1.3 심화·배경
기본 항등식
Basic Identities
정의 · 공식
실수 a, b, c에 대해 성립하는 사칙연산의 기본 공리(체의 공리)를 정리합니다. 이 항목들은 실수 체계를 정의하는 공리 자체이므로, 증명 대상이 아니라 다른 모든 대수 법칙의 출발점이 됩니다.
- 34덧셈의 항등원a + 0 = a
- 35덧셈의 역원a + (−a) = 0
- 36덧셈의 교환법칙a + b = b + a
- 37덧셈의 결합법칙(a+b)+c = a+(b+c)
- 38뺄셈의 정의a − b = a + (−b)
- 39곱셈의 항등원a · 1 = a
- 40곱셈의 역원a · (1/a) = 1 (a≠0)
- 410의 곱셈a · 0 = 0
- 42곱셈의 교환법칙a · b = b · a
- 43곱셈의 결합법칙 · 분배법칙(a·b)·c = a·(b·c)
a(b+c) = ab + ac - 45나눗셈의 정의a/b = a · (1/b)
증명
이 항목들은 실수의 사칙연산을 정의하는 공리(axiom)입니다. 공리는 체계 안에서 참/거짓을 증명하는 대상이 아니라, 다른 모든 정리를 이끌어내는 출발 전제로 받아들여집니다.
대신, 이 공리들로부터 흔히 쓰이는 파생 성질 하나를 실제로 유도해보겠습니다.
파생 성질: a · 0 = 0 은 다른 공리들로부터 유도할 수 있다
a·0 = a·(0+0) — 덧셈의 항등원(34)에 의해 0 = 0+0
= a·0 + a·0 — 분배법칙(43)
양변에서 a·0을 빼면(즉 덧셈의 역원 35를 더하면): 0 = a·0 + a·0 + (−a·0) − a·0 ⟹ 0 = a·0
따라서 목록의 41번(a·0=0)은 사실 34, 35, 43번만으로 증명되는 "정리"이며, 굳이 별도 공리로 두지 않아도 됩니다. (다만 이 책의 목록에서는 계산 편의상 별도 항목으로 명시하고 있습니다.)
증명 끝
관련 기출문제
개념 태그 연결 예정 (기출 트리 구축 후 자동 연동)