3.19 심화·배경
원
Circle
정의 · 공식과 증명
원의 정의와 기본 성질 12개(260~271번)를 정리합니다. 원주율 π는 "둘레와 지름의 비"로 약속되는 상수이며, 부채꼴·활꼴(3.20, 3.21)과 원주각·접선 관련 정리들이 이 절의 성질 위에서 전개됩니다.
원 : 중심 O로부터 거리가 일정(반지름 r)한 모든 점 A의 자취
260정의원원 = {P | OP = r} (O : 중심, r : 반지름)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 평면 위의 한 점 O(중심)로부터 일정한 거리 r(반지름)만큼 떨어진 모든 점들의 자취(집합)를 원이라 약속합니다. 원 위의 임의의 점을 A라 하면 OA=r입니다.
261정의반지름과 지름d = 2r (d : 지름, r : 반지름)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 중심을 지나 원 위의 두 점을 잇는 선분을 지름이라 하고, 지름은 반지름 두 개를 이어 붙인 것과 같으므로 d=2r로 약속합니다.
지름 AB = 반지름 OA + 반지름 OB = 2r
262정리원의 둘레C = 2πr = πd
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
원에 내접하는 정n각형(3.18)을 생각합니다. 3.18의 256번(외접원의 반지름)에 의해 정n각형의 한 변의 길이는 a = 2R sin(π/n)이고, 여기서는 외접원이 곧 주어진 원이므로 R 대신 원의 반지름 r를 대입하면 a = 2r sin(π/n)입니다. 258번(둘레 L = na)에 의해 내접 정n각형의 둘레를 Pn이라 하고, 계산을 위해 θn = πn 으로 놓으면
Pn = n·2r sin θn = 2πr·sin θnθn
n→∞이면 θn→0이고, 내접 정n각형의 둘레는 원의 둘레에 한없이 가까워집니다. 극한 sin θθ → 1 (θ→0, 8.2의 635번)에 의해
Pn → 2πr·1 = 2πr
이 극한값을 원의 둘레 C로 정의합니다. 이때 지름에 대한 둘레의 비 Cd 는 반지름과 무관한 상수가 되며, 이 상수가 바로 원주율 π입니다.
사용 : 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.18의 258번(둘레) · 8.2의 635번(극한 sin θθ → 1)
증명 끝
263정리원의 넓이S = πr²
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
원에 내접하는 같은 정n각형의 넓이(3.18의 259번, S = nR²2·sin(2π/n))에서 R를 원의 반지름 r로 바꾸고, 이번에는 φn = 2πn 으로 놓으면
Sn = nr²2·sin φn = πr²·sin φnφn
n→∞이면 φn→0이고 내접 정n각형의 넓이는 원의 넓이에 한없이 가까워지므로, 262번과 같은 극한 sin θθ → 1 (8.2의 635번)에 의해
Sn → πr²·1 = πr²
넓이 역시 이 극한값으로 정의되며, 극한의 존재를 포함한 엄밀한 근거는 262번의 참고(대학 과정) 상자와 같은 사정입니다.
원을 잘게 등분한 부채꼴을 이어 붙이면 가로 πr, 세로 r인 직사각형에 가까워져 S=πr²
사용 : 3.18의 259번(정n각형의 넓이) · 262번과 같은 극한(8.2의 635번)
증명 끝
264정리현과 반지름의 수직 관계중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다
증명법 : 직접증명법
현 AB의 중점을 M이라 하고 OM을 그으면, △OMA와 △OMB는 OA=OB=r(반지름), OM은 공통, 그리고 AM=BM(M이 중점)이므로 SSS 합동입니다. 따라서 ∠OMA=∠OMB이고, 두 각의 합이 180°(일직선)이므로 각각 90°, 즉 OM⊥AB. 한 점에서 직선에 내린 수선은 유일하므로, O에서 현 AB에 내린 수선의 발은 곧 중점 M이고, 따라서 그 수선은 현을 이등분합니다.
O에서 현 AB에 내린 수선의 발 M은 AB의 중점 (AM=MB)
사용 : 삼각형의 SSS 합동조건 · 이등변삼각형의 성질
증명 끝
265정리접선과 반지름의 수직 관계원의 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이다
증명법 : 귀류법
접선 ℓ이 접점 A에서 반지름 OA와 수직이 아니라고 가정합니다. 그러면 O에서 ℓ에 내린 수선의 발 H는 A와 다른 점이고, OH<OA=r(직각삼각형에서 빗변이 가장 길므로 OH<OA). 그런데 OH<r이면 H는 원 내부의 점이 아니라 ℓ 위의 점이면서 원 내부에 있다는 뜻이 되어, ℓ이 원과 두 점에서 만나야 합니다 (원 내부를 지나는 직선은 원과 두 점에서 교차). 이는 ℓ이 "한 점에서만 만나는" 접선이라는 가정과 모순입니다. 따라서 OA⊥ℓ.
접선 ℓ은 접점 A에서 반지름 OA와 항상 수직
사용 : 직각삼각형의 빗변이 가장 긴 변 · 원과 직선의 위치 관계(교점 개수) · 귀류법
증명 끝
266정리두 접선의 길이원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다 : PA = PB
267정리원주각의 정리원주각 = 12×중심각 (같은 호에 대한 원주각은 모두 같다)
증명법 : 직접증명법(경우 분리)
호 AB에 대한 중심각을 ∠AOB, 원주각을 ∠ACB(C는 호 AB를 포함하지 않는 쪽의 원 위의 점)라 하고, C의 위치에 따라 세 경우로 나눕니다.
① 각의 한 변(현 CB)이 중심 O를 지날 때 : △OCA는 이등변삼각형(OA=OC=r)이므로 ∠OCA=∠OAC이고, 삼각형의 외각 정리(한 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합)에 의해
∠AOB = ∠OCA + ∠OAC = 2∠OCA = 2∠ACB
① 각의 한 변(현 CB)이 중심 O를 지날 때 : △OCA(이등변)의 외각으로 ∠AOB = 2∠ACB
② O가 ∠ACB의 내부에 있을 때 : 직선 CO가 원과 다시 만나는 점을 D라 하면(보조선), 현 CD가 중심을 지나므로 ①의 결과를 CD의 양쪽에 한 번씩 적용할 수 있습니다.
| ∠AOD = 2∠ACD | ①을 ∠ACD 쪽에 적용 |
| ∠BOD = 2∠BCD | ①을 ∠BCD 쪽에 적용 |
| ∠AOB = ∠AOD + ∠BOD = 2(∠ACD + ∠BCD) = 2∠ACB | 두 식을 더함 |
② O가 ∠ACB의 내부에 있을 때 : 보조선 CD(지름)를 그어 ①의 결과를 양쪽에 한 번씩 적용
③ O가 ∠ACB의 외부에 있을 때 : 같은 보조선 CD에 대해 두 식을 빼면 ∠AOB = ∠AOD − ∠BOD = 2(∠ACD − ∠BCD) = 2∠ACB.
어느 경우든 ∠ACB = 12∠AOB이고, 이 값은 C의 위치와 무관하게 중심각만으로 정해지므로 같은 호에 대한 원주각은 모두 서로 같습니다.
∠ACB(원주각) = 12∠AOB(중심각)
사용 : 이등변삼각형의 성질 · 삼각형의 외각 정리
증명 끝
268정리반원에 대한 원주각지름에 대한 원주각은 90°이다
269정리접선과 현이 이루는 각접선과 현이 이루는 각 = 그 현에 대한 반대쪽 원주각
증명법 : 직접증명법
접점 A에서의 접선을 ℓ이라 하고, ℓ 위에 한 점 T를 현 AB에 대하여 C의 반대쪽에 잡으면(보조점), 접선과 현이 이루는 각(예각 쪽)은 ∠BAT로 나타낼 수 있습니다. 265번에 의해 OA⊥ℓ(즉 ∠OAT=90°)이고, △OAB는 이등변삼각형(OA=OB=r)입니다.
| ∠BAT = 90° − ∠OAB | ∠OAT = 90° (265번) |
| ∠OAB = 180°−∠AOB2 = 90° − ∠AOB2 | 이등변삼각형의 두 밑각은 같음 |
| ∠BAT = 90° − (90° − ∠AOB2) = ∠AOB2 | 위 두 식을 결합 |
267번(원주각의 정리)에 의해 ∠AOB2 는 호 AB(T의 반대쪽에 있는 호) 위의 점 C에서 본 원주각과 같으므로 ∠BAT = ∠ACB. 현의 반대쪽에 생기는 둔각(180° − ∠BAT) 역시 남은 호에 대한 원주각과 같습니다(두 호의 중심각의 합이 360°이므로 두 원주각의 합은 180°).
접선 ℓ과 현 AB가 이루는 각 ∠BAT = 반대쪽 호에 대한 원주각 ∠ACB
사용 : 265번(접선과 반지름의 수직) · 267번(원주각의 정리) · 이등변삼각형의 성질
증명 끝