선행학습 · PREREQUISITE
추론의 타당성
Argument's Valid
정의 1. (추론, Argument)
이미 받아들인 몇 개의 명제를 근거로 새 명제 하나를 이끌어 내는 것을 추론 또는 논증이라 한다.
근거가 되는 명제 p1, p2, ⋯, pn을 전제, 이끌어 낸 명제 q를 결론이라 하며,
이 추론을 p1, p2, ⋯, pn ∴ q
로 적는다(∴는 "그러므로"로 읽는다).
정의 2. (타당과 오류, Valid & Fallacy)
전제가 모두 참인 경우에는 결론도 반드시 참일 때, 그 추론은 타당하다고 한다.
진리표로 말하면 "전제의 논리곱 → 결론"인 조건문 p1∧p2∧⋯∧pn→q가 항진명제라는 뜻이고,
함의 기호로는 p1∧p2∧⋯∧pn ⇒ q이다.
타당하지 않은 추론, 곧 전제가 모두 참인데 결론이 거짓인 경우가 하나라도 있는 추론을 오류라 한다.
타당성 조사의 예 1
다음 추론이 타당한지 진리표로 조사하자.
"삼각형 ABC가 정삼각형이면 세 내각의 크기가 같다. 삼각형 ABC는 정삼각형이다. 따라서 세 내각의 크기가 같다."
p: 삼각형 ABC는 정삼각형이다, q: 세 내각의 크기가 같다 라고 하면, 주어진 추론은 p→q, p ∴ q 이다.
| p | q | p→q | (p→q)∧p | 전제→결론 |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | F | T |
전제가 모두 참인 행은 첫 행뿐이고, 그 행에서 결론 q도 참이다. 마지막 열(전제의 논리곱 → 결론, 곧 [(p→q)∧p]→q)이 모두 T이므로 타당한 추론이다. 이 추론 형식이 삼단긍정법이다.
타당성 조사의 예 2
"자연수 n이 4의 배수이면 n은 짝수이다. n은 짝수가 아니다. 따라서 n은 4의 배수가 아니다."
p: n은 4의 배수이다, q: n은 짝수이다 라고 하면, 주어진 추론은 p→q, ∼q ∴ ∼p 이다.
| p | q | p→q | ∼q | (p→q)∧∼q | ∼p | 전제→결론 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T |
| T | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
전제가 모두 참인 행(마지막 행)에서 결론 ∼p도 참이므로 타당하다. 이 추론 형식이 삼단부정법이다.
오류의 예
"자연수 n이 4의 배수이면 n은 짝수이다. n은 짝수이다. 따라서 n은 4의 배수이다."
추론은 p→q, q ∴ p 이다. 위 표의 셋째 행(p 거짓, q 참)에서 두 전제 p→q와 q는 모두 참인데 결론 p는 거짓이다. 실제로 n=6이 그런 경우이다. 따라서 이 추론은 오류이다(후건 긍정의 오류). 조건문이 참이라고 해서 그 역 q→p가 참인 것은 아니기 때문에 생기는 실수로, 증명에서 가장 자주 나오는 잘못 가운데 하나이다.
참고 : 타당성과 참
추론이 타당한지는 전제와 결론의 내용이 아니라 모양(형식)만 보고 정해진다. 그래서 타당성만으로는 결론이 참이라고
말할 수 없고, 전제가 실제로 참인지는 따로 확인해야 한다. 예를 들어 "모든 소수는 홀수이다. 2는 소수이다. 따라서 2는 홀수이다."는
형식은 타당하지만 첫 전제가 거짓이어서 결론도 거짓이다. 거꾸로 말하면, 타당한 추론의 결론이 거짓이라면
전제 중 적어도 하나는 거짓이다.
타당성 조사의 예 3 (연역적 추론의 필요성)
"수학 동아리는 화요일이나 목요일에 모인다. 화요일에 모이면 회장이 진행한다. 목요일에 모이면 총무가 진행한다.
이번 주에는 회장이 진행하지 않았다. 따라서 이번 주 모임은 총무가 진행했다."
p: 화요일에 모인다, q: 목요일에 모인다, r: 회장이 진행한다, s: 총무가 진행한다 라고 하면, 주어진 추론은
p∨q, p→r, q→s, ∼r ∴ s
이번에도 진리표로 확인할 수는 있지만 성분명제가 넷이라 16행을 다 따져야 한다. 명제가 늘어날수록 행은 두 배씩 늘어나므로, 대신 기초 논리 정리 13의 규칙을 한 번에 하나씩 적용해 전제에서 결론까지 걸어가 보자.
형식적 증명 (形式的 證明, Formal Proof)
| ① | p∨q | 전제 |
| ② | p→r | 전제 |
| ③ | q→s | 전제 |
| ④ | ∼r | 전제 (보일 것 : s) |
| ⑤ | ∼p | ②,④ 삼단부정법 |
| ⑥ | q | ①,⑤ 선언지제거법 |
| ⑦ | s | ③,⑥ 삼단긍정법 |
비형식적 증명 (非形式的 證明, Informal Proof)
실제 수학책의 증명은 대부분 문장으로 풀어 쓴 비형식적 증명이다. 위 추론이라면 이렇게 쓴다.
"회장이 진행하지 않았으므로 화요일 모임이 아니다. 화요일이나 목요일에 모이므로 이번 주는 목요일 모임이고,
목요일 모임은 총무가 진행한다." 각 문장 뒤에는 형식적 증명의 한 줄이 숨어 있다.