수의 분류

Sets of Numbers

정의 · 공식

자연수부터 복소수까지, 수 체계가 어떻게 확장되는지 정리합니다.

26자연수 (Natural Numbers)N = {1, 2, 3, …}개수를 세는 수(Counting numbers)
270을 포함한 자연수 (Whole Numbers)N₀ = {0, 1, 2, 3, …}
28정수 (Integers)Z⁺ = N = {1,2,3,…}, Z⁻ = {…,−3,−2,−1}
Z = Z⁻∪{0}∪Z⁺ = {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
29유리수 (Rational Numbers)Q = { x | x = a/b, a,b∈Z, b≠0 }유한소수 또는 순환소수로 나타나는 수
30무리수 (Irrational Numbers)순환하지 않는 무한소수 (예: √2, π, e)
31실수 (Real Numbers)R = 유리수 ∪ 무리수
32복소수 (Complex Numbers)C = { x+yi | x,y∈R }i는 허수단위
33수 체계의 포함관계N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

증명

Q ⊊ R : 유리수는 실수의 진부분집합이다 (√2가 무리수임을 증명)

귀류법. √2 = a/b (a, b는 서로소인 자연수)로 가정합니다.

양변을 제곱하면 2 = a²/b², 즉 a² = 2b². 우변이 짝수이므로 a²도 짝수이고, 따라서 a도 짝수입니다(홀수의 제곱은 항상 홀수이므로).

a = 2k라 하면 a² = 4k² = 2b² 이므로 b² = 2k², 즉 b²도 짝수이고 b도 짝수입니다.

그런데 a, b가 모두 짝수라는 것은 처음에 세운 "a,b는 서로소"라는 가정과 모순됩니다. 따라서 √2는 두 정수의 비로 나타낼 수 없고, 무리수입니다.

증명 끝 (귀류법)

포함관계 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C 의 근거

각 단계는 "이전 수 체계의 모든 원소를 새 체계의 특수한 경우로 표현할 수 있다"는 사실에서 성립합니다. 자연수 n은 정수 n(부호 +)으로, 정수 n은 유리수 n/1로, 유리수 a/b는 실수(유한/순환소수)로, 실수 x는 복소수 x+0i로 각각 자연스럽게 대응되며, 이 대응이 각 연산(덧셈·곱셈)을 보존하기 때문에 앞 체계가 뒤 체계 안에 그대로 담깁니다.

증명 끝

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정의 · 공식

증명

Q ⊊ R : 유리수는 실수의 진부분집합이다 (√2가 무리수임을 증명)

포함관계 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C 의 근거

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