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3.29   범위 밖(백과사전)

정다면체

Platonic Solids

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 모든 면이 합동인 정다각형이고 모든 꼭짓점의 모양이 서로 같은 볼록다면체인 정다면체(플라톤의 다면체)를 다룹니다. 정사면체(3.25)와 정육면체(3.22)에서 이미 두 가지를 만났으므로, 여기서는 먼저 이런 다면체가 왜 정확히 다섯 가지뿐인지를 오일러의 다면체 정리로 증명하고, 이어서 다섯 가지 전체에 한꺼번에 적용되는 이면각 · 내접구 · 외접구 · 부피 공식을 세운 뒤, 아직 다루지 않은 정팔면체 · 정십이면체 · 정이십면체의 겉넓이와 부피를 구합니다. 이 절의 공식 9개(333~341번)를 정리합니다.

다섯 가지 정다면체 — 왼쪽부터 정사면체 {3, 3}, 정육면체 {4, 3}, 정팔면체 {3, 4}, 정십이면체 {5, 3}, 정이십면체 {3, 5}(점선은 보이지 않는 모서리, V · E · F는 각각 꼭짓점 · 모서리 · 면의 개수)

333정의정다면체정다면체 {p, q} = 합동인 정p각형으로 둘러싸이고 각 꼭짓점에 q개의 면이 모이는 볼록다면체

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 다면체(3.22의 283번) 가운데 다음 세 조건을 모두 만족하는 것을 정다면체(regular polyhedron) 또는 플라톤의 다면체(Platonic solid)라 합니다. ① 볼록다면체이다 — 어느 면이 놓인 평면에 대해서도 나머지 부분이 모두 한쪽에만 있다. ② 모든 면이 합동인 정p각형이다(p ≥ 3). ③ 모든 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 q로 같다(q ≥ 3). 이때 두 수를 묶어 {p, q}로 적고 이를 슐레플리 기호(Schläfli symbol)라 합니다.

이 절 전체에서 모서리의 길이는 a로 통일하고, 꼭짓점 · 모서리 · 면의 개수는 각각 V, E, F로 적습니다(개수를 뜻하는 이 표기는 334번과 335번에서만 쓰며, 그 밖의 항에서 V는 부피를 뜻합니다). 또 이웃한 두 면이 이루는 이면각을 θ, 면인 정p각형의 외접원 · 내접원의 반지름을 R₀ · r₀(3.18의 256번 · 257번), 정다면체 자체의 외접구 · 내접구의 반지름을 R · r, 겉넓이와 부피를 S와 V로 적습니다.

이미 다룬 예로 정사면체(3.25의 303번)는 {3, 3}, 정육면체(3.22의 284번)는 {4, 3}입니다. 세 조건은 모두 필요합니다 — 조건 ①(볼록)을 빼면 별 모양의 면이나 오목한 꼭짓점을 허용하게 되어 케플러 · 푸앵소의 별모양 정다면체 4가지가 더 생기고, 조건 ③를 빼면 면은 모두 정삼각형이지만 꼭짓점에 3개 또는 4개가 섞여 모이는 준정다면체(예 : 쌍삼각뿔)가 생깁니다.

사용 : 3.22의 283번(다면체) · 284번(정육면체) · 3.25의 303번(정사면체) · 3.18의 256번 · 257번(정n각형의 외접원 · 내접원)

334정리오일러의 다면체 정리V − E + F = 2

증명법 : 수학적 귀납법

이 항과 335번에서 V, E, F는 각각 꼭짓점 · 모서리 · 면의 개수를 뜻합니다(부피가 아닙니다). 또 이 정리는 정다면체뿐 아니라 모든 볼록다면체에서 성립합니다.

1단계 (평면으로 펼치기). 볼록다면체에서 면 하나 F₀을 떼어내고, 그 구멍을 크게 벌리듯 나머지 부분을 F₀이 놓였던 평면 위로 눌러 펼칩니다. 이렇게 얻은 평면 그림을 슐레겔 다이어그램(Schlegel diagram)이라 합니다. 이 펼치기에서 꼭짓점은 그대로 V개, 모서리도 그대로 E개이고, 서로 다른 두 모서리는 끝점에서만 만나며, 떼어낸 F₀을 뺀 F−1개의 면은 평면 위의 유한한 영역 F−1개가 됩니다. 볼록다면체가 언제나 이렇게 펼쳐진다는 것은 볼록성에서 따라오는 위상수학의 사실이므로, 이 책에서는 그림이 보여주는 대로 받아들여 사용합니다.

정육면체를 한 면(앞면)을 떼어내고 평면 위로 펼친 슐레겔 다이어그램 — 꼭짓점 8개, 모서리 12개, 유한한 영역 5개이고 떼어낸 면이 바깥의 무한한 영역에 대응한다

2단계 (평면 그래프의 교대합). 이제 문제는 순수한 평면 그래프의 문제가 되었습니다. 연결된 평면 그래프에서 V − E + f = 1이다(f는 유한한 영역의 개수)를 모서리의 개수 E에 대한 귀납법으로 증명합니다.

(i) 그래프에 닫힌 길(사이클)이 하나도 없는 경우. 이때 그래프는 나무이므로 평면을 둘러싸는 영역이 생기지 않아 f = 0입니다. 또 꼭짓점 하나에서 시작해 모서리를 하나씩 이어 붙여 이 나무를 만들 때, 사이클이 없으므로 모서리를 붙일 때마다 반드시 새로운 꼭짓점이 정확히 하나씩 늘어납니다. 따라서 E = V − 1이고 V − E + f = V − (V−1) + 0 = 1입니다.

(ii) 사이클이 있는 경우. 사이클 위의 모서리 하나 e를 지웁니다. 사이클의 나머지 부분이 e의 두 끝점을 여전히 이어 주므로 그래프는 계속 연결되어 있고, 꼭짓점은 그대로 V개, 모서리는 E−1개가 됩니다. 한편 사이클은 평면을 안쪽과 바깥쪽으로 나누므로 e의 양쪽은 서로 다른 두 영역이고, e를 지우면 이 두 영역이 하나로 합쳐져 유한한 영역은 f−1개가 됩니다. 그러므로 V − (E−1) + (f−1) = V − E + f로 교대합의 값이 변하지 않습니다. 모서리가 하나 줄어든 그래프에 귀납 가정을 적용하면 이 값은 1입니다.

(iii) 모든 연결 평면 그래프는 (i) 또는 (ii)에 해당하고, (ii)를 되풀이할 때마다 모서리가 하나씩 줄어 언젠가 반드시 (i)에 도달하므로, 귀납법에 의해 V − E + f = 1은 모든 연결 평면 그래프에서 성립합니다.

3단계. 1단계의 그림에서 f = F − 1이므로 V − E + (F − 1) = 1, 즉

V − E + F = 2.

검산 : 다섯 정다면체에서 4−6+4 = 8−12+6 = 6−12+8 = 20−30+12 = 12−30+20 = 2로 모두 성립하고, 3.28의 직사각형 쐐기(6−9+5)와 3.24의 n각기둥(2n−3n+(n+2)) 에서도 값은 2입니다.

사용 : 3.22의 283번(다면체) · 수학적 귀납법

증명 끝

335정리정다면체는 다섯 가지뿐이다(p−2)(q−2) < 4 ⇒ {3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, {3,5}

증명법 : 경우를 나누는 방법

1단계 (꼭짓점의 조건). 한 꼭짓점에 모인 면들의 각의 합은 360°보다 작습니다. 꼭짓점 A에 모인 q개의 면을 A를 중심으로 평면 위에 차례로 펼쳐 놓아 보면, 이 각들의 합이 정확히 360°이면 면들이 평면을 빈틈없이 덮어 A 근처가 평평해져 버리고, 360°보다 크면 서로 겹쳐져 볼록다면체가 될 수 없습니다. 입체의 꼭짓점이 되려면 펼쳤을 때 빈틈이 남아야 하고, 그 빈틈만큼을 오므려 세워야 뿔이 만들어집니다(333번의 조건 ①).

한 꼭짓점에 정오각형 3개가 모이는 경우 — 펼쳤을 때 108°×3 = 324°로 36°의 빈틈이 남으므로 오므려 세울 수 있다(정십이면체). 정오각형 4개라면 432°로 겹쳐 버린다

2단계 (부등식). 정p각형의 한 내각은 3.18의 254번에 의해 180(p−2)p°이므로, 1단계의 조건은

q · 180(p−2)p < 360, 즉 q(p−2) < 2p.

양변에서 2p를 빼고 4를 더하면 pq − 2q − 2p + 4 < 4이므로

(p−2)(q−2) < 4.

3단계 (경우 나누기). p ≥ 3, q ≥ 3이므로 p−2와 q−2는 모두 1 이상의 자연수이고, 두 자연수의 곱이 4보다 작으려면 (p−2, q−2)는 (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (3,1)의 다섯 가지뿐입니다. 즉 {p, q}는 {3,3}, {3,4}, {3,5}, {4,3}, {5,3} 다섯 가지로 제한됩니다.

4단계 (개수 세기). 면은 F개이고 각 면은 p개의 모서리를 가지며 모든 모서리는 정확히 두 면이 공유하므로 pF = 2E입니다. 또 꼭짓점은 V개이고 각 꼭짓점에는 q개의 모서리가 모이며 모든 모서리는 두 개의 꼭짓점을 가지므로 qV = 2E입니다. 이를 334번의 V − E + F = 2에 대입하면

2Eq − E + 2Ep = 2, 즉 E(2p+2q−1) = 2,

E = 2pq2p+2q−pq, V = 2Eq, F = 2Ep.

{p, q}	이름	면의 모양	V	E	F
{3, 3}	정사면체	정삼각형	4	6	4
{4, 3}	정육면체	정사각형	8	12	6
{3, 4}	정팔면체	정삼각형	6	12	8
{5, 3}	정십이면체	정오각형	20	30	12
{3, 5}	정이십면체	정삼각형	12	30	20

5단계 (존재성). 지금까지 보인 것은 정다면체는 많아야 다섯 종류라는 것입니다. 이 다섯 가지가 실제로 모두 존재한다는 것은 따로 구성해서 확인해야 하며, 정사면체는 3.25에서, 정육면체는 3.22에서 이미 만들었고 나머지 셋은 339~341번에서 겉넓이 · 부피와 함께 다룹니다. 표에서 {4,3}과 {3,4}, {5,3}과 {3,5}는 V와 F가 서로 뒤바뀌어 있는데, 이는 한 정다면체의 면의 중심들을 이으면 다른 하나가 되는 쌍대(dual) 관계 때문입니다.

사용 : 333번(정다면체의 정의) · 334번(오일러의 다면체 정리) · 3.18의 254번(정n각형의 내각)

증명 끝

336정리이면각sin(θ/2) = cos(π/q)sin(π/p)

증명법 : 직접증명법

이면각 θ는 모서리 하나를 공유하는 이웃한 두 면이 그 모서리에서 이루는 각, 즉 그 모서리에 수직인 평면으로 잘랐을 때 두 면의 자른 자리가 이루는 각입니다.

1단계 (꼭짓점 도형). 꼭짓점 A와 모서리로 직접 이어진 q개의 꼭짓점을 생각합니다. 정다면체는 어느 꼭짓점 둘레의 모양도 서로 같으므로, 중심과 A를 잇는 축을 중심으로 360°q만큼 회전시키면 입체가 자기 자신과 겹칩니다(정의 ② ③에서 따라오는 정다면체의 대칭성으로 받아들입니다). 이 회전이 q개의 이웃을 차례로 옮기므로 이웃들은 모두 축에서 같은 거리에 있고 축 방향으로도 같은 위치에 있습니다. 따라서 q개의 이웃은 한 평면 위에 놓이며 정q각형을 이룹니다 — 이를 A의 꼭짓점 도형(vertex figure)이라 하고, 그 중심을 Q, 외접원의 반지름을 ρ라 합니다.

정이십면체에서 꼭짓점 A의 꼭짓점 도형(붉은 점선, 여기서는 정오각형)과 모서리 AB를 공유하는 두 면 ABC · ABD, 그리고 C와 D에서 직선 AB에 내린 수선의 공통인 발 P

2단계 (꼭짓점 도형의 한 변). A의 이웃 가운데 한 면 위에서 A를 사이에 두고 이웃하는 두 점을 B, C라 하면, 그 면은 정p각형이고 그 안에서 C − A − B가 연달아 놓인 세 꼭짓점이므로 ∠CAB는 정p각형의 한 내각 α = π − 2πp(라디안, 3.18의 254번)이고 AB = AC = a입니다. 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 (3.2의 173번)

s = BC = 2a sinα2 = 2a sin(π2 − πp) = 2a cosπp.

이것이 꼭짓점 도형인 정q각형의 한 변의 길이이므로, 3.18의 256번에 의해

ρ = s2 sin(π/q) = a cos(π/p)sin(π/q).

3단계 (모서리 AB에서의 이면각). 모서리 AB를 공유하는 두 면을 각각 ABC, ABD라 하면(즉 C와 D는 꼭짓점 도형에서 B의 양옆에 있는 두 꼭짓점입니다), 두 면은 모두 정p각형이므로 ∠CAB = ∠DAB = α, AC = AD = a입니다. C와 D에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 각각 생각하면 두 발은 모두 A로부터 AB 방향으로 a cosα만큼 떨어진 같은 점이므로 서로 일치합니다. 이 공통인 발을 P라 하면

PC ⊥ AB, PD ⊥ AB, PC = PD = a sinα

이고, 따라서 ∠CPD가 바로 모서리 AB에 대한 이면각 θ입니다.

왼쪽 : 꼭짓점 도형인 정q각형(그림은 q = 5) — C와 D는 B의 양옆이므로 CD는 한 칸 건너뛴 대각선. 오른쪽 : 모서리 AB에 수직인 평면으로 자른 이등변삼각형 CPD와 이면각 θ

4단계 (계산). C, D는 꼭짓점 도형인 정q각형에서 B를 사이에 둔 두 꼭짓점이므로 중심 Q에서 볼 때 ∠CQD = 2 · 2πq이고, 2단계와 같은 방법(이등변삼각형 CQD에서 꼭지각의 이등분선)으로

CD = 2ρ sin2πq.

한편 삼각형 CPD는 PC = PD인 이등변삼각형이므로 밑변 CD의 중점 N에 대해 PN ⊥ CD이고 ∠CPN = θ2입니다(3.2의 173번). 그러므로

sinθ2 = CD2 PC = ρ sin(2π/q)a sinα.

여기서 α = π − 2πp이므로 sinα = sin2πp이고(보각의 사인, 4.6의 f433번), 배각공식 sin2x = 2 sin x cos x(4.10의 f459번)를 분모와 분자에 각각 적용하면

sinθ2 = a cos(π/p)sin(π/q) · 2 sin(π/q) cos(π/q)a {DOT} 2 sin(π/p) cos(π/p) = cos(π/q)sin(π/p).

이면각은 볼록다면체에서 0°과 180° 사이이므로 θ2는 예각이고, 위 식으로 θ가 하나로 정해집니다.

{p, q}	이름	sin(θ/2)	θ
{3, 3}	정사면체	13	≈ 70.53°
{4, 3}	정육면체	12	90°
{3, 4}	정팔면체	23	≈ 109.47°
{5, 3}	정십이면체	210−25	≈ 116.57°
{3, 5}	정이십면체	1+523	≈ 138.19°

검산 : 정육면체는 sinθ2 = cos 60°sin 45° = 12 = 12이므로 θ = 90°이고, 실제로 정육면체의 이웃한 두 면은 서로 수직입니다(3.22의 284번).

사용 : 333번(정다면체의 정의와 대칭성) · 3.18의 254번(정n각형의 내각) · 256번(정n각형의 외접원) · 3.2의 173번(이등변삼각형의 꼭지각 이등분선) · 4.6의 f433번(보각공식) · 4.10의 f459번(사인의 배각공식)

증명 끝

337정리내접구와 외접구의 반지름r = r₀ tan(θ/2), R = r²+R₀²

증명법 : 직접증명법

여기서 r₀과 R₀은 면인 정p각형의 내접원 · 외접원의 반지름이고(3.18의 257번 · 256번), 구의 정의는 3.34의 373번을 참고하세요.

1단계 (중심 O). 정다면체의 모든 꼭짓점의 무게중심을 O라 합니다. 정다면체는 어느 꼭짓점을 어느 꼭짓점으로도 옮길 수 있는 대칭변환을 가지며(333번의 정의 ② ③에서 따라오는 성질로 받아들입니다) 그 변환은 꼭짓점 전체의 집합을 그대로 두므로 O도 그대로 둡니다. 꼭짓점 X를 꼭짓점 Y로 옮기는 대칭변환이 O를 고정하므로 OX = OY이고, 따라서 O는 모든 꼭짓점에서 같은 거리 R에 있습니다. 같은 이유로 어느 면을 어느 면으로도 옮기는 대칭변환이 있으므로 O에서 모든 면까지의 거리도 같으며, 그 값을 r이라 합니다. 그러면 O를 중심으로 하고 반지름이 R인 구는 모든 꼭짓점을 지나고(외접구), 반지름이 r인 구는 모든 면에 접합니다(내접구).

2단계 (수선의 발은 면의 중심). O에서 한 면에 내린 수선의 발을 K라 하면, 그 면의 임의의 꼭짓점 X에 대해 OK ⊥ KX이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 KX = OX² − OK² = R² − r²으로 X를 어느 꼭짓점으로 잡든 같습니다. 즉 K는 그 면의 외심이고, 면은 정p각형이므로 K는 그 정p각형의 중심입니다. 따라서 그 면 위에서 K에서 꼭짓점까지의 거리는 R₀, K에서 변의 중점까지의 거리는 r₀입니다.

정십이면체에서 중심 O, 한 면의 중심 K, 그 면의 한 모서리의 중점 M, 그 모서리의 끝점인 꼭짓점 A — 아래의 두 정확한 단면은 각각 삼각형 MKO와 삼각형 OKA에서 온 것이다

3단계 (내접구의 반지름). 모서리 하나를 잡아 그 중점을 M이라 하고, 이 모서리를 공유하는 두 면의 중심을 K₁, K₂라 합니다. 2단계에 의해 MK₁ = MK₂ = r₀이고, 두 선분은 각각 자기 면 위에서 모서리에 수직이므로 ∠K₁MK₂는 바로 이 모서리에서의 이면각 θ입니다. 한편 1단계에 의해 OK₁ = OK₂ = r이고 MO는 공통이므로 △MK₁O ≅ △MK₂O(세 변)이고, 따라서 MO는 ∠K₁MK₂를 이등분하여 ∠K₁MO = θ2입니다. 또 OK₁은 그 면에 수직이므로 OK₁ ⊥ MK₁이고, 직각삼각형 MK₁O에서

r = OK₁ = MK₁ · tan∠K₁MO = r₀ tanθ2 = a2 · 1tan(π/p) · tanθ2.

4단계 (외접구의 반지름). 2단계의 K와 그 면의 꼭짓점 A에 대해 OK ⊥ KA, OK = r, KA = R₀이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해

R = r²+R₀², 여기서 R₀ = a2 sin(π/p).

왼쪽 : 모서리에 수직인 평면으로 자른 정확한 단면(두 굵은 선분이 두 면의 단면) — r = r₀ tan(θ/2). 오른쪽 : 중심 O · 면의 중심 K · 꼭짓점 A가 이루는 직각삼각형 — R² = r² + R₀²

이름	r (a = 1)	R (a = 1)
정사면체	612 ≈ 0.2041	64 ≈ 0.6124
정육면체	12 = 0.5000	32 ≈ 0.8660
정팔면체	66 ≈ 0.4082	22 ≈ 0.7071
정십이면체	250+110520 ≈ 1.1135	3(1+5)4 ≈ 1.4013
정이십면체	3(3+5)12 ≈ 0.7558	10+254 ≈ 0.9511

검산 : 정사면체({3,3})에서 r₀ = a2 tan 60° = a23이고 336번에서 sinθ2 = 13이므로 tanθ2 = 12, r = a23 · 12 = 6a12로 3.25의 308번과 일치하고, R₀ = a3이므로 R² = a²24+a²3 = 3a²8, R = 6a4로 3.25의 309번과 일치합니다. 정육면체({4,3})에서는 r₀ = a2, tan45° = 1이므로 r = a2, R₀ = a2이므로 R = a²4+a²2 = 3a2로 3.22의 290번 · 291번과 일치합니다.

사용 : 333번(정다면체의 정의와 대칭성) · 336번(이면각) · 3.18의 256번 · 257번(정n각형의 외접원 · 내접원) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.34의 373번(구의 정의)

증명 끝

338정리부피V = 13 r S

증명법 : 직접증명법

중심 O(337번)와 각 면을 이어 F개의 각뿔로 나눕니다. 이 각뿔들은 서로 내부가 겹치지 않고 모두 합하면 정다면체 전체가 되므로, 부피 공리의 성질(3.22의 285번)에 의해 정다면체의 부피는 이 각뿔들의 부피의 합입니다.

i번째 각뿔의 밑면은 i번째 면(넓이를 Bᵢ라 합니다)이고, 꼭짓점은 O이며, 높이는 O에서 그 면까지의 거리, 즉 내접구의 반지름 r로 모두 같습니다(337번 1단계). 그러므로 각뿔의 부피 공리(3.25의 304번)에 의해 i번째 각뿔의 부피는 13Bᵢr이고,

V = 13B₁r + 13B₂r + ⋯ = 13r(B₁+B₂+⋯) = 13rS.

여기서 S는 모든 면의 넓이의 합, 곧 겉넓이입니다. 뒤집어 쓰면 r = 3VS이므로, 겉넓이와 부피를 알면 내접구의 반지름을 바로 얻을 수 있습니다.

검산 : 정육면체는 r = a2, S = 6a²(3.22의 288번)이므로 V = 13 · a2 · 6a² = a³로 3.22의 289번과 일치하고, 정사면체는 r = 6a12, S = 3a²(3.25의 306번)이므로 V = 13 · 6a12 · 3a² = 2a³12로 3.25의 307번과 일치합니다.

사용 : 337번(내접구의 반지름) · 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리) · 3.22의 285번(부피 공리)

증명 끝

339정리정팔면체의 겉넓이와 부피S = 23a², V = 2a³3

증명법 : 직접증명법

1단계 (겉넓이). 정팔면체는 {3, 4}이므로 335번의 표에 의해 정삼각형인 면이 8개입니다. 한 변이 a인 정삼각형의 넓이는 34a²(3.3의 180번)이므로

S = 8 · 34a² = 23a².

2단계 (구조). 꼭짓점 하나를 P라 하면 336번 1단계에 의해 P의 꼭짓점 도형은 정q각형 = 정사각형이고, 그 한 변의 길이는 336번 2단계에 의해 s = 2a cosπ3 = a입니다. 즉 P의 이웃 네 개 A, B, C, D는 한 평면 위에서 한 변이 a인 정사각형을 이룹니다. 꼭짓점은 모두 6개이므로 남는 꼭짓점은 하나뿐이고, 이를 P′이라 하면 P′은 A, B, C, D 모두와 모서리로 이어져 있습니다. 그러므로 정팔면체는 정사각형 ABCD를 밑면으로 공유하는 두 정사각뿔 P-ABCD와 P′-ABCD를 맞붙인 것입니다.

정팔면체 — 꼭짓점 P의 꼭짓점 도형인 정사각형 ABCD(한 변 a)를 밑면으로 하는 두 정사각뿔 P-ABCD와 P′-ABCD로 나뉜다

3단계 (부피). 정사각형 ABCD의 중심을 O라 하면 대각선의 길이가 2a이므로(3.5의 196번) OA = 2a2입니다. 삼각형 POA는 O에서 직각이고 PA = a이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해

PO = a² − a²2 = a2 = 2a2.

정사각형 ABCD의 넓이는 a²(3.5의 200번)이므로 각뿔의 부피 공리(3.25의 304번)에 의해 각뿔 P-ABCD의 부피는 13 · a² · 2a2 = 2a³6이고, 같은 크기의 각뿔이 둘이므로

V = 2 · 2a³6 = 2a³3.

4단계 (두 구의 반지름). O는 A, B, C, D에서 거리가 2a2이고 P, P′에서도 거리가 2a2이므로 O가 곧 정팔면체의 중심이고

R = 2a2 ≈ 0.7071a.

또 338번의 r = 3VS에 위의 두 값을 넣으면

r = 31 · 2a³/323a² = 2a23 = 6a6 ≈ 0.4082a

로 337번의 표와 일치합니다.

사용 : 335번(V, E, F) · 336번(꼭짓점 도형) · 338번(부피와 내접구) · 3.3의 180번(정삼각형의 넓이) · 3.5의 196번 · 200번(정사각형의 대각선 · 넓이) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리)

증명 끝

340정리정십이면체의 겉넓이와 부피S = 325+105a², V = (15+75)a³4

증명법 : 직접증명법

1단계 (보조정리 : 정오각형의 황금비). 한 변이 a인 정오각형 ABCDE의 대각선의 길이를 d라 하면 d = φa, φ = 1+52입니다.

정오각형 ABCDE에서 두 대각선 AC와 BD의 교점 P — △ABC와 △BPC가 닮음이 되어 대각선과 변의 비가 황금비 φ가 된다

정오각형의 한 내각은 108°이므로(3.18의 254번) 삼각형 ABC에서 AB = BC = a, ∠ABC = 108°이고 ∠BAC = ∠BCA = 36°입니다. 마찬가지로 삼각형 BCD에서 ∠CBD = 36°이므로 ∠ABD = 108° − 36° = 72°입니다. 두 대각선 AC와 BD의 교점을 P라 하면 삼각형 ABP에서 ∠BAP = 36°, ∠ABP = 72°이므로 ∠APB = 72°이고, 따라서 삼각형 ABP는 AP = AB = a인 이등변삼각형입니다. 한편 삼각형 BPC는 ∠PBC = ∠PCB = 36°이고 ∠BPC = 108°이므로 삼각형 ABC와 세 각이 같아 △ABC ∼ △BPC이고

PCBC = BCAC, 즉 PC = a²d.

AC = AP + PC이므로 d = a + a²d, 곧 d² − ad − a² = 0이고 d > 0이므로 d = (1+5)a2 = φa입니다.

2단계 (36°의 삼각비). 삼각형 ABC는 AB = BC = a, ∠ABC = 108°인 이등변삼각형이고 밑변이 AC = d이므로, 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분한다는 사실(3.2의 173번)에서 d = 2a sin54° = 2a cos36°입니다. 1단계와 견주면

cos36° = φ2 = 1+54, sin36° = 10−254, tan36° = 5−25.

(sin은 sin²+cos² = 1에서, tan은 두 값의 비를 제곱해 유리화하면 10−256+25 = 5 − 25가 되는 것에서 얻습니다.)

3단계 (겉넓이). 정십이면체는 {5, 3}이므로 정오각형인 면이 12개입니다. 정n각형의 넓이는 (둘레) × (아포템)2이고(3.18의 259번), 정오각형에서 r₀ = a2 tan 36°(3.18의 257번)이므로 한 면의 넓이는 5a2 · a2 tan 36° = 5a²4 tan 36°이고

S = 12 · 5a²4 tan 36° = 15a²tan 36° = 15a²5−25.

S > 0이므로 제곱해서 유리화하면 S² = 225a⁴5−25 = 225a⁴(5+25)5 = 9(25+105)a⁴이고

S = 325+105a² ≈ 20.6457a².

4단계 (이면각과 내접구). 336번에 p = 5, q = 3을 넣으면 sinθ2 = cos(π/3)sin(π/5) = 12 sin 36°이므로 sin²θ2 = 410−25, cos²θ2 = 6−2510−25이고

tan²θ2 = 46−25 = 23−5 = 3+52 = φ², 즉 tanθ2 = φ (θ ≈ 116.57°).

337번에 넣으면 r = r₀ tanθ2 = a2 tan 36° · φ = (1+5)a45−25이고, 제곱해 유리화하면 r² = (25+115)a²40이므로

r = 250+1105a20 ≈ 1.1135a.

5단계 (부피). 338번의 V = 13rS에 3단계와 4단계의 값을 넣으면

V = 13 · aφ2 tan 36° · 15a²tan 36° = 5a³φ2 tan² 36° = 5(1+5)a³4(5−25) = 5(1+5)(5+25)a³20 = (15+75)a³4 ≈ 7.6631a³.

6단계 (외접구). R₀ = a2 sin 36°이므로 R₀² = (10+25)a²20이고, 337번에 의해 R² = r²+R₀² = (50+225)a²80+(40+85)a²80 = 3(3+5)a²8이므로 R = 3(1+5)a4 ≈ 1.4013a입니다.

사용 : 335번(V, E, F) · 336번(이면각) · 337번(내접구 · 외접구) · 338번(부피) · 3.18의 254번 · 257번 · 259번(정n각형의 내각 · 아포템 · 넓이) · 3.2의 173번(이등변삼각형의 꼭지각 이등분선)

증명 끝

341정리정이십면체의 겉넓이와 부피S = 53a², V = 5(3+5)a³12

증명법 : 직접증명법

1단계 (겉넓이). 정이십면체는 {3, 5}이므로 정삼각형인 면이 20개이고, 한 변이 a인 정삼각형의 넓이는 34a²(3.3의 180번)이므로

S = 20 · 34a² = 53a² ≈ 8.6603a².

2단계 (이면각). 336번에 p = 3, q = 5를 넣고 340번 2단계의 cos36° = 1+54를 쓰면

sinθ2 = cos(π/5)sin(π/3) = (1+5)/43/2 = 1+523,

sin²θ2 = 6+2512 = 3+56, cos²θ2 = 3−56,

tan²θ2 = 3+53−5 = (3+5)²4 = 7+352 = φ⁴, 즉 tanθ2 = φ² = 3+52 (θ ≈ 138.19°).

3단계 (내접구). 면이 정삼각형이므로 r₀ = a2 tan 60° = a23 (3.18의 257번)이고, 337번에 의해

r = r₀ tanθ2 = a23 · 3+52 = (3+5)a43 = 3(3+5)a12 ≈ 0.7558a.

4단계 (부피). 338번의 V = 13rS에 1단계와 3단계를 넣으면

V = 13 · 3(3+5)a12 · 53a² = 5(3+5)a³12 ≈ 2.1817a³.

5단계 (외접구). R₀ = a2 sin 60° = a3이므로 337번에 의해

R² = r²+R₀² = (7+35)a²24+8a²24 = (15+35)a²24 = (5+5)a²8,

R = 10+25a4 ≈ 0.9511a.

참고 : 정이십면체와 정십이면체는 서로 쌍대입니다(335번 5단계). 실제로 두 입체에서 336번의 이면각 공식에 들어가는 p와 q가 서로 뒤바뀌어 있고, tanθ2의 값도 φ²와 φ로 짝을 이룹니다.

이름	{p, q}	S	V
정사면체	{3, 3}	3a²	2a³12
정육면체	{4, 3}	6a²	a³
정팔면체	{3, 4}	23a²	2a³3
정십이면체	{5, 3}	325+105a²	(15+75)a³4
정이십면체	{3, 5}	53a²	5(3+5)a³12

사용 : 335번(V, E, F) · 336번(이면각) · 337번(내접구 · 외접구) · 338번(부피) · 340번(cos 36°의 값) · 3.3의 180번(정삼각형의 넓이) · 3.18의 257번(정n각형의 아포템)

증명 끝