정다각형

Regular Polygon

정의 · 공식과 증명

정n각형(변의 개수 n인 정다각형)의 성질 6개(254~259번)를 정리합니다. 3.5(정사각형), 3.17(정육각형) 등은 전부 이 절의 특수한 경우(n=4, n=6)입니다.

정n각형(그림은 n=7): 한 변 a · 외접원 반지름 R · 내접원 반지름(아포템) r

254정리정n각형의 내각α = (n-2)·180°n

볼록 n각형은 한 꼭짓점에서 그은 대각선으로 (n-2)개의 삼각형으로 나뉩니다. 꼭짓점이 n개이고, 한 꼭짓점에서 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 (n-3)개의 대각선을 그으면 (n-2)개의 삼각형이 생기기 때문입니다. 각 삼각형의 내각의 합은 180°(3.4의 181번)이므로, 전체 내각의 합은 다음과 같습니다.

(내각의 합) = (n-2)·180°

정n각형은 이 합을 n등분한 것이 한 내각이므로 다음을 얻습니다.

α = (n-2)·180°n

사용 : 3.4의 181번(삼각형의 내각의 합)

증명 끝

255정의외각을 이용한 표현α = 180° - 360°/n

254번의 α = (n-2)·180°n을 전개하면 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

α = 180° - 360°n

같은 값을 "외각(360°n, 한 바퀴를 n등분)을 180°에서 뺀 것"으로 재서술한 것입니다. 정의라기보다는 254번의 동치 표현이지만, 외각의 관점(다각형을 따라 한 바퀴 돌면 외각의 합은 항상 360°)이 유용해서 별도로 표기합니다.

256정리외접원의 반지름R = a2 sin(π/n)

증명법 : 직접증명법

중심과 이웃한 두 꼭짓점을 이으면, 두 변이 R,R이고 사잇각이 360°n(=2πn 라디안)인 이등변삼각형이 n개 생깁니다. 이 삼각형을 중심에서 밑변(길이 a)에 내린 수선으로 반으로 나누면, 빗변 R, 각 πn (사잇각의 절반), 대변 a2인 직각삼각형이 됩니다. 3.1의 삼각비 정의에 의해 다음이 성립합니다.

sin(π/n) = a2R

따라서 다음을 얻습니다.

R = a2 sin(π/n)

사용 : 3.1의 157-162번(삼각비의 정의) · 이등변삼각형의 대칭성

증명 끝

257정리내접원의 반지름(아포템)r = a2 tan(π/n) = R² - a²4

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

256번에서 만든 직각삼각형(빗변 R, 각 πn, 대변 a2, 인접변 r)에서, tan(π/n)=a2r이므로 다음을 얻습니다.

r = a2 tan(π/n)

또한 3.1의 163번(피타고라스 정리)에 의해 r²+(a2)²=R²이므로, 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.

r = R² - a²4

사용 : 3.1의 157-162번, 163번 · 256번

증명 끝

258정리둘레L = na

증명법 : 직접증명법

n개의 변이 모두 a이므로 다음과 같습니다.

L = na

사용 : 둘레의 정의

증명 끝

259정리넓이S = (nR²2)·sin(2πn) = pr = pR² - a²4

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

정n각형은 256번에서 만든, 두 변 R,R과 사잇각 2πn인 이등변삼각형 n개로 이루어집니다. 3.4의 184a번(두 변과 끼인각의 넓이 공식)에 의해 삼각형 하나의 넓이와 전체 넓이는 다음과 같습니다.

(삼각형 하나의 넓이) = 12R² sin(2πn)	184a번(두 변과 끼인각)
S = nR²2 sin(2πn)	삼각형 n개를 합산

한편 각 삼각형을 밑변 a, 높이 r로 볼 수도 있으므로, 삼각형 하나의 넓이와 전체 넓이는 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.

(삼각형 하나의 넓이) = 12ar	밑변 a, 높이 r
S = n·12ar = 12(na)r = pr	p=L2=na2(반둘레)

257번의 r=R² - a²4을 대입하면 마지막 형태를 얻습니다.

S = pr = pR² - a²4

사용 : 3.4의 184a번 · 257번 · 258번(둘레)

증명 끝

chapter:03-geometry section:3.18