로 $t = -(x+1)$ 로 살짝 치환해봅니다. ($x \lt -1$ 이므로 $t \gt 0$ 입니다.)
그러면 분자 식이 아주 예쁜 $t e^t = 2$ 라는 방정식으로 변신합니다! 이 방정식의 유일한 양수 해를 $\beta$ ($\approx 0.85$)라 하면, $x = -1-\beta$ 에서 함수 $M(x)$는 극대(산봉우리)를 가집니다.
[극댓값 계산의 꿀팁] 극댓값을 $b$라고 하면, $b = M(-1-\beta) = \frac{-1-\beta}{-e^\beta - 2}$ 입니다. 여기서 앞서 구한 조건 $\beta e^\beta = 2 \implies e^\beta = \frac{2}{\beta}$ 를 대입하면 복잡한 지수가 사라집니다.
$b = \frac{-(1+\beta)}{-\frac{2}{\beta} - 2} = \frac{1+\beta}{\frac{2(1+\beta)}{\beta}}$ 이 되며, 약분하면 놀랍게도 $b = \frac{\beta}{2}$ 로 깔끔하게 떨어집니다!

Step 4 & 5

불연속점 관찰 및 최종 정답 도출

이제 완성된 전체 $M(x)$의 그래프(우측 시각화 캔버스 참조)에 수평선 $y=m$을 위아래로 움직이며 교점 개수 $g(m)$이 뚝뚝 끊기는(불연속이 되는) 순간을 찾아봅시다.

$m=a$ (아래쪽 불연속점)

$m \lt 0$: 왼쪽 점근선 아래로 빠지는 가지와 무조건 1번 만남 ($g=1$)
m = 0: 원점에서 딱 1번 만납니다 ($g=1$). $x \to \pm\infty$인 양쪽 꼬리는 점근선이므로 닿지 않습니다. 따라서 a=0.
$m \to 0^+$: 수평선이 $x$축 위로 살짝 올라가면, 오른쪽 감소하는 가지(1개), 극대 산봉우리 올라가는 길(1개), 내려가는 길(1개)로 교점이 총 3개로 폭발!

$\therefore g(a) \times \lim\limits_{m\to 0^+} g(m) = 1 \times 3 = 3$

$m=b$ (위쪽 불연속점)

$0 \lt m \lt b$: 수평선이 산봉우리 허리를 관통하며 3번 만남 ($g=3$)
m = b: 수평선이 극댓점(산봉우리 꼭대기)에 접합니다! 접점(1개)과 오른쪽 가지(1개) 총 2개로 감소!
$m \gt b$: 산봉우리 위를 지나가 허공이 되므로 오른쪽 가지와만 1번 만남 ($g=1$)

$\beta e^\beta = 2$ 이고 극댓값 $b = \frac{\beta}{2}$ 이므로 $\beta = 2b$ 입니다. 대입하면 $2b e^{2b}=2 \implies b e^{2b}=1 \implies \ln b + 2b = 0 \implies \frac{\ln b}{b} = -2$

$\therefore g(b) \times (-2)^2 = 2 \times 4 = 8$

두 값을 더하면 최종 정답은 11

기하학적 교점 시각화 패널

함수 $y=M(x)$의 전체 그래프입니다.
[인터랙션 가이드] 캔버스 안에서 마우스 드래그(이동)와 스크롤 휠(확대/축소)을 통해 산봉우리 꼭대기나 아래쪽 점근선까지 자세히 탐색할 수 있습니다.
아래 슬라이더로 $y=m$ 수평선을 상하로 움직여 교점 개수 $g(m)$의 변화(1개 $\to$ 3개 $\to$ 2개 $\to$ 1개)를 직접 눈으로 확인하세요.

수평선 $y = m$ (기울기 역할) m = 0.20 (교점 3개)

$y=M(x)$ 와 $y=m$ 의 교점

$M(x)$ 그래프
상수함수 $y=m$
수직점선: $x=-1, 1$ (구간 경계)