4.10 수능 핵심
배각공식
Double Angle Formulas
정의 · 공식과 증명
4.9(덧셈정리)의 θ±φ 공식에서 φ를 θ 자신으로 놓으면(φ=θ), θ+φ=2θ가 되어 2θ의 삼각함수를 θ 하나의 삼각함수로 표현하는 네 개의 공식(배각공식)을 얻습니다—4.6이 φ를 고정된 상수로, 4.9가 φ를 θ와 독립적인 변수로 다뤘다면, 이 절은 그 변수 φ를 다시 θ 자신으로 묶는 특수한 경우입니다. 새로운 기하학적 사실은 전혀 필요하지 않고, 4.9의 네 덧셈정리(451, 452, 454, 456번)에 φ=θ를 대입한 뒤 각 정의역 조건이 이 특수화 아래서 어떻게 바뀌는지만 다시 확인하면 됩니다—코사인의 경우는 4.5의 피타고라스 항등식(f425번)으로 두 개의 동치 형태를 추가로 얻습니다.
458정의배각공식이 다루는 범위sin2θ, cos2θ, tan2θ, cot2θ
정의(이 절에서 증명할 다섯 공식). 임의의 실수 θ에 대해, 다음 다섯 개의 등식—사인 하나, 코사인의 동치인 세 형태, 탄젠트, 코탄젠트—을 이 절에서 차례로 증명합니다(정의역 제한은 각 항목에서 개별적으로 명시) :
| 459번 | sin2θ = 2sinθcosθ |
| 460번 | cos2θ = cos²θ−sin²θ = 1−2sin²θ = 2cos²θ−1 |
| 461번 | tan2θ = 2tanθ1−tan²θ |
| 462번 | cot2θ = cot²θ−12cotθ |
460번의 세 형태는 서로 다른 세 개의 독립된 공식이 아니라 하나의 등식이 세 가지로 표현된 것이므로, 위 목록에서 하나의 번호(460번)로 묶었습니다.
이 절이 해소하는 선행 인용. 3.29(정다면체)의 f336번(이면각 공식) 증명이 이면각의 절반에 대한 사인 값을 구하는 과정에서 sinα=sin2πq 꼴의 보각의 사인(4.6 예정이라고 표기해 두었던 것)과 함께, 그 값을 다시 분모·분자에 각각 대입해 정리하는 단계에서 배각공식 sin2x=2sinxcosx(4.10 예정이라고 표기해 두었던 것)를 미리 가져다 썼습니다. 459번이 정확히 그 배각공식을 갚습니다(보각의 사인 쪽은 이미 완료된 4.6의 f433번이 갚습니다— 4.6 작성 당시 이 인용을 놓쳤던 것을 지금 함께 바로잡습니다).
459정리사인의 배각공식sin2θ = 2sinθcosθ
증명법 : 직접증명법(452번에 φ=θ 대입)
주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.
sin2θ = 2sinθcosθ
4.9의 f452번(사인의 덧셈정리, sin(θ+φ)=sinθcosφ+cosθsinφ)에 φ=θ를 대입합니다 :
| sin2θ = sin(θ+θ) = sinθcosθ + cosθsinθ | 452번(φ=θ) |
| = 2sinθcosθ | 동류항 정리 |
452번이 모든 실수 θ, φ에 대해 제한 없이 성립했으므로, φ=θ로 놓아도 제한이 새로 생기지 않습니다—모든 실수 θ에 대해 그대로 성립합니다.
θ=25°인 예 — O에서 P(θ)까지, 그리고 P(θ)에서 P(2θ)까지 회전한 각이 똑같이 θ이므로(∠AOP(θ)=∠P(θ)OP(2θ)=θ), 4.9 f449번(회전 합동 보조정리)에 의해 현 AP(θ)와 현 P(θ)P(2θ)의 길이가 같습니다—배각공식이 덧셈정리의 φ=θ 특수한 경우임을 그림으로 보여줍니다. P(2θ)의 좌표(cos2θ, sin2θ)는 실제 값을 계산해 픽셀에 그대로 대입했습니다.
사용 : 4.9의 f452번(사인의 덧셈정리) — 3.29의 f336번(이면각 공식)의 선행 인용 중 배각공식 부분을 해소
증명 끝
460정리코사인의 배각공식cos2θ = cos²θ−sin²θ = 1−2sin²θ = 2cos²θ−1
증명법 : 직접증명법(451번에 φ=θ 대입 후 4.5 f425번으로 재정리)
주장. 모든 실수 θ에 대해 다음 세 식이 (서로 동치로) 성립합니다.
cos2θ = cos²θ−sin²θ = 1−2sin²θ = 2cos²θ−1
4.9의 f451번(코사인의 덧셈정리, cos(θ+φ)=cosθcosφ−sinθsinφ)에 φ=θ를 대입합니다 :
| cos2θ = cos(θ+θ) = cosθcosθ − sinθsinθ | 451번(φ=θ) |
| = cos²θ − sin²θ | 동류항 정리 |
4.5 f425번(피타고라스 항등식, sin²θ+cos²θ=1)을 이용해 한쪽 항을 다른 쪽으로 치환하면 나머지 두 형태를 얻습니다. 먼저 cos²θ=1−sin²θ를 대입하면 :
| cos2θ = (1−sin²θ) − sin²θ | 4.5 f425번(cos²θ=1−sin²θ) |
| = 1 − 2sin²θ | 동류항 정리 |
반대로 sin²θ=1−cos²θ를 대입하면 :
| cos2θ = cos²θ − (1−cos²θ) | 4.5 f425번(sin²θ=1−cos²θ) |
| = 2cos²θ − 1 | 동류항 정리 |
세 식 모두 같은 값 cos2θ를 나타내는 서로 다른 표현일 뿐이므로, 하나가 성립하면 나머지도 자동으로 성립합니다. 451번이 모든 실수 θ, φ에 대해 제한 없이 성립했으므로 세 형태 모두 모든 실수 θ에서 제한 없이 성립합니다.
사용 : 4.9의 f451번(코사인의 덧셈정리) — 4.5의 f425번(피타고라스 항등식)
증명 끝
461정리탄젠트의 배각공식tan2θ = 2tanθ1−tan²θ
증명법 : 직접증명법(454번에 φ=θ 대입)
주장. θ가 π2+kπ 꼴도 아니고 π4+kπ2 꼴도 아닐 때(k는 정수) 다음이 성립합니다.
tan2θ = 2tanθ1−tan²θ
4.9의 f454번(탄젠트의 덧셈정리, tan(θ+φ)= tanθ+tanφ1−tanθtanφ, θ,φ,θ+φ 모두 π2+kπ 꼴이 아닐 때)에 φ=θ를 대입합니다. 이 조건은 θ≠π2+kπ와 2θ≠π2+kπ(즉 θ≠π4+kπ2) 두 가지로 바뀝니다 :
| tan2θ = tan(θ+θ) = tanθ+tanθ1−tanθtanθ | 454번(φ=θ) |
| = 2tanθ1−tan²θ | 동류항 정리 |
정의역에 대한 주의—결론과 전제의 일치 확인. 이 공식이 성립하는 범위는 tan2θ 자신이 정의되는 범위(2θ≠ π2+kπ, 즉 θ≠π4+kπ2)보다 더 좁습니다—위 유도가 454번을 거치는 이상 tanθ 자체가 정의돼야 하므로(θ≠π2+kπ) 이 조건도 함께 요구됩니다. 예를 들어 θ=π2일 때 2θ=π이므로 좌변 tan2θ=tanπ=0은 그 자체로 정의되지만, 우변은 tanθ가 정의되지 않아 계산할 수 없습니다—이 경우 공식이 "성립하지 않는" 것이 아니라 애초에 우변이 존재하지 않으므로 등식 자체를 적용할 수 없는 경우이며, 따라서 θ≠π2+kπ 조건은 결론의 자연스러운 정의역을 인위적으로 좁힌 것이 아니라 유도 경로(454번을 통한 대입) 자체가 요구하는 필요조건입니다.
사용 : 4.9의 f454번(탄젠트의 덧셈정리)
증명 끝
462정리코탄젠트의 배각공식cot2θ = cot²θ−12cotθ
증명법 : 직접증명법(456번에 φ=θ 대입)
주장. θ가 kπ2 꼴이 아닐 때(k는 정수) 다음이 성립합니다.
cot2θ = cot²θ−12cotθ
4.9의 f456번(코탄젠트의 덧셈정리, cot(θ+φ)= cotθcotφ−1cotθ+cotφ, θ,φ,θ+φ 모두 kπ 꼴이 아닐 때)에 φ=θ를 대입합니다. 이 조건은 θ≠kπ와 2θ≠kπ(즉 θ≠ kπ2) 두 가지로 바뀌는데, kπ는 이미 kπ2의 특수한 경우(k가 짝수인 경우)이므로 두 조건을 합치면 θ≠kπ2 하나로 충분합니다 :
| cot2θ = cot(θ+θ) = cotθcotθ−1cotθ+cotθ | 456번(φ=θ) |
| = cot²θ−12cotθ | 동류항 정리 |
정의역에 대한 주의. 461번(탄젠트)과 달리 이 공식은 결론 cot2θ 자신이 정의되는 가장 넓은 범위(2θ≠kπ, 즉 θ≠kπ2)에서 그대로 성립합니다—456번의 유도가 tan 경로를 거치지 않아 애초에 cotθ≠0(즉 θ≠π2+kπ)을 요구하지 않았던 것과 같은 이유로, cotθ가 정의되려는 조건(θ≠kπ)이 θ≠kπ2에 이미 포함되어 별도의 제한이 추가되지 않습니다.
사용 : 4.9의 f456번(코탄젠트의 덧셈정리)
증명 끝