3.29 범위 밖(백과사전)
정다면체
Platonic Solids
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 모든 면이 합동인 정다각형이고 모든 꼭짓점의 모양이 서로 같은 볼록다면체인 정다면체(플라톤의 다면체)를 다룹니다. 정사면체(3.25)와 정육면체(3.22)에서 이미 두 가지를 만났으므로, 여기서는 먼저 이런 다면체가 왜 정확히 다섯 가지뿐인지를 오일러의 다면체 정리로 증명하고, 이어서 다섯 가지 전체에 한꺼번에 적용되는 이면각 · 내접구 · 외접구 · 부피 공식을 세운 뒤, 아직 다루지 않은 정팔면체 · 정십이면체 · 정이십면체의 겉넓이와 부피를 구합니다. 이 절에서는 333~341번과 함께, 오일러의 정리에 쓰는 받아들이는 사실 하나와 다섯 가지가 실제로 있음을 보이는 보조정리 하나를 정리합니다.
다섯 가지 정다면체 — 왼쪽부터 정사면체 {3, 3}, 정육면체 {4, 3}, 정팔면체 {3, 4}, 정십이면체 {5, 3}, 정이십면체 {3, 5}(점선은 보이지 않는 모서리, V · E · F는 각각 꼭짓점 · 모서리 · 면의 개수)
333정의정다면체정다면체 {p, q} = 합동인 정p각형으로 둘러싸이고 각 꼭짓점에 q개의 면이 모이며 꼭짓점 도형이 정q각형인 볼록다면체
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 다면체(3.22의 283번) 가운데 다음 세 조건을 모두 만족하는 것을 정다면체(regular polyhedron) 또는 플라톤의 다면체(Platonic solid)라 합니다. ① 볼록다면체이다 — 어느 면이 놓인 평면에 대해서도 나머지 부분이 모두 한쪽에만 있다. ② 모든 면이 합동인 정p각형이다(p ≥ 3). ③ 모든 꼭짓점에 q개의 면이 모이고(q ≥ 3), 한 꼭짓점과 모서리로 이어진 q개의 꼭짓점을 그 꼭짓점에 모인 면의 순서대로 이으면 한 평면 위의 정q각형이 된다. 이 정q각형을 그 꼭짓점의 꼭짓점 도형(vertex figure)이라 하고, 그 중심을 Q, 외접원의 반지름을 ρ, 한 변의 길이를 s로 적습니다. 이때 두 수를 묶어 {p, q}로 적고 이를 슐레플리 기호(Schläfli symbol)라 합니다.
조건 ③의 뒷부분(꼭짓점 도형)은 쪽 서두의 “모든 꼭짓점의 모양이 서로 같다”를 정확히 적은 것입니다. 참고 : ①, ②와 ③의 앞부분(면의 개수)만 요구해도 같은 다섯 가지가 나온다는 것이 알려져 있지만, 그 증명은 이 책의 범위를 넘으므로 여기서는 꼭짓점 도형까지 정의에 넣습니다.
이 절 전체에서 모서리의 길이는 a로 통일하고, 꼭짓점 · 모서리 · 면의 개수는 각각 V, E, F로 적습니다(개수를 뜻하는 이 표기는 334번과 335번에서만 쓰며, 그 밖의 항에서 V는 부피를 뜻합니다). 또 이웃한 두 면이 이루는 이면각을 θ, 면인 정p각형의 외접원 · 내접원의 반지름을 R₀ · r₀(3.18의 256번 · 257번), 정다면체 자체의 외접구 · 내접구의 반지름을 R · r, 겉넓이와 부피를 S와 V로 적습니다.
이미 다룬 예로 정사면체(3.25의 303번)는 {3, 3}, 정육면체(3.22의 284번)는 {4, 3}입니다(두 입체가 ①~③을 만족한다는 확인은 335번 뒤의 보조정리). 세 조건은 모두 필요합니다 — 조건 ①(볼록)을 빼면 별 모양의 면이나 오목한 꼭짓점을 허용하게 되어 케플러 · 푸앵소의 별모양 정다면체 4가지가 더 생기고, 조건 ③을 빼면 면은 모두 정삼각형이지만 꼭짓점에 3개 또는 4개가 섞여 모이는 볼록다면체(예 : 정사면체 두 개를 한 면끼리 붙인 삼각쌍뿔)가 생깁니다.
사용 : 3.22의 283번(다면체) · 284번(정육면체) · 3.25의 303번(정사면체) · 3.18의 256번 · 257번(정n각형의 외접원 · 내접원)
·받아들이는 사실볼록다면체의 펼치기와 평면 그래프의 영역볼록다면체는 한 면을 떼고 평면에 펼칠 수 있다 · 닫힌 꺾은선은 평면을 둘로 나눈다
받아들이는 사실입니다. 334번(오일러의 다면체 정리)과 337번(모든 면이 이어져 있음)에서 다음 두 가지를 증명 없이 씁니다. 둘 다 볼록성과 평면의 위상에서 나오는 사실이며, 증명은 대학 위상수학의 내용입니다.
① (슐레겔 그림) 볼록다면체에서 면 하나 F₀을 떼어 내고 나머지를 F₀이 놓였던 평면 위로 펼칠 수 있습니다. 이때 꼭짓점 V개와 모서리 E개는 평면 위의 점 V개와 선분 E개로 옮겨지고, 서로 다른 두 선분은 끝점에서만 만나며, 떼어 낸 F₀을 뺀 F−1개의 면은 이 그림이 평면에서 둘러싸는 유한한 영역 F−1개가 됩니다. 또 이 그림은 이어져 있습니다(어느 두 꼭짓점도 모서리를 따라 이어집니다).
② (다각형의 조르당 정리) 평면 위에서 스스로 만나지 않는 닫힌 꺾은선은 평면을 안쪽(유한한 영역)과 바깥쪽 두 부분으로 나누고, 닫힌 길이 없는 꺾은선 그래프(나무)는 평면을 나누지 않습니다(둘러싸는 유한한 영역이 없습니다).
334정리오일러의 다면체 정리V − E + F = 2
증명법 : 수학적 귀납법
이 항과 335번에서 V, E, F는 각각 꼭짓점 · 모서리 · 면의 개수를 뜻합니다(부피가 아닙니다). 또 이 정리는 정다면체뿐 아니라 모든 볼록다면체에서 성립합니다.
1단계 (평면으로 펼치기). 볼록다면체에서 면 하나 F₀을 떼어내고, 그 구멍을 크게 벌리듯 나머지 부분을 F₀이 놓였던 평면 위로 눌러 펼칩니다. 이렇게 얻은 평면 그림을 슐레겔 다이어그램(Schlegel diagram)이라 합니다. 이 펼치기에서 꼭짓점은 그대로 V개, 모서리도 그대로 E개이고, 서로 다른 두 모서리는 끝점에서만 만나며, 떼어낸 F₀을 뺀 F−1개의 면은 평면 위의 유한한 영역 F−1개가 됩니다. 볼록다면체가 언제나 이렇게 펼쳐지고 그 그림이 이어져 있다는 것은 위의 받아들이는 사실 ①입니다.
정육면체를 한 면(앞면)을 떼어내고 평면 위로 펼친 슐레겔 다이어그램 — 꼭짓점 8개, 모서리 12개, 유한한 영역 5개이고 떼어낸 면이 바깥의 무한한 영역에 대응한다
2단계 (평면 그래프의 교대합). 이제 문제는 순수한 평면 그래프의 문제가 되었습니다. 연결된 평면 그래프에서 V − E + f = 1이다(f는 유한한 영역의 개수)를 모서리의 개수 E에 대한 귀납법으로 증명합니다.
(i) 그래프에 닫힌 길(사이클)이 하나도 없는 경우. 이때 그래프는 나무이므로 평면을 둘러싸는 영역이 생기지 않아 f = 0입니다(받아들이는 사실 ②). 또 꼭짓점 하나에서 시작해 모서리를 하나씩 이어 붙여 이 나무를 만들 때, 사이클이 없으므로 모서리를 붙일 때마다 반드시 새로운 꼭짓점이 정확히 하나씩 늘어납니다. 따라서 E = V − 1이고 V − E + f = V − (V−1) + 0 = 1입니다.
(ii) 사이클이 있는 경우. 사이클 위의 모서리 하나 e를 지웁니다. 사이클의 나머지 부분이 e의 두 끝점을 여전히 이어 주므로 그래프는 계속 연결되어 있고, 꼭짓점은 그대로 V개, 모서리는 E−1개가 됩니다. 한편 사이클은 평면을 안쪽과 바깥쪽으로 나누므로(받아들이는 사실 ②) e의 양쪽은 서로 다른 두 영역이고, e를 지우면 이 두 영역이 하나로 합쳐져 유한한 영역은 f−1개가 됩니다. 그러므로 V − (E−1) + (f−1) = V − E + f로 교대합의 값이 변하지 않습니다. 모서리가 하나 줄어든 그래프에 귀납 가정을 적용하면 이 값은 1입니다.
(iii) 모든 연결 평면 그래프는 (i) 또는 (ii)에 해당하고, (ii)를 되풀이할 때마다 모서리가 하나씩 줄어 언젠가 반드시 (i)에 도달하므로, 귀납법에 의해 V − E + f = 1은 모든 연결 평면 그래프에서 성립합니다.
3단계. 1단계의 그림에서 f = F − 1이므로 V − E + (F − 1) = 1, 즉
V − E + F = 2.
검산 : 다섯 정다면체에서 4−6+4 = 8−12+6 = 6−12+8 = 20−30+12 = 12−30+20 = 2로 모두 성립하고, 3.28의 직사각형 쐐기(6−9+5)와 3.24의 n각기둥(2n−3n+(n+2)) 에서도 값은 2입니다.
사용 : 3.22의 283번(다면체) · 받아들이는 사실 ① ②(펼치기 · 다각형의 조르당 정리) · 수학적 귀납법
증명 끝
335정리정다면체는 다섯 가지뿐이다(p−2)(q−2) < 4 ⇒ {3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, {3,5}
증명법 : 경우를 나누는 방법
1단계 (꼭짓점의 조건). 한 꼭짓점 A에 모인 q개의 면의 각(각각 정p각형의 한 내각 α)의 합은 360°보다 작습니다. 직관적으로는, A에 모인 면을 평면 위에 펼쳐 놓았을 때 각의 합이 360°이면 A 근처가 평평해지고 360°보다 크면 면이 겹치므로, 빈틈이 남아야 그만큼 오므려 뿔을 세울 수 있다는 뜻입니다. 이를 333번의 조건 ③(꼭짓점 도형)으로 증명합니다. A의 꼭짓점 도형을 B₁B₂⋯Bq(중심 Q, 외접원의 반지름 ρ, 한 변 s)라 하면 B₁, A, B₂는 한 면 위에 연달아 놓인 세 꼭짓점이므로 AB₁ = AB₂ = a, ∠B₁AB₂ = α입니다.
① (A는 꼭짓점 도형의 평면 밖에 있다) A가 그 평면 위에 있으면, A에 모인 각 면은 A, Bi, Bi+1을 지나는 평면 위에 있으므로(3.22 단원 서두의 약속 ④) 모든 면이 한 평면 위에 놓이고, 이웃한 두 면 사이의 선분은 모서리가 될 수 없습니다(3.22의 283번). 따라서 A는 그 평면 밖에 있습니다.
② (ρ < a) A에서 그 평면에 내린 수선의 발을 H라 하면(약속 ⑤) 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 HBi² = a² − AH²로 모든 i에서 같으므로 H는 정q각형의 외심, 곧 중심 Q입니다. AQ > 0이므로 ρ² = a² − AQ² < a²입니다.
③ (반각의 비교) B₁B₂의 중점을 N이라 하면 이등변삼각형 AB₁B₂, QB₁B₂에서 (3.2의 보조정리) AN ⊥ B₁B₂, QN ⊥ B₁B₂이고 ∠B₁AN = α2, ∠B₁QN = 180°q(정q각형의 중심각 360°q의 절반, 3.18의 256번)입니다. 이제 한 평면 위에 선분 B₁N과, N에서 B₁N에 수직인 반직선 위에 NA′ = NA, NQ′ = NQ인 두 점 A′, Q′을 잡습니다. 두 변과 그 끼인 직각이 같으므로 △B₁NA′ ≅ △B₁NA, △B₁NQ′ ≅ △B₁NQ(SAS)이고, 피타고라스 정리로 NA′² = a² − B₁N² > ρ² − B₁N² = NQ′²이므로 Q′은 선분 NA′ 위에 있습니다. 삼각형 B₁Q′A′에서 ∠B₁Q′N은 외각이므로(3.4의 181번, 내각의 합)
∠B₁Q′N = ∠Q′B₁A′ + ∠Q′A′B₁ > ∠Q′A′B₁, 즉 180°q > α2, 곧 qα < 360°.
한 꼭짓점에 정오각형 3개가 모이는 경우 — 펼쳤을 때 108°×3 = 324°로 36°의 빈틈이 남으므로 오므려 세울 수 있다(정십이면체). 정오각형 4개라면 432°로 겹쳐 버린다
2단계 (부등식). 정p각형의 한 내각 α는 3.18의 254번에 의해 180(p−2)p°이므로, 1단계의 조건은
q · 180(p−2)p < 360, 즉 q(p−2) < 2p.
양변에서 2p를 빼고 4를 더하면 pq − 2q − 2p + 4 < 4이므로
(p−2)(q−2) < 4.
3단계 (경우 나누기). p ≥ 3, q ≥ 3이므로 p−2와 q−2는 모두 1 이상의 자연수이고, 두 자연수의 곱이 4보다 작으려면 (p−2, q−2)는 (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (3,1)의 다섯 가지뿐입니다. 즉 {p, q}는 {3,3}, {3,4}, {3,5}, {4,3}, {5,3} 다섯 가지로 제한됩니다.
4단계 (개수 세기). 면은 F개이고 각 면은 p개의 모서리를 가지며, 모서리는 이웃한 두 면이 만나는 선분이므로(3.22의 283번) 모든 모서리는 정확히 두 면이 공유합니다. 따라서 pF = 2E입니다. 또 꼭짓점은 V개이고 각 꼭짓점에는 q개의 모서리가 모이며 모든 모서리는 두 개의 꼭짓점을 가지므로 qV = 2E입니다. 이를 334번의 V − E + F = 2에 대입하면
2Eq − E + 2Ep = 2, 즉 E(2p+2q−1) = 2,
E = 2pq2p+2q−pq, V = 2Eq, F = 2Ep.
| {p, q} | 이름 | 면의 모양 | V | E | F |
|---|---|---|---|---|---|
| {3, 3} | 정사면체 | 정삼각형 | 4 | 6 | 4 |
| {4, 3} | 정육면체 | 정사각형 | 8 | 12 | 6 |
| {3, 4} | 정팔면체 | 정삼각형 | 6 | 12 | 8 |
| {5, 3} | 정십이면체 | 정오각형 | 20 | 30 | 12 |
| {3, 5} | 정이십면체 | 정삼각형 | 12 | 30 | 20 |
5단계 (존재성). 지금까지 보인 것은 정다면체는 많아야 다섯 종류라는 것입니다. 이 다섯 가지가 실제로 모두 있다는 것은 따로 구성해서 확인해야 하며, 바로 아래 보조정리에서 좌표로 만들어 확인합니다. 참고 : 표에서 {4,3}과 {3,4}, {5,3}과 {3,5}는 V와 F가 서로 뒤바뀌어 있습니다. 한 정다면체의 면의 중심들을 이으면 다른 하나가 되는 쌍대(dual) 관계가 있다고 알려져 있으며, 이 책에서는 증명하지 않습니다.
사용 : 333번(정다면체의 정의 — 꼭짓점 도형) · 334번(오일러의 다면체 정리) · 3.18의 254번(정n각형의 내각) · 256번(정n각형의 외접원 · 중심각) · 3.22의 283번(다면체) · 3.22 단원 서두의 약속 ④ ⑤ · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.2의 보조정리(이등변삼각형) · 3.4의 181번(내각의 합)
증명 끝
·보조정리다섯 정다면체의 존재{3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, {3,5}인 정다면체가 실제로 있다
증명법 : 직접증명법(좌표로 구성)
진술. 335번의 다섯 가지 {p, q} 각각에 대해 333번의 조건 ①~③을 모두 만족하는 다면체가 있습니다.
1단계 (정사면체 · 정육면체). 정사면체(3.25의 303번)는 네 면이 합동인 정삼각형이고 각 꼭짓점에 면이 3개 모이며, 한 꼭짓점의 이웃 세 개는 서로 거리가 a이므로 꼭짓점 도형은 정삼각형입니다. 어느 면의 평면에 대해서도 그 밖의 꼭짓점은 하나뿐이므로 ①도 성립합니다. 정육면체(3.22의 284번)는 여섯 면이 합동인 정사각형이고 각 꼭짓점에 면이 3개 모이며, 한 꼭짓점의 이웃 세 개는 서로 면대각선의 길이 2a(3.5의 196번)만큼 떨어져 있어 꼭짓점 도형은 정삼각형입니다. 각 면의 평면에 대해 나머지 네 꼭짓점은 모두 맞은편 면 쪽에 있으므로 ①도 성립합니다.
2단계 (좌표 준비). 나머지 셋은 공간좌표(7.8의 588번)로 만듭니다. 두 점 사이의 거리는 7.8의 590번으로 재고, ux+vy+wz = k를 만족하는 점 전체는 평면입니다(7.9의 597번). 한 면이 이 평면 위에 있고 모든 꼭짓점에서 ux+vy+wz ≤ k이면, 나머지 꼭짓점은 모두 그 평면의 한쪽에 있습니다(①). 좌표의 부호를 바꾸는 변환 (x, y, z) → (±x, ±y, ±z)와 좌표를 돌리는 변환 (x, y, z) → (y, z, x)는 거리 공식의 세 제곱의 순서와 부호만 바꾸므로 두 점 사이의 거리를 바꾸지 않습니다. 아래의 점 집합은 이 변환들로 자기 자신에 옮겨지므로, 꼭짓점과 면은 이 변환으로 서로 옮겨지는 ‘종류’마다 하나씩만 확인하면 됩니다. 또 모든 좌표에 같은 양수를 곱하면 거리가 모두 같은 비율로 바뀌므로, 모서리의 길이는 마지막에 a로 맞추면 됩니다. 황금비 φ = 1+52(340번 1단계)는 φ² = φ + 1을 만족하고, 여기서 φ⁻¹ = φ − 1, 1 − φ⁻¹ = φ⁻², φ² + φ⁻² = 3이 나옵니다.
3단계 (정팔면체 {3, 4}). 여섯 점 (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1)을 잡습니다. 축이 다른 두 점 사이의 거리는 2, 같은 축의 맞은편 두 점 사이의 거리는 2이고, 모서리는 거리가 2인 두 점을 잇습니다. 면은 세 축에서 하나씩 고른 세 점의 삼각형 8개(예 : (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))로, 모두 한 변이 2인 정삼각형입니다. 이 면은 평면 x+y+z = 1 위에 있고 여섯 점 모두에서 x+y+z ≤ 1이며, 나머지 일곱 면은 부호 변환으로 옮긴 것입니다. 꼭짓점 (0, 0, 1)에는 면이 4개 모이고, 이웃 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (−1, 0, 0), (0, −1, 0)을 면의 순서대로 이으면 평면 z = 0 위의 정사각형입니다. 각 모서리는 남은 축의 두 점과 함께 꼭 두 면에 속하므로 이 8개의 면은 닫힌 겉면을 이룹니다.
4단계 (정이십면체 {3, 5}). 열두 점 (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)을 잡습니다(첫 묶음을 좌표 돌리기로 옮긴 것). P = (0, 1, φ)에서 다른 점까지 거리의 제곱은 (0, −1, φ)까지 4, (±1, φ, 0)까지 1 + (φ−1)² + φ² = 1 + φ⁻² + φ² = 4, (±φ, 0, 1)까지 φ² + 1 + (φ−1)² = 4이고, 나머지 여섯 점까지는 4φ², 4+4φ², 1+(1+φ)²+φ², φ²+1+(1+φ)²로 모두 4보다 큽니다. 모서리는 거리가 가장 짧은 2인 두 점을 잇습니다. 어느 점이든 변환으로 P에 옮겨지므로 모든 꼭짓점에 모서리가 5개 모입니다.
P의 이웃을 N₁ = (0, −1, φ), N₂ = (φ, 0, 1), N₃ = (1, φ, 0), N₄ = (−1, φ, 0), N₅ = (−φ, 0, 1)이라 하면, 이웃한 번호끼리(N₅와 N₁ 포함)의 거리는 모두 2이고(위와 같은 계산과 x의 부호 바꾸기), 다섯 점은 모두 평면 y + φz = φ 위에 있습니다. 다섯 점은 P에서 같은 거리 2이므로 P에서 이 평면에 내린 수선의 발에서도 같은 거리에 있고(피타고라스 정리), 따라서 한 원 위에 있습니다. 원 위의 다섯 점이 차례로 같은 길이의 현으로 이어지므로 중심각이 모두 같고(세 변이 같은 이등변삼각형), 각 꼭짓점에서의 각도 모두 같아 N₁N₂N₃N₄N₅는 정오각형입니다(③, q = 5).
면은 서로 이웃한 세 점의 삼각형으로, 두 종류가 있습니다. ⑴ (0, 1, φ), (φ, 0, 1), (1, φ, 0)과 이를 부호 변환으로 옮긴 8개 : 평면 x+y+z = 1+φ 위에 있고, 열두 점 모두에서 x+y+z ≤ 1+φ입니다. ⑵ (0, 1, φ), (0, −1, φ), (φ, 0, 1)과 이를 변환으로 옮긴 12개 : 평면 x + φ²z = φ³ 위에 있고(φ³ = φ²+φ), 열두 점 모두에서 x + φ²z ≤ φ³입니다. 모든 면은 한 변이 2인 정삼각형이고(②), 8 + 12 = 20개이며, 한 꼭짓점에는 위의 다섯 이웃을 차례로 두 개씩 묶은 5개의 면이 모입니다. 한 꼭짓점에서 나가는 5개의 모서리는 차례로 이웃한 두 면에 하나씩 공유되므로 각 모서리는 꼭 두 면에 속하고, 이 20개의 면은 닫힌 겉면을 이룹니다.
5단계 (정십이면체 {5, 3}). 스무 점 (±1, ±1, ±1)과 (0, ±φ⁻¹, ±φ), (±φ⁻¹, ±φ, 0), (±φ, 0, ±φ⁻¹)을 잡습니다. U = (1, 1, 1)에서 (0, φ⁻¹, φ)까지 거리의 제곱은 1 + (1−φ⁻¹)² + (φ−1)² = 1 + φ⁻⁴ + φ⁻² = φ⁻²(φ² + 1 + φ⁻²) = 4φ⁻²이고, 좌표를 돌린 (φ⁻¹, φ, 0), (φ, 0, φ⁻¹)까지도 같습니다. U에서 나머지 점까지 거리의 제곱은 4, 8, 12((±1, ±1, ±1) 꼴), 1 + φ² + φ⁻² = 4((0, −φ⁻¹, φ) 꼴) 또는 그보다 큽니다. W = (0, φ⁻¹, φ)에서는 (0, −φ⁻¹, φ)까지 (2φ⁻¹)², (±1, 1, 1)까지 4φ⁻²이고 나머지는 모두 4 이상입니다. 그러므로 모서리는 거리 2φ⁻¹인 두 점을 잇고, 꼭짓점마다 모서리가 3개 모입니다(점은 U 꼴과 W 꼴 두 종류). 꼭짓점 도형은 세 점이라 한 평면 위에 있고(3.22 약속 ④), U의 이웃끼리의 거리는 φ⁻² + 1 + φ² = 4에서 모두 2, W의 이웃 (0, −φ⁻¹, φ), (1, 1, 1), (−1, 1, 1)끼리의 거리도 1 + φ² + φ⁻² = 4와 x의 부호 바꾸기에서 모두 2이므로 정삼각형입니다(③, q = 3).
면은 오각형 (1, 1, 1), (φ⁻¹, φ, 0), (−φ⁻¹, φ, 0), (−1, 1, 1), (0, φ⁻¹, φ)과 이를 변환으로 옮긴 12개입니다. 이 오각형은 이웃한 꼭짓점끼리 거리 2φ⁻¹(모서리)이고, 이웃하지 않은 두 꼭짓점끼리는 모두 거리 2입니다(위의 계산과 x의 부호 바꾸기). 다섯 변과 다섯 대각선이 각각 같으므로 이웃한 두 변과 대각선 하나로 된 삼각형 다섯 개가 합동(SSS)이고, 다섯 내각이 모두 같습니다. 또 다섯 점은 평면 φy + z = φ² 위에 있고, 스무 점 모두에서 φy + z ≤ φ²입니다. 따라서 모든 면은 한 변이 2φ⁻¹인 합동인 정오각형이고(②), 한 꼭짓점에 모이는 면은 3개, 각 모서리는 꼭 두 면에 속하여 이 12개의 면은 닫힌 겉면을 이룹니다.
6단계 (결론). 3~5단계의 입체는 각 면의 평면에 대해 모든 꼭짓점이 한쪽에 있으므로 볼록다면체이고(①), 좌표에 알맞은 양수(정팔면체는 a2, 정이십면체는 a2, 정십이면체는 aφ2)를 곱하면 모서리의 길이가 a가 됩니다. 1단계와 함께 다섯 가지가 모두 있습니다. 꼭짓점 · 모서리 · 면의 개수는 335번의 표와 같습니다.
사용 : 333번(정다면체의 정의) · 3.25의 303번(정사면체) · 3.22의 284번(정육면체) · 3.5의 196번(정사각형의 대각선) · 7.8의 588번 · 590번(공간좌표 · 거리) · 7.9의 597번(평면의 방정식) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.22 단원 서두의 약속 ④
증명 끝
336정리이면각sin(θ/2) = cos(π/q)sin(π/p)
증명법 : 직접증명법
이면각 θ는 모서리 하나를 공유하는 이웃한 두 면이 그 모서리에서 이루는 각, 즉 그 모서리에 수직인 평면으로 잘랐을 때 두 면의 자른 자리가 이루는 각입니다. 볼록다면체이므로(333번의 조건 ①) 0° < θ < 180°입니다.
1단계 (꼭짓점 도형). 꼭짓점 A와 모서리로 직접 이어진 q개의 꼭짓점은, 333번의 조건 ③에 의해 A의 꼭짓점 도형인 정q각형을 이룹니다. 그 중심을 Q, 외접원의 반지름을 ρ라 합니다. 아래의 계산은 p, q, a만 쓰므로 어느 꼭짓점 · 어느 모서리에서 해도 같은 값이 나옵니다. 따라서 정다면체의 이면각은 모든 모서리에서 같습니다.
정이십면체에서 꼭짓점 A의 꼭짓점 도형(붉은 점선, 여기서는 정오각형)과 모서리 AB를 공유하는 두 면 ABC · ABD, 그리고 C와 D에서 직선 AB에 내린 수선의 공통인 발 P
2단계 (꼭짓점 도형의 한 변). A의 이웃 가운데 한 면 위에서 A를 사이에 두고 이웃하는 두 점을 B, C라 하면, 그 면은 정p각형이고 그 안에서 C − A − B가 연달아 놓인 세 꼭짓점이므로 ∠CAB는 정p각형의 한 내각 α = π − 2πp(라디안, 3.18의 254번)이고 AB = AC = a입니다. 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 (3.2의 보조정리)
s = BC = 2a sinα2 = 2a sin(π2 − πp) = 2a cosπp.
이것이 꼭짓점 도형인 정q각형의 한 변의 길이이므로, 3.18의 256번에 의해
ρ = s2 sin(π/q) = a cos(π/p)sin(π/q).
3단계 (모서리 AB에서의 이면각). 모서리 AB를 공유하는 두 면을 각각 ABC, ABD라 하면(즉 C와 D는 꼭짓점 도형에서 B의 양옆에 있는 두 꼭짓점입니다), 두 면은 모두 정p각형이므로 ∠CAB = ∠DAB = α, AC = AD = a입니다. C와 D에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 각각 생각하면 두 발은 모두 직선 AB 위에서 A로부터 B 쪽으로 a cosα만큼(부호 있는 거리 — p = 4이면 α = 90°라 발은 A 자신, p = 5이면 cosα < 0이라 A의 반대쪽 연장선 위) 떨어진 같은 점이므로 서로 일치합니다. 이 공통인 발을 P라 하면
PC ⊥ AB, PD ⊥ AB, PC = PD = a sinα
이고, PC와 PD가 모두 AB에 수직이므로 평면 CPD는 AB에 수직입니다(3.22 단원 서두의 약속 ②). 따라서 ∠CPD가 바로 모서리 AB에 대한 이면각 θ입니다.
왼쪽 : 꼭짓점 도형인 정q각형(그림은 q = 5) — C와 D는 B의 양옆이므로 CD는 한 칸 건너뛴 대각선. 오른쪽 : 모서리 AB에 수직인 평면으로 자른 이등변삼각형 CPD와 이면각 θ
4단계 (계산). C, D는 꼭짓점 도형인 정q각형에서 B를 사이에 둔 두 꼭짓점이므로 그 사이의 호는 변 두 개 몫이고, 중심 Q에서 본 각은 2 · 2πq입니다. q = 5이면 이 각이 4π5이므로 이등변삼각형 CQD에서 2단계와 같은 방법으로 CD = 2ρ sin2π5입니다. q = 3이면 C와 D는 서로 이웃한 두 꼭짓점이라 짧은 쪽 중심각이 2π3이고 같은 방법으로 CD = 2ρ sinπ3 = 2ρ sin2π3입니다(보각의 사인). q = 4이면 C, Q, D가 한 직선 위에 있어 CD는 지름이고 CD = 2ρ = 2ρ sin2π4입니다. 어느 경우든
CD = 2ρ sin2πq.
한편 삼각형 CPD는 PC = PD인 이등변삼각형이므로 밑변 CD의 중점 N에 대해 PN ⊥ CD이고 ∠CPN = θ2입니다(3.2의 보조정리). 그러므로
sinθ2 = CD2 PC = ρ sin(2π/q)a sinα.
여기서 α = π − 2πp이므로 sinα = sin2πp이고(보각의 사인, 4.6의 f433번), 배각공식 sin2x = 2 sin x cos x(4.10의 f459번)를 분모와 분자에 각각 적용하면
sinθ2 = a cos(π/p)sin(π/q) · 2 sin(π/q) cos(π/q)a · 2 sin(π/p) cos(π/p) = cos(π/q)sin(π/p).
이면각은 볼록다면체에서 0°과 180° 사이이므로 θ2는 예각이고, 위 식으로 θ가 하나로 정해집니다.
| {p, q} | 이름 | sin(θ/2) | θ |
|---|---|---|---|
| {3, 3} | 정사면체 | 13 | ≈ 70.53° |
| {4, 3} | 정육면체 | 12 | 90° |
| {3, 4} | 정팔면체 | 23 | ≈ 109.47° |
| {5, 3} | 정십이면체 | 210−25 | ≈ 116.57° |
| {3, 5} | 정이십면체 | 1+523 | ≈ 138.19° |
검산 : 정육면체는 sinθ2 = cos 60°sin 45° = 12 = 12이므로 θ = 90°이고, 실제로 정육면체의 이웃한 두 면은 서로 수직입니다(3.22의 284번).
사용 : 333번(정다면체의 정의 — 꼭짓점 도형) · 3.18의 254번(정n각형의 내각) · 256번(정n각형의 외접원) · 3.2의 보조정리(이등변삼각형의 꼭지각 이등분선) · 3.22 단원 서두의 약속 ② · 4.6의 f433번(보각공식) · 4.10의 f459번(사인의 배각공식)
증명 끝
337정리내접구와 외접구의 반지름r = r₀ tan(θ/2), R = r²+R₀²
증명법 : 직접증명법
여기서 r₀과 R₀은 면인 정p각형의 내접원 · 외접원의 반지름이고(3.18의 257번 · 256번), 구의 정의는 3.34의 373번을 참고하세요.
1단계 (한 모서리에서 점 O 만들기). 모서리 AB 하나를 잡아 그 중점을 M이라 하고, AB를 공유하는 두 면을 F₁, F₂, 그 중심(정p각형의 중심)을 K₁, K₂라 합니다. K₁A = K₁B = R₀이므로 이등변삼각형 K₁AB에서 K₁M ⊥ AB이고(3.2의 보조정리), K₁M은 중심에서 변까지의 거리이므로 K₁M = r₀입니다(3.18의 257번). K₂도 마찬가지입니다. 따라서 평면 K₁MK₂는 AB에 수직이고(3.22 단원 서두의 약속 ②), ∠K₁MK₂는 모서리 AB에서의 이면각 θ입니다(336번 — 모든 모서리에서 같음). 이 평면 안에서 ∠K₁MK₂의 이등분선과, K₁에서 MK₁에 세운 수선이 만나는 점을 O라 합니다 (θ2는 예각이므로 두 직선은 만납니다). 직각삼각형 MK₁O에서 ∠K₁MO = θ2이므로 OK₁ = r₀ tanθ2이고, 두 변 MK₁ = MK₂, MO와 그 끼인각이 같으므로 △MK₁O ≅ △MK₂O(SAS), 곧 OK₂ = OK₁, OK₂ ⊥ MK₂입니다.
2단계 (O는 두 면의 중심에서 세운 수선 위의 점). AB는 평면 K₁MK₂에 수직이므로 그 평면 위의 직선 OK₁과도 수직입니다(약속 ②). 즉 OK₁은 면 F₁ 위에서 M에서 만나는 두 직선 MK₁, AB와 모두 수직이므로 F₁이 놓인 평면에 수직입니다(약속 ②). 또 O는 ∠K₁MK₂의 안쪽, 곧 F₁의 평면에 대해 F₂와 같은 쪽, 따라서 입체가 있는 쪽(333번의 조건 ①)에 있습니다. 그러므로 O는 “면 F₁의 중심에서 F₁에 수직으로 입체 쪽으로 세운 직선 위에서, 중심으로부터 거리 r₀ tanθ2인 점”이고, 이런 점은 면 F₁만으로 하나로 정해집니다(수선은 하나뿐 — 약속 ⑤). 면 F에 대해 이렇게 정해지는 점을 O(F)라 쓰면, 지금 보인 것은 O(F₁) = O = O(F₂)입니다.
3단계 (모든 면에서 같은 점 — 중심 O와 내접구). r₀과 θ는 어느 면 · 어느 모서리에서도 같으므로 (333번의 조건 ②, 336번), 모서리 하나를 공유하는 어느 두 면 F, G에 대해서도 1·2단계에 의해 O(F) = O(G)입니다. 한 꼭짓점에 모인 q개의 면은 차례로 이웃한 면과 모서리를 공유하며 그 꼭짓점을 한 바퀴 두르고, 어느 두 꼭짓점도 모서리를 따라 이어지므로 (받아들이는 사실 ①), 어느 두 면도 모서리를 공유하는 면들을 차례로 건너 이어집니다. 따라서 O(F)는 모든 면에서 같은 한 점이며, 이를 정다면체의 중심 O라 합니다. O에서 각 면에 내린 수선의 발은 그 면의 중심 K이고, 거리는 모든 면에서
r = OK = r₀ tanθ2 = a2 · 1tan(π/p) · tanθ2
로 같습니다. 그러므로 O를 중심으로 하고 반지름이 r인 구는 각 면과 그 중심 K에서 만나고 면의 평면까지의 거리가 r이므로 모든 면에 접합니다(내접구).
정십이면체에서 중심 O, 한 면의 중심 K, 그 면의 한 모서리의 중점 M, 그 모서리의 끝점인 꼭짓점 A — 아래의 두 정확한 단면은 각각 삼각형 MKO와 삼각형 OKA에서 온 것이다
4단계 (외접구의 반지름). 3단계의 K와 그 면의 꼭짓점 A에 대해 OK ⊥ KA, OK = r, KA = R₀이므로(꼭짓점 A는 어느 것이든) 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
R = r²+R₀², 여기서 R₀ = a2 sin(π/p).
즉 O는 모든 꼭짓점에서 같은 거리 R에 있으므로, O를 중심으로 하고 반지름이 R인 구는 모든 꼭짓점을 지납니다(외접구).
왼쪽 : 모서리에 수직인 평면으로 자른 정확한 단면(두 굵은 선분이 두 면의 단면) — r = r₀ tan(θ/2). 오른쪽 : 중심 O · 면의 중심 K · 꼭짓점 A가 이루는 직각삼각형 — R² = r² + R₀²
| 이름 | r (a = 1) | R (a = 1) |
|---|---|---|
| 정사면체 | 612 ≈ 0.2041 | 64 ≈ 0.6124 |
| 정육면체 | 12 = 0.5000 | 32 ≈ 0.8660 |
| 정팔면체 | 66 ≈ 0.4082 | 22 ≈ 0.7071 |
| 정십이면체 | 250+110520 ≈ 1.1135 | 3(1+5)4 ≈ 1.4013 |
| 정이십면체 | 3(3+5)12 ≈ 0.7558 | 10+254 ≈ 0.9511 |
검산 : 정사면체({3,3})에서 r₀ = a2 tan 60° = a23이고 336번에서 sinθ2 = 13이므로 tanθ2 = 12, r = a23 · 12 = 6a12로 3.25의 308번과 일치하고, R₀ = a3이므로 R² = a²24+a²3 = 3a²8, R = 6a4로 3.25의 309번과 일치합니다. 정육면체({4,3})에서는 r₀ = a2, tan45° = 1이므로 r = a2, R₀ = a2이므로 R = a²4+a²2 = 3a2로 3.22의 290번 · 291번과 일치합니다.
사용 : 333번(정다면체의 정의) · 336번(이면각 — 모든 모서리에서 같음) · 받아들이는 사실 ①(이어져 있음) · 3.2의 보조정리 · 3.22 단원 서두의 약속 ② ⑤ · 3.18의 256번 · 257번(정n각형의 외접원 · 내접원) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝
338정리부피V = 13 r S
증명법 : 직접증명법
중심 O(337번)는 모든 면의 평면에 대해 입체가 있는 쪽에, 그 평면에서 거리 r > 0만큼 떨어져 있으므로(337번 2·3단계) 입체의 안쪽에 있습니다. 입체의 점 X(O가 아닌 점)에 대해 반직선 OX는 볼록인 입체를 빠져나가면서 겉면과 꼭 한 점에서 만나고(333번의 조건 ①), 그 점이 놓인 면을 밑면으로 하고 O를 꼭짓점으로 하는 각뿔에 X가 들어 있습니다. 그러므로 O와 각 면을 이은 F개의 각뿔은 서로 내부가 겹치지 않고 모두 합하면 정다면체 전체가 되며, 부피 공리의 성질(3.22의 285번)에 의해 정다면체의 부피는 이 각뿔들의 부피의 합입니다.
i번째 각뿔의 밑면은 i번째 면(넓이를 Bᵢ라 합니다)이고, 꼭짓점은 O이며, 높이는 O에서 그 면까지의 거리, 즉 내접구의 반지름 r로 모두 같습니다(337번 3단계). 그러므로 각뿔의 부피 공리(3.25의 304번)에 의해 i번째 각뿔의 부피는 13Bᵢr이고,
V = 13B₁r + 13B₂r + ⋯ = 13r(B₁+B₂+⋯) = 13rS.
여기서 S는 모든 면의 넓이의 합, 곧 겉넓이입니다. 뒤집어 쓰면 r = 3VS이므로, 겉넓이와 부피를 알면 내접구의 반지름을 바로 얻을 수 있습니다.
검산 : 정육면체는 r = a2, S = 6a²(3.22의 288번)이므로 V = 13 · a2 · 6a² = a³로 3.22의 289번과 일치하고, 정사면체는 r = 6a12, S = 3a²(3.25의 306번)이므로 V = 13 · 6a12 · 3a² = 2a³12로 3.25의 307번과 일치합니다.
사용 : 337번(내접구의 반지름) · 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리) · 3.22의 285번(부피 공리)
증명 끝
339정리정팔면체의 겉넓이와 부피S = 23a², V = 2a³3
증명법 : 직접증명법
1단계 (겉넓이). 정팔면체는 {3, 4}이므로 335번의 표에 의해 정삼각형인 면이 8개입니다. 한 변이 a인 정삼각형의 넓이는 34a²(3.3의 180번)이므로
S = 8 · 34a² = 23a².
2단계 (구조). 꼭짓점 하나를 P라 하면 333번의 조건 ③에 의해 P의 꼭짓점 도형은 정q각형 = 정사각형이고, 그 한 변의 길이는 336번 2단계에 의해 s = 2a cosπ3 = a입니다. 즉 P의 이웃 네 개 A, B, C, D는 한 평면 위에서 한 변이 a인 정사각형을 이룹니다. 꼭짓점은 모두 6개(335번)이므로 남는 꼭짓점은 하나뿐이고, 이를 P′이라 합니다. A에는 모서리가 4개 모이는데, 그 끝은 P, 꼭짓점 도형에서 A의 양옆인 B와 D, 그리고 하나가 더 있습니다. 그 하나는 C일 수 없으므로(AC는 정사각형의 대각선이라 2a ≠ a, 3.5의 196번) P′입니다. B, C, D도 마찬가지이므로 P′은 A, B, C, D 모두와 모서리로 이어지고 P′A = P′B = P′C = P′D = a입니다. P와 P′에서 평면 ABCD에 내린 수선의 발은 피타고라스 정리에 의해 네 꼭짓점에서 같은 거리에 있으므로 둘 다 정사각형의 중심 O이고(3.25의 305번과 같은 논법), PO = P′O입니다. P와 P′은 평면의 서로 반대쪽에 있습니다(같은 쪽이면 같은 점이 되어 버립니다). 그러므로 정팔면체는 정사각형 ABCD를 밑면으로 공유하는 두 정사각뿔 P-ABCD와 P′-ABCD를 맞붙인 것입니다.
정팔면체 — 꼭짓점 P의 꼭짓점 도형인 정사각형 ABCD(한 변 a)를 밑면으로 하는 두 정사각뿔 P-ABCD와 P′-ABCD로 나뉜다
3단계 (부피). 정사각형 ABCD의 중심을 O라 하면 대각선의 길이가 2a이므로(3.5의 196번) OA = 2a2입니다. 2단계에서 PO ⊥ 평면 ABCD이므로 삼각형 POA는 O에서 직각이고 PA = a이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
PO = a² − a²2 = a2 = 2a2.
정사각형 ABCD의 넓이는 a²(3.5의 200번)이므로 각뿔의 부피 공리(3.25의 304번)에 의해 각뿔 P-ABCD의 부피는 13 · a² · 2a2 = 2a³6이고, 같은 크기의 각뿔이 둘이므로
V = 2 · 2a³6 = 2a³3.
4단계 (두 구의 반지름). O는 A, B, C, D에서 거리가 2a2이고 P, P′에서도 거리가 2a2이므로 O는 여섯 꼭짓점에서 같은 거리에 있습니다. 337번의 중심도 A, B, C, D에서 같은 거리이므로 수선의 발이 O인 직선 PP′ 위에 있고, P와 P′에서도 같은 거리이므로 PP′의 중점, 곧 O입니다. 따라서
R = 2a2 ≈ 0.7071a.
또 338번의 r = 3VS에 위의 두 값을 넣으면
r = 31 · 2a³/323a² = 2a23 = 6a6 ≈ 0.4082a
로 337번의 표와 일치합니다.
사용 : 335번(V, E, F) · 336번(꼭짓점 도형) · 338번(부피와 내접구) · 333번(꼭짓점 도형) · 3.25의 305번(수선의 발 논법) · 3.3의 180번(정삼각형의 넓이) · 3.5의 196번 · 200번(정사각형의 대각선 · 넓이) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리)
증명 끝
340정리정십이면체의 겉넓이와 부피S = 325+105a², V = (15+75)a³4
증명법 : 직접증명법
1단계 (보조정리 : 정오각형의 황금비). 한 변이 a인 정오각형 ABCDE의 대각선의 길이를 d라 하면 d = φa, φ = 1+52입니다.
정오각형 ABCDE에서 두 대각선 AC와 BD의 교점 P — △ABC와 △BPC가 닮음이 되어 대각선과 변의 비가 황금비 φ가 된다
정오각형의 한 내각은 108°이므로(3.18의 254번) 삼각형 ABC에서 AB = BC = a, ∠ABC = 108°이고 ∠BAC = ∠BCA = 36°입니다. 마찬가지로 삼각형 BCD에서 ∠CBD = 36°이므로 ∠ABD = 108° − 36° = 72°입니다. 두 대각선 AC와 BD의 교점을 P라 하면 삼각형 ABP에서 ∠BAP = 36°, ∠ABP = 72°이므로 ∠APB = 72°이고, 따라서 삼각형 ABP는 AP = AB = a인 이등변삼각형입니다. 한편 삼각형 BPC는 ∠PBC = ∠PCB = 36°이고 ∠BPC = 108°이므로 삼각형 ABC와 세 각이 같아 △ABC ∼ △BPC이고
PCBC = BCAC, 즉 PC = a²d.
AC = AP + PC이므로 d = a + a²d, 곧 d² − ad − a² = 0이고 d > 0이므로 d = (1+5)a2 = φa입니다.
2단계 (36°의 삼각비). 삼각형 ABC는 AB = BC = a, ∠ABC = 108°인 이등변삼각형이고 밑변이 AC = d이므로, 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분한다는 사실(3.2의 보조정리)에서 d = 2a sin54° = 2a cos36°입니다. 1단계와 견주면
cos36° = φ2 = 1+54, sin36° = 10−254, tan36° = 5−25.
(sin은 sin²+cos² = 1에서, tan은 두 값의 비를 제곱해 유리화하면 10−256+25 = 5 − 25가 되는 것에서 얻습니다.)
3단계 (겉넓이). 정십이면체는 {5, 3}이므로 정오각형인 면이 12개입니다. 정n각형의 넓이는 (둘레) × (아포템)2이고(3.18의 259번), 정오각형에서 r₀ = a2 tan 36°(3.18의 257번)이므로 한 면의 넓이는 5a2 · a2 tan 36° = 5a²4 tan 36°이고
S = 12 · 5a²4 tan 36° = 15a²tan 36° = 15a²5−25.
S > 0이므로 제곱해서 유리화하면 S² = 225a⁴5−25 = 225a⁴(5+25)5 = 9(25+105)a⁴이고
S = 325+105a² ≈ 20.6457a².
4단계 (이면각과 내접구). 336번에 p = 5, q = 3을 넣으면 sinθ2 = cos(π/3)sin(π/5) = 12 sin 36°이므로 sin²θ2 = 410−25, cos²θ2 = 6−2510−25이고
tan²θ2 = 46−25 = 23−5 = 3+52 = φ², 즉 tanθ2 = φ (θ ≈ 116.57°).
337번에 넣으면 r = r₀ tanθ2 = a2 tan 36° · φ = (1+5)a45−25이고, 제곱해 유리화하면 r² = (25+115)a²40이므로
r = 250+1105a20 ≈ 1.1135a.
5단계 (부피). 338번의 V = 13rS에 3단계와 4단계의 값을 넣으면
V = 13 · aφ2 tan 36° · 15a²tan 36° = 5a³φ2 tan² 36° = 5(1+5)a³4(5−25) = 5(1+5)(5+25)a³20 = (15+75)a³4 ≈ 7.6631a³.
6단계 (외접구). R₀ = a2 sin 36°이므로 R₀² = (10+25)a²20이고, 337번에 의해 R² = r²+R₀² = (50+225)a²80+(40+85)a²80 = 3(3+5)a²8이므로 R = 3(1+5)a4 ≈ 1.4013a입니다.
사용 : 335번(V, E, F) · 336번(이면각) · 337번(내접구 · 외접구) · 338번(부피) · 3.18의 254번 · 257번 · 259번(정n각형의 내각 · 아포템 · 넓이) · 3.2의 보조정리(이등변삼각형의 꼭지각 이등분선)
증명 끝
341정리정이십면체의 겉넓이와 부피S = 53a², V = 5(3+5)a³12
증명법 : 직접증명법
1단계 (겉넓이). 정이십면체는 {3, 5}이므로 정삼각형인 면이 20개이고, 한 변이 a인 정삼각형의 넓이는 34a²(3.3의 180번)이므로
S = 20 · 34a² = 53a² ≈ 8.6603a².
2단계 (이면각). 336번에 p = 3, q = 5를 넣고 340번 2단계의 cos36° = 1+54를 쓰면
sinθ2 = cos(π/5)sin(π/3) = (1+5)/43/2 = 1+523,
sin²θ2 = 6+2512 = 3+56, cos²θ2 = 3−56,
tan²θ2 = 3+53−5 = (3+5)²4 = 7+352 = φ⁴, 즉 tanθ2 = φ² = 3+52 (θ ≈ 138.19°).
3단계 (내접구). 면이 정삼각형이므로 r₀ = a2 tan 60° = a23 (3.18의 257번)이고, 337번에 의해
r = r₀ tanθ2 = a23 · 3+52 = (3+5)a43 = 3(3+5)a12 ≈ 0.7558a.
4단계 (부피). 338번의 V = 13rS에 1단계와 3단계를 넣으면
V = 13 · 3(3+5)a12 · 53a² = 5(3+5)a³12 ≈ 2.1817a³.
5단계 (외접구). R₀ = a2 sin 60° = a3이므로 337번에 의해
R² = r²+R₀² = (7+35)a²24+8a²24 = (15+35)a²24 = (5+5)a²8,
R = 10+25a4 ≈ 0.9511a.
참고 : 정이십면체와 정십이면체는 서로 쌍대라고 알려져 있습니다(335번 5단계의 참고, 이 책에서는 증명하지 않음). 두 입체에서 336번의 이면각 공식에 들어가는 p와 q가 서로 뒤바뀌어 있고, tanθ2의 값도 φ²와 φ로 짝을 이룹니다.
| 이름 | {p, q} | S | V |
|---|---|---|---|
| 정사면체 | {3, 3} | 3a² | 2a³12 |
| 정육면체 | {4, 3} | 6a² | a³ |
| 정팔면체 | {3, 4} | 23a² | 2a³3 |
| 정십이면체 | {5, 3} | 325+105a² | (15+75)a³4 |
| 정이십면체 | {3, 5} | 53a² | 5(3+5)a³12 |
사용 : 335번(V, E, F) · 336번(이면각) · 337번(내접구 · 외접구) · 338번(부피) · 340번(cos 36°의 값) · 3.3의 180번(정삼각형의 넓이) · 3.18의 257번(정n각형의 아포템)
증명 끝