선행학습 · PREREQUISITE
추론의 타당성
Argument's Valid
원문 : blog.naver.com/cki_math_lab/220730528516
정의 1. (추론, Argument)
추론 또는 논증이란 몇 개의 전제인 명제 p₁,p₂,p₃,⋯,pₙ 으로부터 결론 q를 이끌어 내는 과정이다. 이와 같은
추론을 기호 p₁,p₂,p₃,⋯,pₙ / ∴q 또는 p₁,p₂,p₃,⋯,pₙ ⊢ ∴q 로 나타낸다.
정의 2. (타당과 오류, Valid & Fallacy)
추론 p₁,p₂,p₃,⋯,pₙ / ∴q 가 타당하다는 것은 p₁∧p₂∧p₃∧⋯∧pₙ ⇒ q 일 때이다. 타당하지 않은 추론을
오류라 한다.
타당한 추론 ⇔ p₁∧p₂∧⋯∧pₙ→q가 항진명제 ⇔ 성분 명제 p₁,⋯,pₙ이 모두 참이면 결론 q도 참이다.
타당성 조사의 예 1
추론 "그가 범인이라면 그는 현장에 있었을 것이다. 그는 현장에 없었다. 따라서 그는 범인이 아니다."의
타당성을 알아보자.
p: 범인이다, q: 그는 현장에 있었다 라고 하면, 주어진 추론은 p→q, ∼q / ∴∼p 가 된다.
| p | q | p→q | ∼q | (p→q)∧∼q | ∼p | 결합→ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T |
| T | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
결합 [(p→q)∧∼q] → ∼p 가 항진명제이므로 타당한 추론이다. (이 추론 형식을 삼단부정법이라 한다.)
타당성 조사의 예 2
추론 "그가 수학을 잘 한다면 그는 머리가 좋을 것이다. 그는 수학을 잘한다. 따라서 그는 머리가 좋다."의
타당성을 알아보자.
p: 그는 수학을 잘한다, q: 그는 머리가 좋다 라고 하면, 주어진 추론은 p→q, p / ∴q 가 되고, 결합 [(p→q)∧p] → q 는 항진명제가 된다. 따라서 타당한 추론이다. (이 추론 형식을 삼단긍정법이라 한다.)
Appendix
타당한 추론이란 전제가 모두 참일 때 결론이 참이 된다는 것만을 보장하는 것이다. 주어진 전제가 거짓일 경우
엉뚱한 결론이 유도될 수도 있다. 즉 추론의 타당성은 주어진 성분명제의 참, 거짓과는 관계가 없고 주어진
추론의 형식이 가지고 있는 타당성이다. 특히 어떤 추론에서 결론이 거짓일 경우, 전제 명제가 거짓이거나
잘못된 추론(오류)이다.
타당성 조사의 예 3 (연역적 추론의 필요성)
추론 "철수가 의대를 다녔다면 그는 부유한 생활을 할 것이다. 철수가 예술대를 다녔다면 그는 멋있는 인생을
보낼 것이다. 철수가 부유한 생활을 하거나, 멋있는 인생을 보내고 있다면 등록금을 낭비한 것이 아니다.
철수는 등록금을 낭비했다. 따라서 철수는 의대도 예술대도 다니지 않았다."
p: 철수가 의대를 다녔다, q: 철수는 부유한 생활을 한다, r: 철수가 예술대를 다녔다, s: 철수는 멋있는 인생을 보낸다, a: 철수는 등록금을 낭비했다 라고 하면, 주어진 추론은4)
H1: p→q, H2: r→s, H3: (q∨s)→∼a, H4: a C: ∴ ∼p∧∼r
이 추론의 타당성을 보이려면 결합 [(p→q)∧(r→s)∧((q∨s)→∼a)∧a]→[∼p∧∼r] 이 항진명제임을 보이면 되는데, 성분명제가 5개라 32행짜리 진리표가 필요하다. 그러나 연역적 추론을 이용하면 몇 단계 만에 증명이 가능하다.
형식적 증명 (形式的 證明, Formal Proof)
| ① | p→q | 가정 |
| ② | r→s | 가정 |
| ③ | (q∨s)→∼a | 가정 |
| ④ | a / ∴ ∼p∧∼r | 가정/결론 |
| ⑤ | ∼(q∨s) | ③,④ 삼단부정법, [(p→q)∧∼q]⇒∼p |
| ⑥ | ∼q∧∼s | ⑤ 드모르간의 법칙 |
| ⑦ | ∼q | ⑥ 단순화법칙 |
| ⑧ | ∼s | ⑥ 단순화법칙 |
| ⑨ | ∼p | ①,⑦ 삼단부정법 |
| ⑩ | ∼r | ②,⑧ 삼단부정법 |
| ⑪ | ∼p∧∼r | ⑨,⑩ 논리곱 |
비형식적 증명 (非形式的 證明, Informal Proof)
형식적 증명에 반해, 복잡한 논리학의 증명을 제외한 대부분의 수학에서는 비형식적 증명을 사용한다.
우선 삼단부정법을 이용하여 가정 H3, H4로부터 ∼(q∨s)를 얻어낸다. 여기에 드모르간의 법칙을 적용하면
∼q∧∼s를 얻고, 단순화 법칙에 의해 ∼q와 ∼s를 얻는다. ∼q와 가정 H1으로부터 삼단부정법을 이용하여 ∼p를,
마찬가지로 ∼s와 가정 H2로부터 ∼r을 얻어낸다. 따라서 ∼p∧∼r 이라는 결론을 얻어낼 수 있다.
- 1) 推論, Argument
- 2) 論證, Reasoning
- 3) 妥當(일의 이치로 보아 옳다)과 誤謬, Valid & Fallacy
- 4) H : 가정(Hypothesis), C : 결론(Conclusion)
- 5) 形式的 證明, Formal Proof
- 6) 正當性 : 이치에 합당하고 옳은 것
- 7) 非形式的 證明, Informal Proof