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4.12   심화·배경

반각공식

Half Angle Formulas

정의 · 공식과 증명

4.11(배수각공식)이 여러 배의 각을 다뤘다면, 이 절은 반대 방향—θ의 절반인 θ2의 삼각비를 θ 하나의 삼각비(cosθ)만으로 표현하는 공식을 다룹니다. 핵심 열쇠는 4.10(배각공식)의 f460번(코사인의 배각공식) 그 자체—'2φ'라는 각을 'θ'로, 'φ'라는 각을 θ2로 다시 이름 붙이기만 하면 cosθ와 sin²(θ/2)·cos²(θ/2)을 잇는 두 항등식이 곧바로 나옵니다(470·471번). 471번은 3.4의 f189번(삼각형의 변으로 표현한 반각공식)이 예고만 하고 실제로는 증명하지 않았던 cos²(α/2)=1+cosα2를 이 절에서 처음으로 채웁니다. 472번은 이 둘을 나눈 tan²(θ/2)이고, 473번은 여기서 제곱근을 취해 sin(θ/2)·cos(θ/2)·tan(θ/2) 자신을 얻되, 부호(±)는 θ2 자신이 어느 사분면에 있는지로 결정된다는 것을 확인합니다—제곱근이 없는(부호 모호성이 전혀 없는) 반각의 탄젠트 항등식은 4.13에서 별도로 다룹니다.

469정의반각공식이 다루는 범위sin²(θ/2), cos²(θ/2), tan²(θ/2), sin(θ/2), cos(θ/2), tan(θ/2)

정의(이 절에서 증명할 공식). 임의의 실수 θ에 대해, 다음 다섯 개의 등식—제곱 형태 세 개(정의역 제한은 472번에서만 발생)와 제곱근을 취한 형태 세 개(부호는 473번에서 개별적으로 결정)—을 이 절에서 차례로 증명합니다 :

470번	sin²(θ/2) = 1−cosθ2
471번	cos²(θ/2) = 1+cosθ2
472번	tan²(θ/2) = 1−cosθ1+cosθ
473번	sin(θ/2), cos(θ/2), tan(θ/2) — 위 세 식의 제곱근, 부호는 θ2의 사분면으로 결정

이 절이 해소하는 선행 인용 : 3.4의 f189번(삼각형의 변으로 표현한 반각공식)이 증명 중간에 cos²(α/2)=1+cosα2를 “4장에서 다룰 반각공식”으로 선행 인용해 두었습니다(pending-forward-refs.json의 pf-scalene-half-angle) — 471번(그리고 그 유도에 쓰이는 470번)이 이를 해소합니다.

사용 : 4.10의 f460번(코사인의 배각공식)

470정리사인 반각공식(제곱)sin²(θ/2) = 1−cosθ2

증명법 : 직접증명법(4.10 f460번에서 φ=θ2로 이름을 바꿔 대입)

주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.

sin²(θ/2) = 1−cosθ2

4.10의 f460번(코사인의 배각공식)은 모든 실수 φ에 대해 cos2φ=1−2sin²φ가 성립한다고 말합니다. φ=θ2로 놓으면(즉 2φ=θ) 이 식은 그대로 θ에 대한 식이 됩니다 :

cosθ = cos(2·θ2) = 1−2sin²(θ2)	4.10 f460번(φ=θ2 대입)
2sin²(θ2) = 1−cosθ	이항
sin²(θ2) = 1−cosθ2	양변을 2로 나눔

4.10 f460번이 모든 실수 φ(따라서 φ=θ2인 모든 실수 θ)에서 제한 없이 성립했으므로, 이 식도 모든 실수 θ에서 제한 없이 성립합니다—새로 생기는 정의역 제한이 없습니다.

사용 : 4.10의 f460번(코사인의 배각공식, cos2φ=1−2sin²φ 형태)

증명 끝

471정리코사인 반각공식(제곱)cos²(θ/2) = 1+cosθ2

증명법 : 직접증명법(4.10 f460번에서 φ=θ2로 이름을 바꿔 대입)

주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.

cos²(θ/2) = 1+cosθ2

470번과 완전히 같은 방식—4.10의 f460번이 주는 또 다른 형태 cos2φ=2cos²φ−1에 φ=θ2를 대입합니다 :

cosθ = cos(2·θ2) = 2cos²(θ2)−1	4.10 f460번(φ=θ2 대입)
2cos²(θ2) = 1+cosθ	이항
cos²(θ2) = 1+cosθ2	양변을 2로 나눔

역시 새로 생기는 정의역 제한 없이 모든 실수 θ에서 성립합니다.

선행 인용 해소. 3.4의 f189번(삼각형의 변으로 표현한 반각공식)이 이 등식을 “4장에서 다룰 반각공식”으로 선행 인용해 두었던 것이 바로 이 식입니다(α라는 이름으로 썼을 뿐, θ를 α로 바꾸면 정확히 같은 식) — 이 절에서 469·470번을 거쳐 여기서 완전히 증명했으므로 해소됩니다.

사용 : 4.10의 f460번(코사인의 배각공식, cos2φ=2cos²φ−1 형태)

증명 끝

472정리탄젠트 반각공식(제곱)tan²(θ/2) = 1−cosθ1+cosθ

증명법 : 직접증명법(470번을 471번으로 나눔)

주장. θ가 π+2kπ 꼴이 아닐 때(k는 정수) 다음이 성립합니다.

tan²(θ/2) = 1−cosθ1+cosθ

4.2의 f410번(탄젠트의 정의, tanφ=sinφ/cosφ)에 φ=θ2를 대입하고 제곱한 뒤, 470·471번을 대입합니다 :

tan²(θ2) = sin²(θ/2)cos²(θ/2)	4.2 f410번(제곱), cos(θ/2)≠0
= (1−cosθ)/2(1+cosθ)/2	470번(분자) · 471번(분모)
= 1−cosθ1+cosθ	분자·분모에 2를 곱해 약분

정의역. 위 유도는 cos(θ/2)≠0을 요구합니다(469·470번은 제한이 없었지만, 나눗셈을 하는 이 단계에서 비로소 조건이 생깁니다). 4.2 f411번(정의역, cosφ=0⇔φ=π/2+kπ)에 φ=θ2를 대입하면 cos(θ2)=0⇔θ2=π2+kπ⇔θ=π+2kπ입니다. 같은 값에서 우변의 분모(1+cosθ)도 1+cos(π+2kπ)=1+(−1)=0이 되어 정확히 함께 정의되지 않으므로, 좌변·우변의 정의역이 θ≠π+2kπ로 정확히 일치합니다—결론과 전제가 어긋나지 않습니다.

사용 : 470·471번(사인·코사인 반각공식) — 4.2의 f410번(탄젠트의 정의) — 4.2의 f411번(코사인의 정의역)

증명 끝

473정리반각공식(제곱근, 부호 포함)sin(θ/2)=±1−cosθ2, cos(θ/2)=±1+cosθ2

증명법 : 직접증명법(470·471·472번의 제곱근, 부호는 4.3 f417·f418번을 θ2 자신에 적용)

주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다(부호는 아래에서 결정) :

sin(θ2) = ±1−cosθ2,    cos(θ2) = ±1+cosθ2,    tan(θ2) = ±1−cosθ1+cosθ (θ≠π+2kπ)

470·471·472번 각각의 양변에서 (음이 아닌 값의) 제곱근을 취하면—실수 x²=c(c≥0)의 해가 x=±c 둘뿐이라는 사실만으로— 위 세 식이 곧바로 나옵니다(우변의 근호 안이 항상 음이 아님은 1−cosθ2, 1+cosθ2 모두 −1≤cosθ≤1이므로 자명하고, tan²도 두 음이 아닌 값의 비이므로 음이 아닙니다).

부호는 어떻게 결정하는가—4.3의 부호 규칙을 θ 자신이 아니라 θ2에 적용. θ2도 그 자체로 하나의 일반각이므로, 4.3의 f417번(사분면에 따른 사인·코사인의 부호)과 f418번(ASTC)을 θ 대신 θ2에 그대로 적용하기만 하면 됩니다—θ가 어느 사분면에 있는지는 sin(θ/2)·cos(θ/2)의 부호와 아무 상관이 없습니다. 오직 θ2 자신이 어느 사분면에 있는지만 부호를 결정합니다—이것이 이 항목의 이름에 “제곱근, 부호 포함”이라고 덧붙인 이유입니다.

θ=250°인 예 — θ 자신은 cosθ<0, sinθ<0인 제3사분면(4.3 ASTC로는 tanθ·cotθ만 양수)에 있지만, θ2=125°는 cos(θ/2)<0, sin(θ/2)>0인 제2사분면입니다(4.3 f417번을 θ2=125°에 직접 적용) — 즉 sin(θ/2)의 부호(+)는 θ가 제3사분면이라는 사실이 아니라 θ2가 제2사분면이라는 사실에서 나옵니다. 그림의 점선은 cos(θ/2), sin(θ/2)을 좌표축 위에 표시한 것이고, 좌표는 Python(math.cos/sin)으로 정확히 계산해 픽셀에 대입했습니다.

수치 검산(θ=250°). cos250°≈−0.34202이므로 470·471번으로 sin²125°=(1−(−0.34202))/2≈0.67101, cos²125°=(1+(−0.34202))/2≈0.32899—실제 sin125°≈0.81915(제곱 0.67101), cos125°≈−0.57358(제곱 0.32899)과 오차 없이 일치합니다(음의 부호는 위 사분면 판정과 일치). tan²125°=0.67101/0.32899≈2.03961, 실제 tan125°≈−1.42815(제곱 2.03961)과도 일치합니다.

4.13과의 역할 구분. 이 절의 세 식은 모두 제곱근(±)을 포함해 실제 사용 시 θ2의 사분면을 먼저 확인해야 합니다. 반면 4.13(반각 탄젠트 항등식)은 tan(θ/2)를 제곱근이나 부호 판정 없이 sinθ, cosθ만의 유리식(예 : tan(θ/2)=sinθ1+cosθ, 4.13 f475번)으로 표현하는 별도의 공식군을 다룹니다—이 절이 다루는 공식과는 형태·용도가 다른, 독립적인 절입니다.

사용 : 470·471·472번(반각공식, 제곱) — 4.3의 f417번(사분면에 따른 사인·코사인의 부호) · f418번(ASTC) — 실수의 제곱근의 정의(x²=c, c≥0 ⇒ x=±√c)

증명 끝