2026학년도 수능 기하 30번 해설 및 시뮬레이터

수능 출제 분석

벡터의 내적과 원의 기하학적 대칭성을 활용한 고난도 추론

Q 문제 원문

좌표평면에서 길이가 $10\sqrt{2}$ 인 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 두 점 P, Q가

(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}) \cdot (\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PB}) = 2|\overrightarrow{PQ}|^2

을 만족시킨다. $|\overrightarrow{PB}| = 14$일 때, $|\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{QB}| = \frac{q}{p}$ 이다.
$p+q$의 값을 구하시오.
(단, $|\overrightarrow{QB}| > 0$ 이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 벡터의 연산과 내적의 성질을 이용하여 기하학적 도형(원)의 성질을 대수적으로 이끌어내는 능력을 평가합니다.

주어진 복잡한 벡터 방정식을 원의 중심을 시점으로 하는 위치벡터로 변환하여 단순화하는 역량
벡터의 내적이 0이 되는 조건을 통해 선분의 수직 관계를 기하학적으로 발견하는 통찰력
직각삼각형과 원의 대칭성을 이용하여 벡터의 내적값을 정확하게 계산하는 계산력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

벡터 방정식의 단순화와 수직 조건 발견

선분 $AB$가 원의 지름이므로, 원의 중심을 $O$라고 하면 점 $O$는 선분 $AB$의 중점입니다. 벡터의 덧셈 성질에 의해 $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PO}$가 성립합니다. 이를 주어진 방정식에 대입하여 식을 정리합니다.

(2\overrightarrow{PO}) \cdot (\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PB}) = 2|\overrightarrow{PQ}|^2 $$ 양변을 2로 나누면, $$ \overrightarrow{PO} \cdot (\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PB}) = |\overrightarrow{PQ}|^2

모든 벡터의 시점을 원의 중심 $O$로 통일하여 위치벡터로 표현합시다. $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$ 이고, $\overrightarrow{PO} = -\overrightarrow{OP}$ 입니다.

-\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}) = |\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}|^2 $$ $$ -\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OP}) = |\overrightarrow{OQ}|^2 - 2\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + |\overrightarrow{OP}|^2

점 $P, Q, B$는 모두 반지름이 $R = 5\sqrt{2}$인 원 위의 점이므로 $|\overrightarrow{OP}|^2 = |\overrightarrow{OQ}|^2 = R^2$ 입니다. 이를 대입하여 전개합니다.

-\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} + 2|\overrightarrow{OP}|^2 = 2R^2 - 2\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} $$ $$ -\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} + 2R^2 = 2R^2 - 2\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} $$ $$ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 $$ $$ \overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OB}) = 0 \implies \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{BQ} = 0

결론적으로, 선분 $OP$와 선분 $BQ$는 서로 수직($OP \perp BQ$)입니다. 이는 기하학적으로 현 $BQ$가 반지름 $OP$에 의해 수직이등분됨을 의미합니다.

[참고도 1 : 벡터 방정식이 도출한 수직 관계]

Step 2

길이 조건을 활용한 삼각비 도출

선분 $AB$는 지름이므로 원주각의 성질에 의해 $\triangle PAB$는 $\angle APB = 90^\circ$인 직각삼각형입니다. 지름의 길이 $AB = 10\sqrt{2}$ 이고 문제 조건에서 $|\overrightarrow{PB}| = 14$로 주어졌습니다. 피타고라스 정리를 사용하여 선분 $PA$의 길이를 구합니다.

|\overrightarrow{PA}|^2 + |\overrightarrow{PB}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 $$ $$ |\overrightarrow{PA}|^2 + 14^2 = (10\sqrt{2})^2 = 200 $$ $$ |\overrightarrow{PA}|^2 = 200 - 196 = 4 \implies |\overrightarrow{PA}| = 2

이제 벡터 내적 계산을 위해 $\overrightarrow{OP}$와 $\overrightarrow{OB}$가 이루는 각도를 구해야 합니다. $\angle POB = \theta$라고 하면, $\triangle POB$에서 코사인 법칙을 적용할 수 있습니다. 반지름 $R = 5\sqrt{2}$ 입니다.

|\overrightarrow{PB}|^2 = |\overrightarrow{OP}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 - 2|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta $$ $$ 196 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos\theta = 2R^2(1 - \cos\theta) $$ $$ 196 = 2(50)(1 - \cos\theta) = 100(1 - \cos\theta) $$ $$ 1 - \cos\theta = 1.96 \implies \cos\theta = -0.96 = -\frac{24}{25}

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 이므로, $\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.96)^2} = \sqrt{0.0784} = 0.28 = \frac{7}{25}$ 입니다.

[참고도 2 : 코사인 법칙과 직각삼각형 구조]

Step 3

좌표평면의 도입과 벡터의 성분 계산

고등학교 기하 교육과정에 맞추어, 기하학적 성질을 대수적으로 계산하기 위해 좌표평면을 도입합니다. 원의 중심 $O$를 원점 $(0,0)$으로 하고, 벡터 $\overrightarrow{OP}$가 $y$축의 양의 방향을 향하도록 좌표축을 설정하면 점 $P$의 좌표는 $(0, 5\sqrt{2})$가 됩니다.

Step 1에서 $OP \perp BQ$임을 확인했습니다. $OP$가 $y$축 위에 있으므로 현 $BQ$는 $x$축에 평행하며, 점 $B$와 점 $Q$는 $y$축($OP$)에 대하여 완벽히 대칭입니다. 점 $B$의 좌표를 $(x_B, y_B)$ (단, $x_B > 0$)라 하면, 점 $Q$는 $(-x_B, y_B)$입니다. 또한 점 $A$는 지름의 양 끝점이므로 점 $B$와 원점 대칭인 $A(-x_B, -y_B)$가 됩니다.

Step 2에서 구한 $\angle POB = \theta$ 에 대하여 $\cos\theta = -\frac{24}{25}$ 였습니다. 점 $B$의 $y$좌표는 반지름 $R$에 $\cos\theta$를 곱한 값과 같습니다.

y_B = R \cos\theta = 5\sqrt{2} \times \left(-\frac{24}{25}\right) = -\frac{24\sqrt{2}}{5} $$ 원 방정식 $x^2 + y^2 = R^2 = 50$ 을 이용하여 $x_B^2$ 을 구합니다. $$ x_B^2 = 50 - y_B^2 = 50 - \left(-\frac{24\sqrt{2}}{5}\right)^2 = 50 - \frac{1152}{25} = \frac{1250 - 1152}{25} = \frac{98}{25}

이제 목표인 두 벡터 $\overrightarrow{PA}$와 $\overrightarrow{QB}$를 성분으로 나타내어 내적을 계산합니다.

\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP} = (-x_B, -y_B) - (0, 5\sqrt{2}) = (-x_B, -y_B - 5\sqrt{2}) $$ $$ \overrightarrow{QB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OQ} = (x_B, y_B) - (-x_B, y_B) = (2x_B, 0)

$x$성분은 $x$성분끼리, $y$성분은 $y$성분끼리 곱하여 더합니다.

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{QB} = (-x_B)(2x_B) + (-y_B - 5\sqrt{2})(0) = -2x_B^2 $$ $$ \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{QB} = -2 \times \frac{98}{25} = -\frac{196}{25}

문제에서 요구하는 절댓값은 $|\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{QB}| = \frac{196}{25}$ 입니다.
$p=25$, $q=196$ 은 서로소이므로, 최종 정답 $p+q = 25 + 196 = \mathbf{221}$ 입니다.

[참고도 3 : 설정된 좌표계와 위치벡터의 성분]

3 이론 매칭

평면벡터의 덧셈과 뺄셈 벡터의 내적과 수직 조건 위치벡터의 성분 표시 원의 성질 (지름에 대한 원주각) 코사인 법칙

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 : $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}$ 의 기하학적 의미 간과

학생들은 종종 $(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB})$ 를 전개하여 복잡한 다항식으로 만들려다 식의 방향성을 잃습니다. 선분 $AB$가 원의 지름이라는 조건을 읽고, 그 중점이 원의 중심 $O$라는 것을 즉시 떠올려야 합니다.

기하학적 증명 : 중점 연결 정리

임의의 점 $P$와 선분 $AB$의 중점 $O$에 대하여,

$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OA}$
$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OB}$

두 식을 더하면,

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PO} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$

이때 $O$가 중점이므로 $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OB}$ 이며, 따라서 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}$ 이 됩니다.
결과적으로 $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PO}$ 가 성립합니다. 이 단순화가 문제 해결의 알파이자 오메가입니다.

5 핵심 이론 증명 : 내적과 수직의 관계 유도

본 문제의 Step 1에서 사용된 "$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ 이면 $\overrightarrow{a} \perp (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$ 이다." 라는 성질의 논리적 유도 과정입니다.

등식 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ 가 주어집니다.
우변의 항을 좌변으로 이항하면, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 0$ 이 됩니다.
벡터 내적의 분배법칙 역연산을 적용하여 공통 벡터 $\overrightarrow{a}$ 로 묶어냅니다.
$\implies \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) = 0$
두 벡터의 내적이 0이라는 것은 (두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때) 두 벡터가 이루는 각 $\alpha$에 대해 $\cos\alpha = 0$ 임을 의미합니다.
따라서, 각 $\alpha = 90^\circ$ 가 되어 벡터 $\overrightarrow{a}$ 와 벡터 $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$ 는 서로 수직입니다.
이 문제에서는 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB}$ 에서 $\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OB}) = 0$ 을 이끌어내어 $OP \perp BQ$ 라는 핵심 기하 조건을 발견하는 데 사용되었습니다.

대칭성 및 내적 실시간 시뮬레이터

■ 시뮬레이터 조작 가이드

선분 $PB$의 길이를 변경하는 슬라이더를 조작해 보세요. $OP \perp BQ$ 조건이 항시 유지되면서 점 $Q$가 어떻게 원 위를 이동하는지, 그리고 목표인 내적값 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{QB}$가 기하학적 형태 변화에 따라 어떻게 계산되는지 실시간으로 확인할 수 있습니다.
(마우스 드래그로 평면 이동, 휠로 확대/축소 가능)

선분 PB의 길이 ($|\overrightarrow{PB}|$) PB : 14.00

■ 각 POB ($ \theta $)

0.00°

■ $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{QB}$ 결과

-7.84 (목표 : -196/25)

선분 PB

벡터 PA, QB

대칭축 OP