1.1 심화·배경
집합의 항등식
Set Identities
정의 · 공식과 증명
전체집합 U 안에서 집합 A, B, C 사이의 기본 연산 25개를 정리합니다. 각 항목을 열면(▸ 클릭) 정의는 "정의이므로 증명 대상이 아님"이 표시되고, 정리는 실제 증명과 그 증명에서 어떤 정의·이전 정리·논리 법칙을 사용했는지("사용 :" 줄)가 표시됩니다. 증명 방법은 전부 원소논법 — 임의의 원소 x를 잡아 "x가 좌변에 속함 ⟺ x가 우변에 속함"을 보이는 방식이며, 이는 3번(집합의 상등의 정의 : A⊂B 이고 B⊂A 이면 A=B)에 근거합니다. 집합론의 ZFC 공리계(집합 자체의 존재를 다루는 더 근본적인 층위)는 이 페이지 범위를 벗어나므로 다루지 않습니다.
0a정의전체집합 (Universal Set)U
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 어떤 논의를 시작할 때 "다루는 모든 대상(원소)의 모음"으로 미리 정해두는 집합을 전체집합이라 하고 U로 나타냅니다. 이 페이지에서 다루는 A, B, C는 전부 U의 부분집합으로 놓고 시작합니다.
U : 이 논의에서 다루는 모든 원소를 담는 그릇
0b정의부분집합 (Subset)A⊂B :⟺ ∀x(x∈A⟹x∈B)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. "A의 모든 원소가 B에도 속한다"는 뜻이며, 임의의 x에 대해 조건문 x∈A⟹x∈B가 항상 참일 때 A⊂B라고 약속합니다. (국내 교육과정 관행에 따라 이 사이트에서는 ⊂ 기호를 "부분집합 또는 자기 자신과 같음"의 의미로 사용합니다 — 즉 국제 표준의 ⊆와 같은 뜻입니다.)
A의 모든 원소가 B 안에 포함됨(A⊂B)
0c정의공집합 (Empty Set)∅ = { } (원소를 하나도 갖지 않는 집합)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 원소가 전혀 없는 집합을 공집합이라 하고 ∅로 나타냅니다. 공집합은 정확히 하나만 존재합니다(외연성 공리에 의해, 원소가 없다는 조건만으로 서로 같아짐).
∅ : U 안 어디에도 점(원소)이 없는 집합
1정리부분집합A ⊂ U
증명법 : 직접증명법
x∈A라 하자. 전체집합 U는 "이 논의에서 다루는 모든 집합의 원소를 모아놓은 집합"으로 설정되어 있으므로, A의 원소는 애초에 U의 원소이기도 합니다. 즉 x∈A ⟹ x∈U. 부분집합의 정의(모든 x에 대해 x∈A ⟹ x∈B이면 A⊂B)에 의해 A⊂U.
A는 항상 전체집합 U 안에 있음(A⊂U)
사용 : 전체집합 U의 정의(설정) · 부분집합 기호 ⊂의 정의
증명 끝
2정리반사성A ⊂ A
증명법 : 직접증명법
부분집합의 정의를 그대로 적용합니다 : "모든 x에 대해 x∈A ⟹ x∈A"인지 확인하면 되는데, 이는 동일한 명제이므로 항상 참(동어반복)입니다. 따라서 A⊂A.
A⊂A (자기 자신과의 포함 관계)
사용 : 부분집합 기호 ⊂의 정의
증명 끝
3정의집합의 상등A = B (A⊂B 이고 B⊂A)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 두 집합이 서로를 포함하면 두 집합을 "같다"고 약속하는 것으로, 이후 모든 "○○=○○" 형태의 증명은 이 정의(외연성)를 근거로 삼습니다.
서로를 완전히 포함하는 두 집합은 같은 집합
4정리공집합∅ ⊂ A
증명법 : 공허한 증명(vacuous proof) — 조건문의 정의(전건이 거짓이면 항상 참)를 직접 적용. 직접증명법의 특수한 경우로, 결론을 부정해 모순을 이끌어내는 귀류법과는 다릅니다.
"∅⊂A가 거짓"이라면 ∅의 원소 중 A에 속하지 않는 원소가 적어도 하나 있어야 합니다. 그런데 ∅은 원소를 하나도 갖지 않으므로, 그런 원소는 애초에 존재할 수 없습니다. 조건을 만족하는 반례가 존재하지 않으므로 "∅⊂A"는 공허하게 참(vacuous truth)입니다.
∅은 어떤 A 안에도 (공허하게) 포함됨
사용 : 부분집합 기호 ⊂의 정의 · 공집합 ∅의 정의(원소가 없음) · 논리학의 공허한 참
증명 끝
5정의합집합A∪B = {x | x∈A 또는 x∈B}
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. "A∪B"라는 기호가 무엇을 뜻하는지 약속하는 문장입니다.
A∪B (두 원 전체가 합집합)
6정리합집합의 교환법칙A∪B = B∪A
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
| x∈A∪B ⟺ (x∈A 또는 x∈B) | 5번의 정의 |
| ⟺ (x∈B 또는 x∈A) | "또는"의 교환법칙(p∨q ≡ q∨p) |
| ⟺ x∈B∪A | 5번의 정의(B, A 역할 교환) |
합집합은 A, B 순서를 바꿔도 같은 영역
사용 : 5번(합집합의 정의) · 논리학의 "또는" 교환법칙
증명 끝
7정리합집합의 결합법칙A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
| x∈A∪(B∪C) ⟺ x∈A 또는 (x∈B 또는 x∈C) | 5번의 정의(두 번 적용) |
| ⟺ (x∈A 또는 x∈B) 또는 x∈C | "또는"의 결합법칙(p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r) |
| ⟺ x∈(A∪B)∪C | 5번의 정의(두 번 적용) |
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (세 원 전체가 합집합)
사용 : 5번(합집합의 정의, 두 차례 적용) · 논리학의 "또는" 결합법칙
증명 끝
8정의교집합A∩B = {x | x∈A 그리고 x∈B}
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. "A∩B"라는 기호가 무엇을 뜻하는지 약속하는 문장입니다.
A∩B (겹치는 부분만 교집합)
9정리교집합의 교환법칙A∩B = B∩A
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
| x∈A∩B ⟺ (x∈A 그리고 x∈B) | 8번의 정의 |
| ⟺ (x∈B 그리고 x∈A) | "그리고"의 교환법칙(p∧q ≡ q∧p) |
| ⟺ x∈B∩A | 8번의 정의 |
교집합도 A, B 순서를 바꿔도 같은 영역
사용 : 8번(교집합의 정의) · 논리학의 "그리고" 교환법칙
증명 끝
10정리교집합의 결합법칙A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
7번과 완전히 같은 방식으로, 8번의 정의를 두 번 적용하면 양변 모두 "x∈A 그리고 x∈B 그리고 x∈C"와 동치가 되고, 논리학의 "그리고" 결합법칙(p∧(q∧r)≡(p∧q)∧r)에 의해 두 표현은 일치합니다.
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C (가운데 겹치는 부분만 교집합)
사용 : 8번(교집합의 정의, 두 차례 적용) · 논리학의 "그리고" 결합법칙
증명 끝
11정리분배법칙 (∪가 ∩에 분배)A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
| x∈A∪(B∩C) ⟺ x∈A 또는 (x∈B 그리고 x∈C) | 5번, 8번의 정의 |
| ⟺ (x∈A 또는 x∈B) 그리고 (x∈A 또는 x∈C) | 분배법칙 p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r) |
| ⟺ x∈(A∪B) 그리고 x∈(A∪C) | 5번의 정의(두 차례) |
| ⟺ x∈(A∪B)∩(A∪C) | 8번의 정의 |
A 전체(왼쪽 원) + B∩C 부분 = A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
사용 : 5번(합집합의 정의) · 8번(교집합의 정의) · 논리학의 분배법칙(∨가 ∧에 분배)
증명 끝
12정리분배법칙 (∩가 ∪에 분배)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
| x∈A∩(B∪C) ⟺ x∈A 이고 (x∈B 또는 x∈C) | 8번, 5번의 정의 |
| ⟺ (x∈A 이고 x∈B) 또는 (x∈A 이고 x∈C) | 분배법칙 p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) |
| ⟺ x∈(A∩B) 또는 x∈(A∩C) | 8번의 정의(두 차례) |
| ⟺ x∈(A∩B)∪(A∩C) | 5번의 정의 |
A 안에서 B 또는 C와 겹치는 부분 = A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
사용 : 8번(교집합의 정의) · 5번(합집합의 정의) · 논리학의 분배법칙(∧가 ∨에 분배)
증명 끝
13정리멱등법칙A∩A = A, A∪A = A
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
| x∈A∩A ⟺ (x∈A 이고 x∈A) ⟺ x∈A | 8번의 정의 · 멱등법칙(p∧p≡p) |
| x∈A∪A ⟺ (x∈A 또는 x∈A) ⟺ x∈A | 5번의 정의 · 멱등법칙(p∨p≡p) |
자기 자신과의 교집합·합집합은 항상 자기 자신
사용 : 8번(교집합의 정의) · 5번(합집합의 정의) · 논리학의 멱등법칙
증명 끝
14정리지배법칙A∩∅ = ∅, A∪U = U
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
A∩∅=∅ : ∅은 원소가 없으므로 "x∈A 이고 x∈∅"를 만족하는 x는 존재할 수 없습니다(8번의 정의에 의해 A∩∅의 원소가 되려면 x∈∅이어야 하는데 그런 x가 없음). 따라서 A∩∅=∅.
A∪U=U : 1번에 의해 A⊂U이므로 A의 모든 원소는 이미 U의 원소입니다. 또한 U의 모든 원소는 당연히 U의 원소이므로, 5번의 정의에 의해 x∈A∪U ⟺ (x∈A 또는 x∈U) ⟺ x∈U. 따라서 A∪U=U.
A∩∅=∅ (겹칠 원소가 없음) · A∪U=U (U 전체가 이미 A를 포함)
사용 : 8번(교집합의 정의) · 5번(합집합의 정의) · 1번(A⊂U) · 공집합의 정의(원소 없음)
증명 끝
15정리항등법칙A∪∅ = A, A∩U = A
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
A∪∅=A : x∈A∪∅ ⟺ (x∈A 또는 x∈∅) — 5번의 정의. ∅에는 원소가 없어 "x∈∅"는 항상 거짓이므로, 전체 명제는 "x∈A"와 동치입니다.
A∩U=A : x∈A∩U ⟺ (x∈A 이고 x∈U) — 8번의 정의. 1번(A⊂U)에 의해 x∈A이면 자동으로 x∈U이므로 "x∈U" 조건은 항상 참이 되어, 전체 명제는 "x∈A"와 동치입니다.
A∪∅=A (∅은 아무것도 더하지 않음) · A∩U=A (A는 이미 U 안에 있음)
사용 : 5번(합집합의 정의) · 8번(교집합의 정의) · 1번(A⊂U) · 공집합의 정의
증명 끝
16정의여집합Ac = {x∈U | x∉A}
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. "Ac"라는 기호가 무엇을 뜻하는지(U 안에서 A에 속하지 않는 원소들) 약속하는 문장입니다.
Ac (U 안에서 A 바깥 부분)
17정리여집합의 성질A∪Ac = U, A∩Ac = ∅
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
A∪Ac=U : 임의의 x∈U에 대해, "x∈A" 또는 "x∉A" 둘 중 정확히 하나가 참입니다(배중률). 16번의 정의에 의해 "x∉A"는 "x∈Ac"과 같으므로, x∈U이면 항상 x∈A 또는 x∈Ac, 즉 x∈A∪Ac. 따라서 A∪Ac=U.
A∩Ac=∅ : "x∈A 이고 x∈Ac(=x∉A)"는 "x∈A 이고 x∉A"가 되어 모순율에 의해 항상 거짓입니다. 이를 만족하는 x가 없으므로 A∩Ac=∅.
A∪Ac=U (둘을 합치면 U 전체) · A∩Ac=∅ (겹치는 부분 없음)
사용 : 16번(여집합의 정의) · 논리학의 배중률과 모순율 · 5번, 8번(합·교집합의 정의)
증명 끝
18정리드모르간의 법칙(A∪B)c = Ac∩Bc, (A∩B)c = Ac∪Bc
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
(A∪B)c=Ac∩Bc :
| x∈(A∪B)c ⟺ x∉A∪B | 16번의 정의 |
| ⟺ ¬(x∈A 또는 x∈B) | 5번의 정의 |
| ⟺ (x∉A 그리고 x∉B) | 논리학의 드모르간 법칙 ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q |
| ⟺ (x∈Ac 그리고 x∈Bc) | 16번의 정의(두 차례) |
| ⟺ x∈Ac∩Bc | 8번의 정의 |
(A∩B)c=Ac∪Bc : 같은 방식입니다.
| x∈(A∩B)c ⟺ ¬(x∈A 이고 x∈B) | 16번, 8번의 정의 |
| ⟺ (x∉A 또는 x∉B) | 논리학의 드모르간 법칙 ¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q |
| ⟺ x∈Ac∪Bc | 16번, 5번의 정의 |
(A∪B)c (두 원 바깥, A와 B 어디에도 없는 영역) = Ac∩Bc
사용 : 16번(여집합의 정의) · 5번, 8번(합·교집합의 정의) · 논리학의 드모르간 법칙(집합론 이전에 명제논리 차원의 법칙)
증명 끝
19정의차집합B-A = {x | x∈B 그리고 x∉A}
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. "B-A"라는 기호가 무엇을 뜻하는지 약속하는 문장입니다.
B-A (B에서 A와 겹치는 부분을 제외)
20정리차집합의 대체 표현B-A = B∩Ac
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
| x∈B−A ⟺ (x∈B 이고 x∉A) | 19번의 정의 |
| ⟺ (x∈B 이고 x∈Ac) | 16번의 정의(x∉A ⟺ x∈Ac) |
| ⟺ x∈B∩Ac | 8번의 정의 |
B-A와 B∩Ac은 정확히 같은 영역(B에서 A 바깥쪽만 남김)
사용 : 19번(차집합의 정의) · 16번(여집합의 정의) · 8번(교집합의 정의)
증명 끝
21정리자기 자신과의 차집합A-A = ∅
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
x∈A-A ⟺ (x∈A 이고 x∉A) — 19번의 정의. 이는 "x∈A 이고 x∈A가 아님"이라는 모순된 조건이라, 모순율에 의해 항상 거짓입니다. 이를 만족하는 x가 존재하지 않으므로 A-A=∅.
A에서 A 전체를 빼면 아무것도 남지 않음(A-A=∅)
사용 : 19번(차집합의 정의) · 논리학의 모순율
증명 끝
22정리서로소일 때의 차집합A-B = A (단, A∩B = ∅)
23정리차집합과 교집합의 분배(A-B)∩C = (A∩C)-(B∩C)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
| x∈(A−B)∩C ⟺ x∈(A−B) 이고 x∈C | 8번의 정의 |
| ⟺ (x∈A 이고 x∉B) 이고 x∈C | 19번의 정의 |
| ⟺ (x∈A 이고 x∈C) 이고 x∉B | "그리고"의 교환·결합(9·10번과 같은 원리) |
여기서 이미 x∈C가 확정된 상태이므로, "x∉B"는 "x∉(B∩C)"와 같은 판정을 줍니다(C 성분은 이미 만족되어 있으므로 B만 걸러내면 됨). 따라서 :
| ⟺ x∈(A∩C) 이고 x∉(B∩C) | 8번의 정의 |
| ⟺ x∈(A∩C)−(B∩C) | 19번의 정의 |
A와 C가 겹치지만 B는 피한 부분 = (A-B)∩C = (A∩C)-(B∩C)
사용 : 8번(교집합의 정의) · 19번(차집합의 정의) · 9·10번에서 쓰인 "그리고"의 교환·결합 원리
증명 끝
24정리여집합의 차집합 표현Ac = U-A
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (좌변 ⟺ ⋯ ⟺ 우변)
x∈U-A ⟺ (x∈U 이고 x∉A) — 19번의 정의. 16번의 정의 자체가 "U 안에서 A에 속하지 않는 원소"이므로, "x∈U 이고 x∉A"는 정확히 16번이 말하는 조건과 같습니다. 따라서 x∈U-A ⟺ x∈Ac.
Ac와 U-A는 정확히 같은 영역(U 안에서 A 바깥 전체)
사용 : 19번(차집합의 정의) · 16번(여집합의 정의) · 1번(A⊂U)
증명 끝
25정의대학데카르트 곱A×B = {(x,y) | x∈A 그리고 y∈B}
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 순서쌍 (x,y)들의 집합이며, 좌표평면 ℝ×ℝ이 대표적인 예입니다. A×B라는 기호와 일반적인 데카르트 곱은 대학 집합론에서 다루는 내용입니다. 고교·수능 범위에서는 좌표평면(순서쌍) 개념으로만 만나므로, 수능 준비생이 이 기호까지 공부할 필요는 없습니다.
A×B : A의 원소와 B의 원소로 만든 모든 순서쌍(좌표평면 위의 격자점)