3.4 심화·배경
일반삼각형
Scalene Triangle
정의 · 공식과 증명
일반 삼각형(부등변삼각형)의 성질 15개(181~195번, 184a 포함)와 보조정리 1개(각이등분선 정리)를 정리합니다. 이 절의 공식들은 3.1~3.3에서 이미 여러 차례 인용되었을 만큼 삼각형 전체를 다루는 가장 기본적인 도구들입니다.
일반 삼각형 : 변 a(=BC, 대각 α), b(=CA, 대각 β), c(=AB, 대각 γ)
181정리삼각형의 내각의 합α + β + γ = 180°
증명법 : 직접증명법
꼭짓점 C를 지나고 변 AB(c)에 평행한 직선을 긋습니다. 평행선의 엇각 성질에 의해, 이 평행선과 CA, CB가 이루는 두 각은 각각 α, β와 크기가 같습니다(엇각). 이 두 각과 원래의 γ가 평행선 위에서 일직선(180°)을 이루므로
α + β + γ = 180°
사용 : 평행선의 엇각 성질(동위각·엇각 정리, 5.9 예정, 선행 인용)
증명 끝
182정리삼각부등식a+b>c, b+c>a, a+c>b
증명법 : 귀류법
결론을 부정하여 a+b≤c라고 가정합니다. 삼각형은 세 점 A,B,C가 한 직선 위에 있지 않은 도형인데, 만약 변 a와 b의 길이의 합이 c보다 작거나 같다면, A에서 B로 가는 두 경로(직접 c를 따라가는 것과 C를 거쳐 a+b를 따라가는 것) 중 후자가 더 짧거나 같아지는데, 이는 "두 점 사이의 최단 거리는 직선(선분)이다"라는 사실에 모순됩니다. 따라서 a+b>c. 나머지 두 부등식도 같은 논리를 다른 변에 적용하면 됩니다.
사용 : 두 점 사이의 최단 거리는 선분이라는 성질 · 귀류법
증명 끝 (귀류법)
183정리삼각부등식의 변형(차)|a-b|<c, |b-c|<a, |a-c|<b
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
182번의 나머지 두 부등식을 이항해 c에 대한 양쪽 부등식을 만듭니다.
| b+c > a | 182번 |
| → c > a-b | 이항 |
| a+c > b | 182번 |
| → c > b-a = -(a-b) | 이항 |
두 부등식 c>a-b와 c>-(a-b)를 합치면 -c<a-b<c, 즉 |a-b|<c(2.7의 147번, 절댓값 부등식). 나머지 두 부등식도 같은 방식으로 얻어집니다.
사용 : 182번(삼각부등식) · 2.7의 147번(절댓값 부등식)
증명 끝
184정리중위선(미드라인)중위선 q = a2, q∥a
증명법 : 직접증명법
두 변의 중점을 잇는 선분(중위선)이 나머지 변에 평행하고 길이가 그 절반임을 보입니다. 변 AB, AC의 중점을 각각 M, N이라 하면, 삼각형 AMN과 ABC에서
AMAB = ANAC = 12
이고 각 A가 공통이므로 △AMN ∽ △ABC(SAS 닮음, 닮음비 12). 닮음이므로 MN∥BC이고
MN = 12BC = a2
사용 : SAS 닮음 조건 · 닮은 도형의 대응변 비례
증명 끝
184a정리두 변과 끼인각으로 구하는 넓이S = 12ab sin γ = 12bc sin α = 12ca sin β
185정리코사인법칙 (Law of Cosines)a² = b²+c²-2bc cos α (그리고 순환)
증명법 : 경우를 나누는 방법 (좌표 이용)
A를 원점에 두고 AC를 x축 위에 놓으면 C=(b,0), B=(c cos α, c sin α)(∵ AB=c, 각 A=α).
좌표 설정 : A를 원점에, AC를 x축에 둠 → B의 좌표는 (c cosα, c sinα)
두 점 B, C 사이 거리의 제곱이 a²이므로
| a² = (c cos α - b)² + (c sin α)² | 거리 공식 |
| = c²cos²α - 2bc cos α + b² + c²sin²α | 전개 |
| = c²(cos²α+sin²α) - 2bc cos α + b² | c² 묶기 |
| = c² + b² - 2bc cos α | 4.5의 f425번(sin²α+cos²α=1) |
사용 : 좌표를 이용한 거리 공식(피타고라스 정리, 3.1의 163번) · 4.5의 f425번(삼각함수의 기본 항등식, sin²+cos²=1)
증명 끝
186정리사인법칙 (Law of Sines)asin α = bsin β = csin γ = 2R
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
외접원의 중심 O에서 변 a(=BC)에 수선의 발 M을 내리면, 이등변삼각형 OBC(OB=OC=R)의 성질에 의해 M은 a의 중점이고 OM은 ∠BOC를 이등분합니다. 호 BC(A를 포함하지 않는 쪽)에 대한 중심각 ∠BOC는 그 호에 대한 원주각 α의 2배입니다(3.19의 267번, 원주각의 정리). 따라서 직각삼각형 OMB에서 ∠BOM=α이고
| sin α = a2R | 직각삼각형 OMB, 대변/빗변 |
| a = 2R sin α | 정리 |
| asin α = 2R | 양변을 sinα로 나눔 |
나머지 변도 같은 논리로 bsin β=2R, csin γ=2R.
외접원 중심 O에서 변 a(=BC)에 내린 수선은 a를 이등분 → 중심각·원주각 관계(3.19 f267)로 sinα=a2R
사용 : 이등변삼각형의 성질(3.2) · 3.19의 267번(원주각의 정리)
증명 끝
187정리외접원 반지름의 여러 표현R = a2sin α = abc4S = abc4p(p-a)(p-b)(p-c)
188정리내접원 반지름r = Sp, r² = (p-a)(p-b)(p-c)p, 1r = 1ha+1hb+1hc
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
r = Sp : 내접원의 중심(내심)에서 세 변에 내린 수선은 모두 반지름 r이고, 삼각형 전체를 세 개의 작은 삼각형(각 변을 밑변, r을 높이로)으로 나누면
| S = 12ar+12br+12cr | 세 작은 삼각형의 넓이 합 |
| = 12r(a+b+c) = rp | 공통인수 r 묶고 p=(a+b+c)/2 |
r = Sp
r² = (p-a)(p-b)(p-c)p : 헤론의 공식 S²=p(p-a)(p-b)(p-c)와 r=Sp를 결합하면
r² = S²p² = (p-a)(p-b)(p-c)p
1r=1ha+1hb+1hc : 191번에서 살펴볼 ha=2Sa(그리고 순환)을 이용하면
| 1ha+1hb+1hc | 191번, h=2S/(대응하는 변) |
| = a+b+c2S = 2p2S = pS = 1r | a+b+c=2p, r=S/p |
사용 : 헤론의 공식(190번과 함께 유도) · 191번(높이 공식)
증명 끝
189정리반각공식 (변으로 표현)sin(α/2)=(p-b)(p-c)bc, cos(α/2)=p(p-a)bc, tan(α/2)=(p-b)(p-c)p(p-a)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
185번(코사인법칙) cos α=b²+c²-a²2bc에서 출발하여, 4장에서 다룰 반각공식(4.12 f471번, cos²(α/2)=1+cos α2)을 대입합니다.
| 1+cos α = 1+b²+c²-a²2bc = (b+c)²-a²2bc | 통분, 완전제곱 정리 |
| = (b+c-a)(b+c+a)2bc = 2(p-a)·2p2bc = 2p(p-a)bc | 인수분해, b+c-a=2(p-a), b+c+a=2p |
| cos²(α/2) = 1+cos α2 = p(p-a)bc | 반각공식 대입 |
같은 방식으로 sin²(α/2)=1-cos α2에 1-cosα=a²-(b-c)²2bc=(a-b+c)(a+b-c)2bc=2(p-b)(p-c)bc를 대입하면 sin²(α/2)=(p-b)(p-c)bc. 두 식을 서로 나누면 tan(α/2)=(p-b)(p-c)p(p-a)도 얻어집니다.
사용 : 185번(코사인법칙) · 4.12의 f471번(코사인 반각공식) · f470번(사인 반각공식)
증명 끝
190정리헤론의 공식으로 표현한 높이ha = 2ap(p-a)(p-b)(p-c) (그리고 순환)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
넓이 공식 S=12a·ha에서 ha=2Sa. 헤론의 공식 S=p(p-a)(p-b)(p-c)를 대입하면
ha = 2ap(p-a)(p-b)(p-c)
사용 : 헤론의 공식 · 삼각형의 기본 넓이 공식
증명 끝
191정리높이를 각으로 표현ha = b sin γ = c sin β (그리고 순환)
192정리중선의 길이ma² = b²+c²2 - a²4 (그리고 순환)
M은 변 a(BC)의 중점 → 삼각형 ABM, ACM에 코사인법칙 적용(∠AMB, ∠AMC는 보각)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
중선 정리(파푸스의 중선 정리)를 씁니다. 변 a(=BC)의 중점을 M이라 하면 BM=CM=a2이고, ∠AMB와 ∠AMC는 서로 보각(cos∠AMC = -cos∠AMB)입니다. 삼각형 ABM, ACM에 코사인법칙을 각각 적용합니다.
| c² = AM²+BM²-2·AM·BM cos∠AMB | △ABM, 코사인법칙 |
| b² = AM²+CM²+2·AM·CM cos∠AMB | △ACM, cos∠AMC=-cos∠AMB |
| b²+c² = 2AM²+2BM² | 두 식을 더하면 cos 항 상쇄(BM=CM) |
| = 2ma²+2(a2)² = 2ma²+a²2 | AM=ma, BM=a/2 |
ma²에 대해 정리하면
ma² = b²+c²2 - a²4
사용 : 185번(코사인법칙, 두 차례 적용) · 4.6의 f433번(보각공식 cos(π-θ)=-cosθ)
증명 끝
·보조정리각이등분선 정리 (194번의 근거)BD:DC = AB:AC = c:b
증명법 : 직접증명법
각 A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 합니다. 꼭짓점 C를 지나고 AD에 평행한 직선을 그어 BA의 연장선과 만나는 점을 E라 하면,
| ∠BAD = ∠AEC | AD∥CE, 동위각(전선 BE) |
| ∠DAC = ∠ACE | AD∥CE, 엇각(전선 AC) |
| ∠BAD = ∠DAC | AD는 ∠A의 이등분선 |
세 식을 결합하면 ∠AEC = ∠ACE이므로 삼각형 ACE는 이등변삼각형이고 AE=AC=b(3.2의 보조정리, 밑각이 같으면 이등변삼각형).
이제 삼각형 BAD와 BEC를 비교합니다 : 각 B가 공통이고, AD∥CE이므로 ∠BDA=∠BCE(동위각, 전선 BC). 따라서 △BAD ∽ △BEC(AA 닮음)이고
| BA:BE = BD:BC | 닮음비 |
| BA(BD+DC) = BD(BA+AE) | BC=BD+DC, BE=BA+AE 대입 후 교차곱 |
| BA·DC = BD·AE | 양변에서 BA·BD 상쇄 |
| BD:DC = BA:AE | 정리 |
AE=AC=b이므로
BD:DC = AB:AC = c:b
사용 : 평행선의 동위각·엇각 성질(5.9 예정, 선행 인용) · 3.2의 보조정리(밑각이 같으면 이등변삼각형) · AA 닮음조건
증명 끝
193정리무게중심의 2:1 내분AG = 23ma, BG = 23mb, CG = 23mc (G=무게중심)
D=BC의 중점, E=CA의 중점, 중선 AD와 BE의 교점 G → 중위선 DE(184번, 점선)가 AB에 평행
증명법 : 직접증명법
1단계 — 두 중선의 교점에서 닮음삼각형. 변 BC, CA의 중점을 각각 D, E라 하고, 중선 AD와 BE의 교점을 G라 합니다. 184번(중위선)에 의해 DE∥AB이고 DE=12AB입니다. DE∥AB이므로(엇각) ∠GDE=∠GAB, ∠GED=∠GBA이고, 맞꼭지각 ∠DGE=∠AGB와 함께 △GDE ∽ △GAB(AA 닮음, 닮음비 1:2)입니다. 따라서
AG:GD = BG:GE = AB:DE = 2:1
2단계 — 세 번째 중선도 같은 점을 지남. 같은 논리를 중선 AD와 CF(F=AB의 중점)의 교점 G′에 적용하면(184번을 변 CA, AB의 중점에 대해 적용) 마찬가지로 AG′:G′D = 2:1을 얻습니다. 그런데 선분 AD 위에서 A로부터 2:1로 내분하는 점은 오직 하나뿐이므로 G′=G. 즉 중선 CF도 점 G를 지나고, 세 중선 AD, BE, CF는 모두 한 점 G(무게중심)에서 만납니다.
3단계 — 내분비를 중선 전체에 대해 정리. 1단계의 결과 AG:GD=2:1은 AD 전체에 대해 AG=23AD=23ma를 뜻합니다. 나머지 두 중선(BE, CF)에도 같은 논리(각각 변 CA·AB의 중점과 변 AB·BC의 중점을 잇는 중위선을 이용)를 적용하면
AG = 23ma, BG = 23mb, CG = 23mc
사용 : 184번(중위선, 세 변의 중점 쌍에 반복 적용) · AA 닮음조건 · 맞꼭지각·엇각
증명 끝
194정리각의 이등분선의 길이ta² = 4bc·p(p-a)(b+c)² (그리고 순환)
각 A의 이등분선이 BC와 만나는 점 D → 각이등분선 정리 : BD:DC = AB:AC = c:b
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
각 A의 이등분선이 변 a(=BC)와 만나는 점을 D라 하면, 위 보조정리(각이등분선 정리)에 의해 BD:DC = c:b(인접변의 비). 따라서
BD = acb+c, DC = abb+c
삼각형 ABD에 코사인법칙을 적용하고 cos(α/2)를 189번의 공식으로 치환한 뒤 정리하면
ta² = 4bc·p(p-a)(b+c)²
을 얻습니다(대수적으로 다소 긴 정리 과정이라 핵심 아이디어만 제시합니다 : 각이등분선 정리 → 코사인법칙 → 반각공식 대입).
사용 : 위 보조정리(각이등분선 정리) · 185번(코사인법칙) · 189번(반각공식)
증명 끝
195정리삼각형 넓이 공식 총정리S = aha2 = bhb2 = chc2 = ab sinγ2 = bc sinα2 = ac sinβ2 = p(p-a)(p-b)(p-c) = pr = abc4R = 2R²sinα sinβ sinγ = p²tan(α/2)tan(β/2)tan(γ/2)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (이미 증명된 것들의 모음)
이 절에서 이미 각각 따로 증명한 넓이 공식들을 한자리에 모은 것입니다.
| 밑변×높이 형태 | 191번 |
| 두 변과 끼인각 형태 | 184a번 |
| 헤론의 공식 | 190번 유도 과정 |
| 반둘레×내접원 반지름(pr) | 188번 |
| 외접원 반지름을 이용한 형태(abc4R) | 187번을 뒤집은 것 |
나머지 두 형태는 다음과 같이 유도됩니다.
| 2R²sinα sinβ sinγ | 사인법칙(186번, a=2Rsinα 등)을 S=ab sinγ2에 대입 |
| p²tan(α/2)tan(β/2)tan(γ/2) | 반각공식(189번)을 S=p(p-a)(p-b)(p-c)에 대입 |
사용 : 191번 · 184a번 · 186번 · 187번 · 188번 · 189번
증명 끝