1.4
복소수
Complex Numbers
정의 · 공식
복소수 z = a+bi (i는 허수단위, i²=−1)의 연산과 극형식을 정리합니다.
- 46-48허수단위의 거듭제곱i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1 (이후 4번마다 반복)
i⁴ⁿ⁺¹=i, i⁴ⁿ⁺²=−1, i⁴ⁿ⁺³=−i, i⁴ⁿ=1 - 49복소수의 뺄셈(a+bi) − (c+di) = (a−c) + (b−d)i
- 50복소수의 곱셈(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- 51복소수의 나눗셈(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc−ad)/(c²+d²)·i
- 52복소수의 덧셈(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- 53켤레복소수conj(a+bi) = a − bi
- 54-56극형식, 절댓값과 편각a = r cos φ, b = r sin φ
a+bi = r(cos φ + i sin φ)
r = √(a²+b²) (절댓값/모듈러스), φ = arctan(b/a) (편각) - 57극형식의 곱셈z₁·z₂ = r₁r₂[cos(φ₁+φ₂) + i sin(φ₁+φ₂)]
- 58-59극형식의 켤레·역수conj(r(cosφ+isinφ)) = r[cos(−φ)+isin(−φ)]
1/(r(cosφ+isinφ)) = (1/r)[cos(−φ)+isin(−φ)] - 60극형식의 나눗셈z₁/z₂ = (r₁/r₂)[cos(φ₁−φ₂) + i sin(φ₁−φ₂)]
- 61-62거듭제곱과 드무아브르 공식zⁿ = rⁿ[cos(nφ) + i sin(nφ)]
(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ) — 드무아브르(De Moivre) 공식 - 63복소수의 n제곱근z^(1/n) = ⁿ√r [cos((φ+2πk)/n) + i sin((φ+2πk)/n)], k = 0,1,…,n−1
- 64오일러 공식e^(ix) = cos x + i sin x
증명
드무아브르 공식: (cos φ + i sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ)
수학적 귀납법으로 증명합니다.
① n=1일 때: (cos φ + i sin φ)¹ = cos φ + i sin φ = cos(1·φ) + i sin(1·φ). 성립합니다.
② n=k일 때 성립한다고 가정: (cos φ + i sin φ)ᵏ = cos(kφ) + i sin(kφ)
③ n=k+1일 때:
(cos φ+i sin φ)^(k+1) = (cos φ+i sin φ)^k · (cos φ+i sin φ)
= [cos(kφ)+i sin(kφ)]·[cos φ + i sin φ] — 귀납 가정 대입
= [cos(kφ)cos φ − sin(kφ)sin φ] + i[sin(kφ)cos φ + cos(kφ)sin φ] — 실수부·허수부 전개
= cos(kφ+φ) + i sin(kφ+φ) — 삼각함수의 덧셈정리
= cos((k+1)φ) + i sin((k+1)φ)
①~③에 의해 모든 자연수 n에 대해 성립합니다.
증명 끝 (수학적 귀납법)
극형식 곱셈 공식의 유도: z₁·z₂ = r₁r₂[cos(φ₁+φ₂)+i sin(φ₁+φ₂)]
z₁=r₁(cos φ₁+i sin φ₁), z₂=r₂(cos φ₂+i sin φ₂)라 하면,
z₁z₂ = r₁r₂(cos φ₁+i sin φ₁)(cos φ₂+i sin φ₂)
= r₁r₂[(cos φ₁cos φ₂ − sin φ₁sin φ₂) + i(sin φ₁cos φ₂ + cos φ₁sin φ₂)]
= r₁r₂[cos(φ₁+φ₂) + i sin(φ₁+φ₂)] — 삼각함수의 덧셈정리 적용
증명 끝
모듈러스 공식: r = √(a²+b²)
복소평면에서 점 (a,b)는 원점으로부터 직각삼각형의 빗변 위치에 있고, a=r cos φ, b=r sin φ이므로
a² + b² = r²cos²φ + r²sin²φ = r²(cos²φ+sin²φ) = r² (삼각함수의 기본 항등식 사용)
따라서 r = √(a²+b²). 이는 복소수의 절댓값이 복소평면에서 원점까지의 유클리드 거리(피타고라스 정리)와 같다는 뜻입니다.
증명 끝
오일러 공식(64번)은 지수함수·삼각함수의 매클로린 급수 전개를 비교하여 증명하는데, 이는 11장 급수(Series)에서 테일러·매클로린 급수를 다룬 뒤 함께 정리합니다.