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8.2   수능 핵심

함수의 극한

Limits of Functions

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 함수의 극한(629–634번)을 엄밀하게 정리하고, 그 대표적인 응용으로 삼각함수의 핵심 극한 sinθ/θ→1(635–636번)을 증명합니다. 이 극한은 3.19(원의 둘레·넓이)· 3.20(부채꼴)·3.30(원기둥)·3.32(원뿔)·3.35(구관) 등 여러 절에서 이미 «나중에 증명할 것»으로 선행 인용해 두었던 사실이며, 이 절에서 그 선행 인용을 모두 해소합니다. 이어서 무한대에서의 극한(637번)과 함수의 연속(638–641번)까지 정리하여, 8.3(도함수의 정의)에서 곧바로 사용할 수 있는 극한·연속의 기초를 완성합니다.

629정의함수의 극한(수렴)limx→a f(x) = L
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 a를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의되어 있다고 합시다(단, x=a에서는 f가 정의되어 있지 않아도 무방합니다 — 즉 a 자신은 정의역에서 빠져 있어도 됩니다). x가 a와 같지 않으면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 어떤 일정한 실수 L에 한없이 가까워지면, f(x)는 x=a에서 L에 수렴한다(converge)고 하고,
limx→a f(x) = L
로 나타냅니다. 이때 L을 x=a에서의 f(x)의 극한값(limit)이라 합니다. 정의에서 극한값 L은 f(a)의 값 (정의되어 있는지, 정의되어 있다면 얼마인지)과 원칙적으로 무관합니다 — 오직 a 근처(단, a 자신은 제외)에서 f(x)가 어디로 다가가는지만 따집니다.
L을 중심으로 폭 2ε인 대역 안에 f(x)가 들어오도록, a를 중심으로 폭 2δ인 구간을 잡을 수 있음 — δ는 ε에 따라 정해짐
대학 위의 «한없이 가까워진다»는 서술은 직관적입니다. 대학 미적분학(해석학)에서는 이를 ε−δ 논법으로 엄밀화합니다 : «임의의 ε>0에 대해 적당한 δ>0가 존재하여, 0<|x−a|<δ인 모든 x에 대해 |f(x)−L|<ε이 성립한다.» 이 절 이후의 모든 증명은 이 직관적 정의를 전제로 하되, «가까워진다»는 서술을 부등식으로 바꿔 쓸 수 있다는 사실에 의존해 논증을 전개합니다(엄밀한 ε−δ 증명 자체는 수능 범위 밖입니다).
630정의좌극한과 우극한limx→a− f(x), limx→a+ f(x)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 629번의 정의에서 x가 a에 가까워지는 방향을 한쪽으로 제한한 것이 좌극한·우극한입니다. x가 a보다 작으면서(x<a) a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 L에 한없이 가까워지면 L을 x=a에서의 f(x)의 좌극한(left−hand limit)이라 하고,

limx→a− f(x) = L

로 나타냅니다(x→a−로 표기). 마찬가지로 x가 a보다 크면서(x>a) a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 M에 한없이 가까워지면 M을 우극한(right−hand limit)이라 하고,

limx→a+ f(x) = M

로 나타냅니다(x→a+). 좌극한·우극한은 각각 a보다 작은 쪽, 큰 쪽에서만 x를 움직이므로, f가 a의 한쪽에서만(예 : [a,b) 또는 (b,a]에서만) 정의되어 있어도 그 방향의 극한은 정의될 수 있습니다.

왼쪽 : x=a에서 그래프가 끊어져 좌극한과 우극한이 서로 다름(극한이 존재하지 않음). 오른쪽 : 좌극한=우극한=L이면 f(a)의 정의 여부와 무관하게 극한이 존재

631정리극한의 존재성과 좌우극한의 일치limx→a f(x)가 존재 ⇔ limx→a−f(x)와 limx→a+f(x)가 모두 존재하고 같음

증명법 : 두 개의 조건문이 성립함을 증명

함수 f(x)의 x=a에서의 극한이 존재하는 것과, 좌극한·우극한이 모두 존재하며 그 값이 서로 같은 것이 필요충분조건임을 보입니다.

(⇒) limx→a f(x) = L이라 합시다(629번). 정의에 의해, x가 a와 같지 않으면서 a에 한없이 가까워지기만 하면(양쪽에서 다가가는 경우를 모두 포함하여) f(x)는 L에 한없이 가까워집니다. 이는 특히 x<a인 쪽으로만 a에 다가가는 경우와 x>a인 쪽으로만 다가가는 경우 각각에도 그대로 성립하는 조건이므로(전체 방향에서 성립하는 조건은 그 부분집합인 한쪽 방향에서도 그대로 성립), 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 각각 L입니다. 따라서 두 극한은 존재하며 서로 같습니다.

(⇐) 역으로 limx→a− f(x) = limx→a+ f(x) = L(공통값)이라 합시다(630번). x가 a와 같지 않으면서 a에 한없이 가까워지는 임의의 방식을 생각하면, 그 값들은 a보다 작은 값들의 모임과 a보다 큰 값들의 모임으로 나뉘고, 두 모임 모두 a에 한없이 가까워지는 부분을 포함합니다. 좌극한의 정의에 의해 a보다 작은 쪽에서는 f(x)가 L에 가까워지고, 우극한의 정의에 의해 a보다 큰 쪽에서도 f(x)가 L에 가까워지므로, 양쪽을 합친 전체에서도 f(x)는 L에 한없이 가까워집니다. 따라서 629번의 정의에 의해 limx→a f(x) = L이 존재합니다.

이므로 두 조건은 서로 동치입니다.

사용 : 629번(극한의 정의) · 630번 (좌극한·우극한의 정의)

증명 끝

632정리극한의 성질(사칙연산)lim(f±g)=L±M, lim(cf)=cL, lim(fg)=LM, lim(f/g)=L/M (M≠0)

증명법 : 직접증명법(극한의 정의와 절댓값 부등식 이용)

두 함수 f, g가 x=a에서 각각 limx→a f(x) = L, limx→a g(x) = M으로 수렴한다고 합시다(629번).

⑴ 합·차 : |(f(x)+g(x))−(L+M)| = |(f(x)−L)+(g(x)−M)| ≤ |f(x)−L|+|g(x)−M|(삼각부등식)입니다. x가 a에 가까워지면 629번의 정의에 의해 우변의 두 항이 모두 0에 한없이 가까워지므로 그 합인 우변 전체도 0에 한없이 가까워지고, 이 값에 눌린 좌변 |(f(x)+g(x))−(L+M)|도 0에 한없이 가까워집니다. 즉

limx→a (f(x)+g(x)) = L+M

이고, f(x)−g(x)는 g 대신 −g(x)(−M에 수렴, 아래 ⑵의 c=−1인 경우)를 대입하면 같은 논증이 그대로 적용되어 limx→a(f(x)−g(x)) = L−M입니다.

⑵ 상수배 : c가 상수이면 |cf(x)−cL| = |c|·|f(x)−L|이고, |f(x)−L|이 0에 한없이 가까워지므로 이에 상수 |c|를 곱한 값도 0에 한없이 가까워집니다(c=0이면 양변이 항상 0이므로 자명). 따라서

limx→a cf(x) = cL

⑶ 곱 : 항등식 f(x)g(x)−LM = f(x)(g(x)−M) + M(f(x)−L)에서 출발합니다(우변을 전개하면 좌변과 바로 일치합니다). x가 a에 충분히 가까울 때 f(x)는 L에 가까운 값을 유지하므로 어떤 상수로 유계이고(f(x)→L이므로 a 근처에서 f(x)의 값이 L에서 크게 벗어나지 않습니다), |g(x)−M|→0이므로 첫째 항 f(x)(g(x)−M)→0이며, 둘째 항 M(f(x)−L)도 |f(x)−L|→0이므로 →0입니다. ⑴(합의 극한)에 의해 두 항의 합도 0에 수렴하므로

limx→a f(x)g(x) = LM

대학 «x가 a 근처에서 f(x)가 유계이다»라는 사실은 629번의 직관적 정의만으로는 완전히 엄밀하게 다루기 어렵고, ε=1 정도의 특정 오차를 잡아 δ−근방을 구성하는 ε−δ 논법의 표준 보조정리(수렴하는 함수는 국소적으로 유계)입니다. 대학 미적분학(해석학)의 내용이며, 수능 준비에는 위 서술 정도의 직관적 이해로 충분합니다.

⑷ 몫 : M≠0인 경우, 1g(x)→1M임을 먼저 보이면 f(x)g(x) = f(x)·1g(x)에 ⑶을 적용해 끝낼 수 있습니다.

|1g(x)−1M| = |M−g(x)||g(x)|·|M|

M≠0이고 g(x)→M이므로 x가 a에 충분히 가까우면 g(x)도 0에서 멀리 떨어진 값(예를 들어 |M|2보다 큰 절댓값)을 가지며, 이때 분모 |g(x)|·|M|은 아래로 유계인 양수이고 분자 |M−g(x)|→0이므로 전체 분수가 0에 수렴합니다. 따라서 1g(x)→1M이고, ⑶에 의해

limx→a f(x)g(x) = LM (M≠0)

사용 : 629번(극한의 정의)

증명 끝

633정리극한값의 대소 관계a 근처(x≠a)에서 f(x)≤g(x)이고 두 극한이 존재하면 lim f(x) ≤ lim g(x)

증명법 : 귀류법

a를 포함하는 어떤 열린구간에서 x≠a인 모든 x에 대해 f(x)≤g(x)이고, limx→a f(x)=L, limx→a g(x)=M이 모두 존재한다고 합시다. L>M이라고 가정하고 모순을 이끌어 냅니다.

ε := L−M2 > 0이라 하면, 629번의 정의에 의해 x가 a에 충분히 가까울 때 f(x)는 L−ε = L+M2보다 큰 값을 가지고(L에서 ε 이내로 가까워지므로), 동시에 g(x)는 M+ε = L+M2보다 작은 값을 가집니다(M에서 ε 이내로 가까워지므로). a에 충분히 가까우면서 x≠a인 x를 하나 골라 이 두 조건을 동시에 만족시키면(둘 다 «a 근처»에서 성립하는 조건이므로 겹치는 x가 존재합니다)

f(x) > L+M2 > g(x)

즉 f(x)>g(x)가 되어 가정(f(x)≤g(x))에 모순됩니다. 따라서 L>M이라는 가정은 틀렸고, L≤M입니다.

사용 : 629번(극한의 정의)

증명 끝

634정리조임정리(스퀴즈 정리)a 근처(x≠a)에서 g(x)≤f(x)≤h(x)이고 lim g=lim h=L이면 lim f=L

증명법 : 직접증명법(부등식 이용)

a를 포함하는 어떤 열린구간에서 x≠a인 모든 x에 대해 g(x)≤f(x)≤h(x)이고, limx→a g(x) = limx→a h(x) = L이라 합시다. 부등식에서 g(x)를 모든 변에서 빼면

0 ≤ f(x)−g(x) ≤ h(x)−g(x)

입니다(f(x)≥g(x)이므로 왼쪽 부등식은 자명하고, f(x)≤h(x)이므로 오른쪽 부등식도 양변에서 g(x)를 뺀 것입니다). 632번(차의 극한)에 의해 h(x)−g(x) → L−L = 0이고, 0과 h(x)−g(x) 사이에 낀 f(x)−g(x)도 |f(x)−g(x)−0| = f(x)−g(x) ≤ h(x)−g(x) → 0이므로 629번의 정의에 의해 f(x)−g(x) → 0입니다. 따라서 632번(합의 극한)에 의해

f(x) = (f(x)−g(x)) + g(x) → 0 + L = L

이므로 limx→a f(x) = L입니다.

g(x)≤f(x)≤h(x)이고 g, h가 모두 a에서 L로 수렴하면, 가운데 낀 f도 L로 수렴

사용 : 629번(극한의 정의) · 632번 (극한의 성질)

증명 끝

635정리사인의 극한limθ→0 sinθθ = 1

증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법(넓이 비교와 조임정리)

⑴ 0<θ<π2인 경우 : 반지름 1인 단위원 위에서, 중심 O, 점 A(1,0), 단위원 위의 점 P(cosθ,sinθ)를 잡고, 점 A에서 그은 접선(직선 x=1)과 반직선 OP의 연장선이 만나는 점을 T(1,tanθ)라 합시다. 세 도형 △OAP, 부채꼴 OAP, △OAT는 이 순서로 서로를 포함하므로(△OAP⊂부채꼴 OAP⊂△OAT), 넓이도 그 순서로 커집니다.

(△OAP의 넓이) < (부채꼴 OAP의 넓이) < (△OAT의 넓이)

△OAP는 두 변 OA, OP(둘 다 길이 1)가 이루는 낀각이 θ인 삼각형이므로 넓이는 12·1·1·sinθ = 12sinθ(3.4의 184a번, 두 변과 낀각의 넓이). 부채꼴 OAP는 반지름 1, 중심각 θ(라디안)인 부채꼴이므로 넓이는 12·1²·θ = 12θ(3.20의 275번). △OAT는 ∠OAT = π2인 직각삼각형(접선 AT⊥반지름 OA)이고 밑변 OA=1, 높이 AT = tanθ(정의에 의해 tanθ = ATOA)이므로 넓이는 12·1·tanθ = 12tanθ입니다. 이를 대입하면

12sinθ < 12θ < 12tanθ

양변에 2를 곱하면 sinθ<θ<tanθ이고, 0<θ<π2에서 sinθ>0이므로 세 변을 모두 sinθ로 나누면(양수로 나누므로 부등식의 방향은 유지됩니다)

1 < θsinθ < tanθsinθ = 1cosθ

세 값 모두 양수이므로 역수를 취하면(부등식의 방향이 뒤집힙니다)

cosθ < sinθθ < 1   (0<θ<π2)

⑵ θ→0+일 때 cosθ→1임을 보입니다 : ⑴의 부등식 sinφ<φ(0<φ<π2)를 φ=θ2에 적용하면 0<sinθ2<θ2이고, 반각공식 (4.12의 470번, sin²θ2 = 1−cosθ2)에 의해

0 ≤ 1−cosθ = 2sin²θ2 < 2·( θ2 )² = θ²2

θ²2→0(θ→0)이므로 634번(조임정리)에 의해 1−cosθ→0, 즉 cosθ→1입니다.

⑶ θ→0+에서 결론 : ⑴의 부등식 cosθ<sinθθ<1과 ⑵의 cosθ→1을 634번(조임정리)에 적용하면

limθ→0+ sinθθ = 1

⑷ θ→0−인 경우 : φ:=−θ>0으로 치환하면 θ→0−일 때 φ→0+이고, 사인이 기함수(4.6의 432번, sin(−φ)=−sinφ)이므로

sinθθ = sin(−φ)−φ = −sinφ−φ = sinφφ → 1 (φ→0+, ⑶에 의해)

이므로 좌극한도 1입니다. 631번(좌우극한의 일치)에 의해

limθ→0 sinθθ = 1

단위원에서 △OAP ⊂ 부채꼴 OAP ⊂ △OAT — 세 넓이의 크기 비교로부터 sinθ<θ<tanθ를 얻음

대학 위 증명에서 쓴 부채꼴의 넓이 공식과 라디안(호도법)은 3.19·3.20에서 이미 확립된 것을 그대로 가져다 쓴 것이며, 3.19 f262·f263 자체는(원주·원의 넓이를 내접 다각형의 극한으로 정의하면서) 바로 이 절의 극한(sinθ/θ→1)을 미리 선행 인용해 두었습니다. 즉 «원의 둘레·넓이·부채꼴»과 «sinθ/θ→1»은 고전적인 원·라디안 이론에서 서로 맞물려 함께 정립되는 하나의 이론 묶음이며, 어느 한쪽을 다른 쪽 없이 완전히 독립적으로 먼저 증명하는 것은 아닙니다. 순환 없이 처음부터 엄밀하게 구성하려면(호의 길이·부채꼴의 넓이를 극한으로 정의하는 대신) sin·cos를 거듭제곱급수로 정의하는 대학 해석학적 접근이 필요하며, 이는 수능 범위를 크게 넘어섭니다. 수능 준비에는 위 논증(도형적 조임)과 결론 sinθ/θ→1을 사실로 받아들이는 것으로 충분합니다.

사용 : 3.4의 184a번(두 변과 낀각의 넓이) · 3.20의 275번(부채꼴의 넓이) · 4.12의 470번(사인 반각공식) · 4.6의 432번(음각공식) · 631번 · 634번(조임정리)

증명 끝

636정리635번의 따름정리 — 관련 삼각함수 극한lim tanθ/θ=1, lim(1−cosθ)/θ=0, lim(1−cosθ)/θ²=1/2

증명법 : 직접증명법(635번의 대수적 재구성)

모두 θ→0에서의 극한이며, 635번(sinθ/θ→1)과 그 증명 중 ⑵에서 얻은 cosθ→1, 그리고 632번(극한의 사칙연산)만으로 얻어집니다.

⑴ tanθθ = sinθθ·1cosθ이므로, 632번(곱의 극한)에 의해

limθ→0 tanθθ = (limθ→0sinθθ)·(limθ→01cosθ) = 1·1 = 1

⑵ 분자·분모에 (1+cosθ)를 곱하면(θ≠0에서 1+cosθ≠0이므로 가능)

1−cosθθ = (1−cosθ)(1+cosθ)θ(1+cosθ) = 1−cos²θθ(1+cosθ) = sin²θθ(1+cosθ) = sinθθ·sinθ1+cosθ

θ→0이면 sinθ→0(632번, sinθ = θ·sinθθ → 0·1 = 0)이고 1+cosθ→1+1=2이므로 sinθ1+cosθ→02=0(632번, 몫의 극한)입니다. 따라서

limθ→0 1−cosθθ = 1·0 = 0

⑶ 같은 식을 θ²로 나누면

1−cosθθ² = sin²θθ²(1+cosθ) = ( sinθθ )²·11+cosθ

이므로 632번(곱·거듭제곱의 극한)에 의해

limθ→0 1−cosθθ² = 1²·12 = 12

사용 : 635번(sinθ/θ→1과 cosθ→1) · 632번(극한의 성질)

증명 끝

637정의무한대에서의 극한과 발산limx→∞ f(x) = L, limx→a f(x) = ∞

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 629번의 정의를 두 방향으로 확장합니다.

⑴ x→±∞일 때의 극한 : x가 한없이 커질(x→∞) 때 f(x)의 값이 일정한 실수 L에 한없이 가까워지면

limx→∞ f(x) = L

로 나타내고(x가 한없이 작아질 때는 x→−∞), 이때 직선 y=L을 f의 그래프의 수평점근선(horizontal asymptote)이라 합니다.

⑵ 극한이 무한대로 발산하는 경우 : x가 a에 한없이 가까워질 때(629번과 같은 방식) f(x)의 값이 어떤 실수에도 가까워지지 않고 한없이 커지기만 하면, f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 하고

limx→a f(x) = ∞

로 나타냅니다(엄밀히는 «수렴하지 않는다»는 뜻에서 극한값이 존재하지 않는 경우이지만, 발산하는 양상을 기호로 나타내기 위한 관용적 표기입니다). f(x)가 한없이 작아지기만(음수 쪽으로 한없이 커지기만) 하면 limx→a f(x) = −∞로 나타내며, 이때 직선 x=a를 f의 그래프의 수직점근선(vertical asymptote)이라 합니다. x→∞, x→−∞와 결합해 limx→∞ f(x)=±∞ 등도 같은 방식으로 정의됩니다.

왼쪽 : x→∞일 때 f(x)→L(수평점근선 y=L). 오른쪽 : x→a일 때 f(x)→+∞(수직점근선 x=a)

638정의함수의 연속limx→a f(x) = f(a)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 x=a를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의되어 있다고 합시다. 극한의 정의(629번)를 이용해 다음 세 조건

① f(a)가 정의되어 있다.  ② limx→a f(x)가 존재한다.   ③ limx→a f(x) = f(a)이다.

를 모두 만족하면(③은 실질적으로 ①·②을 이미 전제하므로, 흔히 «limx→a f(x) = f(a)» 한 줄로 세 조건을 대신 씁니다) f는 x=a에서 연속(continuous)이라 합니다. 이 세 조건 중 하나라도 성립하지 않으면(f(a)가 정의되지 않거나, 극한이 존재하지 않거나, 존재하더라도 f(a)와 다르면) f는 x=a에서 불연속(discontinuous)이라 합니다. f가 어떤 구간의 모든 점에서 연속이면 f는 그 구간에서 연속이라 하고, 정의역 전체에서 연속이면 간단히 연속함수(continuous function)라 합니다.

왼쪽 : x=a에서 극한과 함숫값이 일치해 연속. 오른쪽 : 좌우극한부터 다르므로 극한 자체가 없어 불연속

639정리연속함수의 성질f, g가 x=a에서 연속이면 f±g, cf, fg, f/g(g(a)≠0), g∘f도 연속

증명법 : 직접증명법(632번·638번의 직접 적용)

f, g가 x=a에서 연속이라 합시다(638번, 즉 limx→a f(x)=f(a), limx→a g(x)=g(a)).

⑴ 사칙연산 : 632번(극한의 성질)을 그대로 적용하면

limx→a (f(x)±g(x)) = f(a)±g(a)	632번⑴ + 638번(f(a), g(a)가 각각 극한값과 일치)
limx→a cf(x) = cf(a)	632번⑵
limx→a f(x)g(x) = f(a)g(a)	632번⑶
limx→a f(x)g(x) = f(a)g(a) (g(a)≠0)	632번⑷

이며, 각 줄의 우변이 바로 (f±g)(a), (cf)(a), (fg)(a), (f/g)(a)이므로, 638번의 정의에 의해 f±g, cf, fg, f/g(g(a)≠0인 곳에서)는 모두 x=a에서 연속입니다.

⑵ 합성함수 : f가 x=a에서 연속이고 g가 x=f(a)에서 연속이라 합시다. x→a이면(f의 연속성에 의해) f(x)→f(a)이고, y:=f(x)로 놓으면 y→f(a)일 때(g의 연속성에 의해) g(y)→g(f(a))입니다. 즉 x가 a에 한없이 가까워지면 f(x)가 f(a)에 한없이 가까워지고, 이어서 g(f(x))가 g(f(a))에 한없이 가까워지므로

limx→a g(f(x)) = g(f(a))

이고(625번의 합성함수 표기로 (g∘f)(x)), 638번에 의해 g∘f는 x=a에서 연속입니다.

대학 ⑵의 «x→a이면 f(x)→f(a)이고, 이어서 g(f(x))→g(f(a))»라는 연쇄적 서술은 직관적으로 명백하지만, y=f(x)가 실제로 f(a) 주변의 «모든» 값을 취하지 않을 수도 있다는 점까지 포함해 완전히 엄밀하게 다루려면 ε−δ 논법으로 두 단계(f의 연속성이 주는 δ₁, g의 연속성이 주는 δ₂)를 순서대로 이어 붙이는 구성이 필요합니다. 대학 미적분학(해석학)의 표준적인 내용입니다.

사용 : 632번(극한의 성질) · 638번 (연속의 정의) · 8.1의 625번(합성함수)

증명 끝

640정리사잇값의 정리(중간값 정리)f가 [a,b]에서 연속이고 f(a)≠f(b)이면, f(a)와 f(b) 사이의 모든 k에 대해 f(c)=k인 c∈(a,b)가 존재

증명법 : 존재할 수밖에 없다는 것을 보임

함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속(638번)이고 f(a)<f(b)라 합시다(f(a)>f(b)인 경우는 −f에 적용하면 같은 논증이 성립합니다). f(a)<k<f(b)인 임의의 실수 k를 생각합니다. f는 정의역 전체에서 연속인 함수이므로 그 그래프는 [a,b] 위에서 끊어지지 않고 이어져 있습니다 — f(a)<k인 점 (a,f(a))에서 출발해 f(b)>k인 점 (b,f(b))까지 끊김 없이 이어지는 곡선은, 그 사이에서 높이 y=k인 수평선을 적어도 한 번은 지나야 하며, 그 교점의 x좌표가 c입니다. 즉 f(c)=k인 c∈(a,b)가 (적어도 하나) 존재합니다.

f가 [a,b]에서 연속이고 f(a)<0<f(b)이면, 그래프가 x축을 적어도 한 번은 가로지르므로 f(c)=0인 c가 존재

대학 위 논증(«끊어지지 않은 곡선은 반드시 수평선을 지난다»)은 직관적으로 명백해 보이지만, 실수의 완비성 공리(completeness axiom — 유계인 실수 집합은 반드시 상한(최소상계)을 가진다는 성질)에 의존하는 진짜 존재성 증명입니다. 표준적인 증명은 S={x∈[a,b] : f(x)<k}의 상한 c=sup S를 취하고, f의 연속성과 완비성을 이용해 f(c)=k임을 보이는 방식으로 진행됩니다. 유리수만으로는(완비성이 없으므로) 이 정리가 실패할 수 있다는 점이 완비성이 핵심적으로 쓰이는 이유입니다. 대학 미적분학(해석학)의 내용이며, 수능 준비생은 «연속함수의 그래프는 끊어지지 않는다»는 직관과 결론(방정식의 실근의 존재성 판정에 활용)만 알면 충분합니다.

사용 : 638번(연속의 정의)

증명 끝

641정리최대·최소 정리f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면, f는 [a,b]에서 최댓값과 최솟값을 (적어도 하나씩) 가진다

증명법 : 존재할 수밖에 없다는 것을 보임

함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속(638번)이라 합시다. f의 그래프는 [a,b] 위에서 끊어지지 않고 이어져 있고, 정의역이 양 끝을 포함하는 유한한 닫힌구간이므로(열린구간이거나 무한히 뻗어 있으면 그래프가 끝없이 치솟거나 끝점에 다가가기만 할 뿐 실제로 그 값에 도달하지 못할 수 있습니다), 그래프는 어딘가에서 가장 높은 점과 가장 낮은 점을 반드시 지나게 됩니다. 즉 f(c)≥f(x)(모든 x∈[a,b])인 c∈[a,b]와, f(d)≤f(x)(모든 x∈[a,b])인 d∈[a,b]가 각각 (적어도 하나씩) 존재합니다 — f(c)가 최댓값, f(d)가 최솟값입니다.

대학 이 정리도 640번(사잇값의 정리)과 마찬가지로 실수의 완비성에 의존하는 진짜 존재성 정리입니다. 표준적인 증명은 (ⅰ) [a,b]에서 연속인 함수는 유계임을 먼저 보이고(볼차노−바이어슈트라스 정리 또는 하이네−보렐 정리를 이용한 컴팩트성 논증), (ⅱ) 치역의 상한 M=sup f([a,b])이 실제로 어떤 c∈[a,b]에서 f(c)=M으로 «도달»됨을 보이는 두 단계로 진행됩니다. 조건 중 하나라도 빠지면(예 : 열린구간이거나, 정의역이 무한하거나, 함수가 불연속이면) 최댓값·최솟값이 존재하지 않을 수 있습니다(예 : f(x)=1x는 (0,1]에서 연속이지만 최댓값이 없습니다 — x→0+일 때 발산). 대학 미적분학(해석학)의 내용이며, 수능 준비생은 «닫힌구간에서 연속이면 최댓값·최솟값이 반드시 존재한다»는 결론(도함수를 이용한 최대·최소 문제, 8.6에서 활용)만 알면 충분합니다.

사용 : 638번(연속의 정의)

증명 끝