집합의 항등식

Set Identities

정의 · 공식

전체집합 I 안에서 집합 A, B, C 사이의 기본 연산과 그 성질을 정리합니다.

1부분집합A ⊂ I
2반사성A ⊂ A
3집합의 상등A = B (단, A⊂B 이고 B⊂A)
4공집합∅ ⊂ A
5합집합C = A∪B = {x | x∈A 또는 x∈B}
6합집합의 교환법칙A∪B = B∪A
7합집합의 결합법칙A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
8교집합C = A∩B = {x | x∈A 그리고 x∈B}
9교집합의 교환법칙A∩B = B∩A
10교집합의 결합법칙A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
11-12분배법칙A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
13멱등법칙A∩A = A, A∪A = A
14지배법칙A∩∅ = ∅, A∪I = I
15항등법칙A∪∅ = A, A∩I = A
16여집합A′ = {x∈I | x∉A}
17여집합의 성질A∪A′ = I, A∩A′ = ∅
18드모르간의 법칙(A∪B)′ = A′∩B′, (A∩B)′ = A′∪B′
19-24차집합B∖A = {x | x∈B 그리고 x∉A}
B∖A = B∖(A∩B) = B∩A′
A∖A = ∅, A∖B = A (단, A∩B=∅)
(A∖B)∩C = (A∩C)∖(B∩C)
A′ = I∖A
25데카르트 곱C = A×B = {(x,y) | x∈A 그리고 y∈B}순서쌍 (x,y)들의 집합. 좌표평면 ℝ×ℝ이 대표적 예.

임의의 원소 x에 대해 다음이 성립함을 보이면 두 집합이 같음을 알 수 있습니다.

x ∈ (A∪B)′ ⟺ x ∉ A∪B ⟺ (x∉A 그리고 x∉B) ⟺ (x∈A′ 그리고 x∈B′) ⟺ x ∈ A′∩B′

따라서 (A∪B)′ = A′∩B′. 같은 방식으로 x∈(A∩B)′ ⟺ ¬(x∈A ∧ x∈B) ⟺ (x∉A ∨ x∉B) ⟺ x∈A′∪B′ 이므로 (A∩B)′ = A′∪B′ 도 성립합니다.

증명 끝

x ∈ A∩(B∪C) ⟺ x∈A 이고 (x∈B 또는 x∈C)
⟺ (x∈A 이고 x∈B) 또는 (x∈A 이고 x∈C) — 논리곱의 논리합에 대한 분배
⟺ x∈(A∩B) 또는 x∈(A∩C) ⟺ x∈(A∩B)∪(A∩C)

증명 끝

x ∈ B∖A ⟺ (x∈B 이고 x∉A) ⟺ (x∈B 이고 x∈A′) ⟺ x∈B∩A′

증명 끝

1~17, 25번 항목(반사성·항등법칙·멱등법칙·데카르트 곱 등)은 집합 연산의 정의로부터 바로 확인되는 기본 성질이라 별도 증명 없이 정의 그대로 사용합니다.