3.1 심화·배경
Right Triangle
직각삼각형의 성질 16개(156~171번)를 정리합니다. 157~162번(삼각비)은 이 절에서 직접 정의하며,
4장에서 단위원을 이용해 일반각으로 확장합니다. 163번(피타고라스 정리)은 원서 추출 과정에서 사영 공식이
깨져 있어(a=fc로 잘못 표기) 실제 기하학적 관계(a²=cg)로 바로잡아 증명했습니다.
이 절의 모든 증명은 닮음(AA·SAS)과 중위선만을 근거로 삼습니다. 삼각함수의 덧셈정리나
좌표기하를 끌어오지 않으므로 4장·7장과의 순환 논증이 생기지 않습니다.
교육과정 안내 : 이 절의 내용은 전부 중·고등학교 범위이며 대학 과정 내용은 포함되어 있지 않습니다. 다만 157~162번 중 sec · cosec(csc) · cot 세 가지는 현행 고등학교 교육과정에서 다루지 않으므로(대학 미적분학·공학수학에서 사용) 수능 대비만이 목적이라면 sin · cos · tan 세 가지만 익히면 충분합니다. 나머지 세 개는 "역수 관계"만 눈에 익혀 두는 정도로 두어도 이후 단원 학습에 지장이 없습니다.
직각삼각형 ABC — 직각은 C · 다리 a=BC, b=AC · 빗변 c=AB · C에서 c에 내린 높이 h, 수선의 발 H · 사영 f=AH, g=HB(f+g=c) · 예각 α(A), β(B)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 직각삼각형에서 예각 α를 기준으로 세 변을 대변(α와 마주 보는 변 a), 이웃변(α를 낀 다리 b), 빗변(c)으로 부르고, 아래 여섯 개의 비를 약속합니다.
| sin α = ac = cos β | 대변 ÷ 빗변 |
| cos α = bc = sin β | 이웃변 ÷ 빗변 |
| tan α = ab = cot β | 대변 ÷ 이웃변 |
| cot α = ba = tan β | tan α의 역수 |
| sec α = cb = cosec β | cos α의 역수 |
| cosec α = ca = sec β | sin α의 역수 |
① 잘 정의됨(well-defined)의 확인. 위의 비는 "어떤 직각삼각형을 그렸는가"가 아니라 각 α에만 의존해야 뜻이 있습니다. 예각 α를 공유하는 두 직각삼각형은 나머지 한 각도 90°−α로 같으므로 AA 닮음이고, 닮은 삼각형의 대응변의 비는 같습니다. 따라서 삼각형의 크기를 아무리 바꾸어도 위 여섯 값은 변하지 않습니다.
② 짝 관계. 156번에 의해 α+β=90°이므로 α의 대변은 β의 이웃변이고 그 반대도 성립합니다. 표의 오른쪽 등호(sin α = cos β 등)는 이 관계를 그대로 옮겨 적은 것일 뿐 별도의 증명이 필요하지 않습니다.
③ 확장. 여기서의 정의는 0° < α < 90°에서만 뜻을 가집니다. 4장에서 단위원 위의 점의 좌표로 다시 정의하여 모든 실수 각으로 확장합니다.
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (닮음을 이용한 사영 관계 유도)
빗변 위의 높이가 만드는 두 개의 작은 삼각형이 원래 삼각형과 닮음이라는 사실을 이용합니다. 직각삼각형 ABC(직각은 C)에서 C로부터 빗변 AB에 내린 수선의 발을 H라 두고, f=AH, g=HB로 둡니다.
1단계 — H는 A와 B 사이에 있다. 156번에 의해 α와 β는 모두 예각이므로, C에서 직선 AB에 내린 수선의 발은 선분 AB의 내부에 놓입니다(H가 A의 바깥에 있다면 ∠A가 둔각이어야 합니다). 따라서 두 사영은 빗변을 남김없이 둘로 나눕니다.
f + g = c
2단계 — 세 삼각형의 닮음. △ACH는 ∠A를 공유하고 ∠AHC=90°이므로 △ABC와 AA 닮음이고, △CBH는 ∠B를 공유하고 ∠BHC=90°이므로 역시 △ABC와 AA 닮음입니다.
△ABC ∽ △ACH ∽ △CBH
3단계 — 사영 관계. 대응 관계 A↔A, B↔C, C↔H 및 A↔C, B↔B, C↔H를 따라 대응변의 비를 적습니다.
| ABAC = ACAH, 즉 cb = bf | △ABC ∽ △ACH |
| b² = cf | 내항·외항의 곱 |
| ABCB = CBHB, 즉 ca = ag | △ABC ∽ △CBH |
| a² = cg | 내항·외항의 곱 |
4단계 — 합산. 두 식을 변끼리 더합니다.
| a² + b² = cg + cf = c(f + g) | 3단계 두 식 |
| = c · c = c² | 1단계 f+g=c |
사용 : 156번(예각의 합) · AA 닮음과 대응변의 비례
증명 끝
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
여기서 f=AH는 다리 b에 인접한 사영, g=HB는 다리 a에 인접한 사영입니다. 즉 각 다리의 제곱은 (빗변)×(그 다리에 인접한 사영)입니다.
이 두 식은 163번의 3단계에서 이미 유도되었습니다. 163번의 증명이 이 관계를 먼저 세운 뒤 두 식을 더해 피타고라스 정리를 얻는 구조이므로, 번호는 뒤지만 논리적으로는 163번보다 앞서는 명제입니다(순환 논증이 아닙니다).
| b² = cf | △ABC ∽ △ACH |
| a² = cg | △ABC ∽ △CBH |
검산. 두 식을 더하면 c(f+g)=c²이 되어 163번과 모순이 없고, 두 식을 빼면 b² − a² = c(f − g)라는 부수적 관계도 얻습니다.
사용 : 163번의 증명 과정(닮음삼각형)
증명 끝
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
163번에서 △ACH와 △CBH가 모두 △ABC와 닮음임을 보였으므로, 닮음의 추이성에 의해 이 둘도 서로 닮습니다. 대응 관계는 A↔C, C↔B, H↔H입니다.
| △ACH ∽ △CBH | 닮음의 추이성 |
| AHCH = CHBH, 즉 fh = hg | 대응변의 비 |
| h² = fg | 내항·외항의 곱 |
즉 높이 h는 두 사영 f, g의 기하평균입니다. 세 값이 모두 양수이므로 h = fg로도 쓸 수 있습니다.
사용 : 163번의 증명 과정(닮음삼각형)
증명 끝
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
ma는 변 a(=BC)의 중점으로 향하는 중선, 즉 꼭짓점 A에서 BC의 중점 M까지의 거리입니다. 여기서 피타고라스 정리를 쓸 새로운 직각삼각형이 이미 그림 안에 들어 있다는 점이 핵심입니다.
M은 BC의 중점 — △ACM은 C에서 직각인 직각삼각형이고 두 다리는 b와 a2이다
M이 BC 위의 점이므로 ∠ACM은 원래의 직각 ∠ACB와 같은 90°입니다. 따라서 △ACM은 직각삼각형이고, 두 다리는 AC=b와 CM=a2, 빗변은 AM=ma입니다.
| ma² = b² + (a2)² | 163번(피타고라스), △ACM |
| = b² + a²4 | 계산 |
mb는 B에서 AC의 중점 N까지의 거리이고, 같은 이유로 △BCN이 C에서 직각인 직각삼각형이므로 두 다리는 BC=a와 CN=b2입니다.
| mb² = a² + (b2)² = a² + b²4 | 163번, △BCN |
참고. 3.4의 192번(일반 삼각형의 중선의 길이)에 c²=a²+b²을 대입해도 같은 결과가 나옵니다. 여기서는 좌표를 도입하지 않고 직각삼각형 하나만으로 끝난다는 점에서 더 간단합니다.
사용 : 163번(피타고라스 정리) · 중점의 정의
증명 끝
증명법 : 직접증명법
이전 판의 논리적 공백 수정 : 종전 증명은 "빗변 AB를 지름으로 하는 원 위에 직각 C가 있으므로"라고 적어 두었는데, C가 그 원 위에 있다는 것 자체가 지금 증명해야 할 내용 (탈레스 정리의 역)이었습니다. 3.19의 268번이 증명하는 것은 "지름에 대한 원주각은 90°"라는 정방향뿐이므로 그대로 가져다 쓸 수 없습니다. 아래에서는 원을 전혀 쓰지 않고 중위선만으로 증명합니다.
빗변 AB의 중점을 M, 다리 AC의 중점을 N이라 두면, MN은 △ABC의 중위선입니다.
M은 AB의 중점, N은 AC의 중점 — 중위선 MN이 BC와 평행하므로 AC와 수직이고, 따라서 MN은 AC의 수직이등분선이 된다
| MN ∥ BC | 3.4의 184번(중위선) |
| BC ⊥ AC | ∠C = 90° |
| MN ⊥ AC | 평행선 중 하나에 수직인 직선은 다른 하나에도 수직 |
| MN은 AC의 수직이등분선 | N이 AC의 중점 |
| MA = MC | 수직이등분선 위의 점은 두 끝점에서 등거리 |
| ∴ mc = MC = MA = c2 | M이 AB의 중점 |
따름정리(탈레스 정리의 역). 위 증명은 MA=MB=MC=c2를 보였으므로, 직각의 꼭짓점 C는 빗변 AB를 지름으로 하는 원 위에 있다는 사실이 따라 나옵니다. 3.19의 268번은 그 정방향(지름에 대한 원주각은 90°)을 원주각의 정리로 증명하므로, 두 명제가 합쳐져 동치 관계가 완성됩니다. 서로의 증명을 참조하지 않으므로 순환 논증이 아닙니다.
사용 : 3.4의 184번(중위선) · 수직이등분선의 성질
증명 끝
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
3.4의 188번(r = Sp, 반둘레 p = a+b+c2)에 171번(S = ab2)을 대입한 뒤, 분모를 유리화하듯 (a+b−c)를 곱해 정리합니다.
| r = Sp = ab2a+b+c2 = aba+b+c | 3.4의 188번 · 171번 |
| = ab(a+b−c)(a+b+c)(a+b−c) | 분모·분자에 (a+b−c)를 곱함 (a+b>c이므로 0이 아님) |
| = ab(a+b−c)(a+b)² − c² | 합차공식 |
| (a+b)² − c² = a² + b² − c² + 2ab = 2ab | 163번(a²+b²=c²) |
| ∴ r = ab(a+b−c)2ab = a+b−c2 | ab > 0이므로 약분 |
별해(접선의 길이). 내심 I에서 두 다리에 내린 수선의 발과 꼭짓점 C가 만드는 사각형은 한 변이 r인 정사각형입니다. 3.19의 266번(한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다)에 의해 접선의 길이를 각 꼭짓점별로 x, y, r로 두면 a = y+r, b = x+r, c = x+y이므로 a+b−c = 2r이 곧바로 나옵니다.
사용 : 3.4의 188번 · 171번 · 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
163번에서 이미 확보한 닮음 △ABC ∽ △ACH를 그대로 씁니다(대응 A↔A, B↔C, C↔H). 넓이 공식을 경유하지 않으므로 171번과 서로 기대는 구조가 생기지 않습니다.
| BCCH = ABAC, 즉 ah = cb | △ABC ∽ △ACH (163번) |
| ab = ch | 내항·외항의 곱 |
넓이로 읽기. 양변을 2로 나누면 ab2 = ch2이므로, 이 식은 "밑변을 두 다리 중 하나로 잡든 빗변으로 잡든 넓이는 같다"는 뜻이기도 합니다(3.4의 195번). 다만 위 증명은 넓이를 쓰지 않았습니다.
사용 : 163번의 증명 과정(닮음삼각형)
증명 끝