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이론/ 수의 집합/ 1.2 수의 분류

1.2   심화·배경

수의 분류

Sets of Numbers

정의 · 공식과 증명

자연수부터 복소수까지 수 체계가 어떻게 확장되는지 정리합니다. 26~32번은 각 수 집합을 약속하는 정의이고, 33번(포함관계)만 실제로 증명이 필요한 정리입니다. 30번(무리수) 항목 안에는 "무리수가 실제로 존재한다"는 걸 보여주는 예시 증명(2가 무리수임)을 함께 실었습니다 — 이건 정의 자체의 증명이 아니라, 정의된 대상이 공집합이 아님을 확인하는 참고 증명입니다.

    26정의자연수 (Natural Numbers)N = {1, 2, 3, …}

    정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 개수를 세는 데 쓰는 수(Counting numbers)로 약속합니다.

    0 1 2 3 4 5

    N : 수직선 위 1, 2, 3, …에 해당하는 점만 모은 것(0은 제외 · 빈 원)

    27정의0을 포함한 자연수 (Whole Numbers)N₀ = {0, 1, 2, 3, …}

    정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

    0 1 2 3 4 5

    N₀ : N에 0(채워진 점)까지 포함

    28정의정수 (Integers)Z = {…,−2,−1,0,1,2,…}

    정의이므로 증명 대상이 아닙니다. Z⁺=N(양의 정수), Z⁻={…,−3,−2,−1}(음의 정수)라 할 때 Z=Z⁻∪{0}∪Z⁺로 약속합니다.

    -2 -1 0 1 2

    Z : 수직선 위에서 음의 방향으로도 끝없이 이어지는 점들

    29정의유리수 (Rational Numbers)Q = {ab | a,b∈Z, b≠0}

    정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 유한소수 또는 순환소수로 나타나는 수와 같습니다.

    0 − 1 2 3 4

    Q : 정수의 비로 나타나는 점들이 수직선 위에 촘촘히(조밀하게) 분포

    30정의무리수 (Irrational Numbers)순환하지 않는 무한소수

    정의 자체("유리수가 아닌 실수")는 증명 대상이 아닙니다. 제목의 "순환하지 않는 무한소수"라는 표현은 "유리수 ⟺ 유한소수 또는 순환소수"라는 동치에 근거한 것인데, 고교에서는 이 동치를 받아들이는 사실로 사용하며 엄밀한 증명은 대학 해석학(실수의 구성)에서 다룹니다 — 수능 준비생이 그 증명까지 공부할 필요는 없습니다. 다만 이 정의가 "속이 빈 정의"(그런 수가 실제로 없음)가 아님을 보이기 위해, 무리수의 대표적인 예시인 2가 실제로 무리수임을 증명합니다.

    예시 증명 — 2는 무리수이다 (귀류법).

    2가 유리수라고 가정하면, 서로소인(1 이외의 공약수가 없는) 두 자연수 a, b로 다음처럼 쓸 수 있습니다.

    2 = ab

    양변을 제곱해 정리하면 :

    2 = a²b²   ⟹   a² = 2b²

    우변이 2의 배수이므로 a²도 2의 배수(짝수)이고, 홀수의 제곱은 항상 홀수이므로 a도 짝수여야 합니다.

    a=2k(k는 자연수)라 하고 대입해 정리하면 :

    a² = 4k² = 2b²   ⟹   b² = 2k²

    즉 b²도 짝수이고 b도 짝수입니다.

    그런데 a, b가 모두 짝수라는 것은 "a,b는 서로소"라는 처음 가정과 모순됩니다. 따라서 2를 두 자연수의 비로 나타낼 수 없고, 2는 무리수입니다.

    사용 : 29번(유리수의 정의) · 정수론의 배경지식("짝수의 제곱은 짝수, 홀수의 제곱은 홀수") · 귀류법(논리학)

    증명 끝 (귀류법)

    0 1 1 1 2

    직각이등변삼각형의 빗변(길이 2)을 수직선에 그대로 옮긴 위치 — 유리수 점들 사이의 빈틈을 채움

    31정의실수 (Real Numbers)R = 유리수 ∪ 무리수

    정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 29번(유리수)과 30번(무리수)을 합친 것으로 약속합니다.

    0

    R : 유리수·무리수를 합쳐 빈틈없이 이어진 연속적인 수직선 전체

    32정의복소수 (Complex Numbers)C = {x+yi | x,y∈R}

    정의이므로 증명 대상이 아닙니다. i는 허수단위(i²=−1)이며, 자세한 연산은 1.4 복소수에서 다룹니다.

    Re Im x y x+yi

    복소평면(좌표평면) 위의 점 (x,y)로 나타낸 복소수 x+yi

    33정리수 체계의 포함관계N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

    각 단계가 "이전 체계의 모든 원소를 새 체계 안의 특수한 경우로 대응시킬 수 있다"는 사실에서 성립합니다.

    자연수 n ↦ 정수 n (부호 +)26·28번의 정의
    정수 n ↦ 유리수 n128·29번의 정의
    유리수 ab ↦ 실수 (유한소수 또는 순환소수)29·31번의 정의
    실수 x ↦ 복소수 x+0i31·32번의 정의

    이 대응들은 각각 덧셈·곱셈을 보존하는 일대일 대응(embedding)이기 때문에, 앞 체계가 뒤 체계 "안에 그대로 담긴다"고 말할 수 있고, 이것이 부분집합 관계 ⊂의 의미(1.1의 1번 참고 : A⊂U 형태의 포함 관계)와 정확히 일치합니다.

    ※ "embedding으로 보존되며 담긴다"는 관점 자체는 대학 집합론·추상대수학의 내용입니다. 수능 범위에서는 포함관계 N⊂Z⊂Q⊂R(과 고1 수학의 복소수 확장 R⊂C)라는 결과만 알면 충분합니다.

    사용 : 26·28·29·31·32번(각 수 체계의 정의) · 1.1의 부분집합 개념(1번)

    C R Q Z N

    N⊂Z⊂Q⊂R⊂C : 안쪽 원이 바깥쪽 원에 완전히 포함되는 겹겹의 구조

    증명 끝

chapter:01-number-sets section:1.2