3.3 심화·배경
정삼각형
Equilateral Triangle
정의 · 공식과 증명
정삼각형의 성질 5개(176~180번)를 정리합니다. 정삼각형은 세 변, 세 각(모두 60°)이 전부 같은 이등변삼각형의 특수한 경우입니다.
정삼각형 : 한 변 a, 높이 h. 무게중심=외심=내심이 한 점(높이를 2:1로 내분)
·보조정리무게중심·외심·내심의 일치 (이 절 전체의 근거)G = 외심 = 내심
증명법 : 직접증명법
아래 176~180번은 정삼각형의 무게중심·외심·내심이 모두 한 점에서 만난다는 사실을 근거로 사용합니다. 이 사실은 정의로부터 곧바로 나오는 것이 아니라 따로 증명이 필요한 정리입니다.
1단계 — 세 변 모두에 이등변삼각형의 보조정리를 적용. 정삼각형 ABC는 어느 두 변을 골라도 서로 같으므로(AB=BC=CA), 3.2의 보조정리를 세 꼭짓점 각각에 적용할 수 있습니다.
| 꼭짓점 A에서 그은 중선 | = 대변 BC의 수직이등분선 = ∠A의 이등분선 |
| 꼭짓점 B에서 그은 중선 | = 대변 CA의 수직이등분선 = ∠B의 이등분선 |
| 꼭짓점 C에서 그은 중선 | = 대변 AB의 수직이등분선 = ∠C의 이등분선 |
즉 이 삼각형에서는 세 중선, 세 수직이등분선, 세 각의 이등분선이 각각 같은 세 선분입니다.
2단계 — 세 중선의 공점. 3.4의 193번에 의해 세 중선은 한 점 G(무게중심)에서 만납니다.
3단계 — G가 외심임을 확인. G는 세 중선 위의 점이므로, 1단계에 의해 G는 세 변의 수직이등분선 위에도 있습니다. 수직이등분선 위의 점은 그 변의 양 끝점에서 등거리이므로 다음이 성립합니다.
GA = GB = GC
세 꼭짓점에서 등거리인 점은 유일하므로(두 수직이등분선의 교점) G는 외심과 같습니다.
4단계 — G가 내심임을 확인. 같은 이유로 G는 세 각의 이등분선 위에도 있으므로, G에서 세 변까지의 거리가 모두 같습니다. 세 변에서 등거리인 점도 유일하므로(두 각의 이등분선의 교점) G는 내심과 같습니다.
따라서 무게중심 = 외심 = 내심 = G이며, 이 점은 세 중선(=수직이등분선=각의 이등분선)의 교점입니다. 아래 177·178번은 이 사실을 그대로 사용합니다.
사용 : 3.2의 보조정리(중선=수직이등분선=각의 이등분선) · 3.4의 193번(세 중선의 공점)
증명 끝