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8.2   수능 핵심

함수의 극한

Limits of Functions

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 함수의 극한(629–634번)을 엄밀하게 정리하고, 그 대표적인 응용으로 삼각함수의 핵심 극한 sinθ/θ→1(635–636번)을 증명합니다. 이 극한은 3.30(원기둥)·3.32(원뿔)·3.35(구관) 등 여러 절에서 이미 «나중에 증명할 것»으로 선행 인용해 두었던 사실이며, 이 절에서 그 선행 인용을 모두 해소합니다. 이어서 무한대에서의 극한(637번)과 함수의 연속(638–641번)까지 정리하여, 8.3(도함수의 정의)에서 곧바로 사용할 수 있는 극한·연속의 기초를 완성합니다.

629정의함수의 극한(수렴)limx→a f(x) = L

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 a를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의되어 있다고 합시다(단, x=a에서는 f가 정의되어 있지 않아도 무방합니다 — 즉 a 자신은 정의역에서 빠져 있어도 됩니다).

읽는 법. «x가 a와 같지 않으면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 어떤 일정한 실수 L에 한없이 가까워진다»는 것이 극한의 뜻입니다. 이 말을 정확하게 하면 «L에 얼마나 가까이(오차 ε 이내)를 요구하든, x를 a에 충분히 가깝게(거리 δ 이내로, 단 x≠a) 잡기만 하면 f(x)는 그 요구를 만족한다»가 됩니다. 이것을 정의로 씁니다.

정의. 임의의 양수 ε에 대하여 적당한 양수 δ가 있어서,

0 < |x−a| < δ인 모든 x에서  |f(x)−L| < ε

가 성립하면, f(x)는 x=a에서 L에 수렴한다(converge)고 하고,

limx→a f(x) = L

로 나타냅니다. 이때 L을 x=a에서의 f(x)의 극한값(limit)이라 합니다. δ는 ε에 따라 달라져도 됩니다(ε를 작게 요구하면 δ도 작게 잡아야 할 수 있습니다). 조건 0<|x−a|는 x≠a라는 뜻이므로, 극한값은 f(a)의 값 (정의되어 있는지, 정의되어 있다면 얼마인지)과 무관합니다 — 오직 a 근처(단, a 자신은 제외)에서 f(x)가 어디로 다가가는지만 따집니다.

L을 중심으로 폭 2ε인 띠 안에 f(x)가 들어오도록, a를 중심으로 폭 2δ인 구간을 잡을 수 있음 — δ는 ε에 따라 정해짐

두 조건을 함께 쓰는 요령. «0<|x−a|<δ₁이면 …»과 «0<|x−a|<δ₂이면 …»이라는 두 조건은 δ:=min(δ₁, δ₂)(둘 중 작은 수)로 두면 0<|x−a|<δ인 모든 x에서 동시에 성립합니다. 조건이 셋 이상이어도 같습니다. 또 δ를 더 작게 줄여도 조건은 그대로 성립하므로, 필요하면 0<|x−a|<δ인 x가 모두 f가 정의된 열린구간 안에 들도록 δ를 잡을 수 있습니다. 아래 631~634번의 증명은 이 정의와 이 요령만 씁니다.

극한값은 하나뿐이다(유일성). L과 L′이 둘 다 위 정의를 만족하고 L≠L′이라 해 봅시다. ε:=|L−L′|/2>0으로 잡으면 δ₁, δ₂가 있어 0<|x−a|<δ₁이면 |f(x)−L|<ε, 0<|x−a|<δ₂이면 |f(x)−L′|<ε입니다. δ:=min(δ₁, δ₂)로 두고(f가 정의된 구간 안으로 줄여 잡고) x:=a+δ/2를 넣으면, 2.7의 146번(삼각부등식)에 의해

|L−L′| ≤ |L−f(x)| + |f(x)−L′| < ε + ε = |L−L′|

이 되어 모순입니다. 따라서 L=L′이고, 극한값은 (존재한다면) 하나뿐이므로 «극한값 L»이라고 부를 수 있습니다.

630정의좌극한과 우극한limx→a− f(x), limx→a+ f(x)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 629번의 정의에서 x가 a에 가까워지는 방향을 한쪽으로 제한한 것이 좌극한·우극한입니다. 읽는 법은 «x가 a보다 작으면서(x<a) a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 L에 한없이 가까워진다»이고, 정확한 정의는 다음과 같습니다. 임의의 양수 ε에 대하여 적당한 양수 δ가 있어서 a−δ<x<a인 모든 x에서 |f(x)−L|<ε이면, L을 x=a에서의 f(x)의 좌극한(left−hand limit)이라 하고,

limx→a− f(x) = L

로 나타냅니다(x→a−로 표기). 마찬가지로 임의의 양수 ε에 대하여 적당한 양수 δ가 있어서 a<x<a+δ인 모든 x에서 |f(x)−M|<ε이면, M을 우극한(right−hand limit)이라 하고,

limx→a+ f(x) = M

로 나타냅니다(x→a+). 좌극한·우극한은 각각 a보다 작은 쪽, 큰 쪽에서만 x를 움직이므로, f가 a의 한쪽에서만(예 : [a,b) 또는 (b,a]에서만) 정의되어 있어도 그 방향의 극한은 정의될 수 있습니다. 629번의 유일성과 같은 방법(조건 0<|x−a|<δ를 한쪽 구간으로 바꿈)으로 좌극한·우극한도 하나뿐입니다.

왼쪽 : x=a에서 그래프가 끊어져 좌극한과 우극한이 서로 다름(극한이 존재하지 않음). 오른쪽 : 좌극한=우극한=L이면 f(a)의 정의 여부와 무관하게 극한이 존재

631정리극한의 존재성과 좌우극한의 일치limx→a f(x)가 존재 ⇔ limx→a−f(x)와 limx→a+f(x)가 모두 존재하고 같음

증명법 : 두 개의 조건문이 성립함을 증명

함수 f(x)의 x=a에서의 극한이 존재하는 것과, 좌극한·우극한이 모두 존재하며 그 값이 서로 같은 것이 필요충분조건임을 보입니다.

(⇒) limx→a f(x) = L이라 하고 양수 ε를 하나 잡습니다. 629번에 의해 δ가 있어 0<|x−a|<δ인 모든 x에서 |f(x)−L|<ε입니다. 그런데 a−δ<x<a인 x와 a<x<a+δ인 x는 모두 0<|x−a|<δ를 만족하므로, 같은 δ로 630번의 두 조건이 모두 성립합니다. ε는 임의였으므로 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 각각 L입니다.

(⇐) 역으로 limx→a− f(x) = limx→a+ f(x) = L(공통값)이라 하고 양수 ε를 하나 잡습니다. 630번에 의해 δ₁, δ₂가 있어 a−δ₁<x<a이면 |f(x)−L|<ε, a<x<a+δ₂이면 |f(x)−L|<ε입니다. δ:=min(δ₁, δ₂)로 두고 0<|x−a|<δ인 x를 잡으면, x<a일 때는 a−δ₁ ≤ a−δ < x < a이고 x>a일 때는 a < x < a+δ ≤ a+δ₂이므로 어느 경우든 |f(x)−L|<ε입니다. 따라서 629번의 정의에 의해 limx→a f(x) = L입니다.

이므로 두 조건은 서로 동치입니다.

사용 : 629번(극한의 정의) · 630번 (좌극한·우극한의 정의)

증명 끝

632정리극한의 성질(사칙연산)lim(f±g)=L±M, lim(cf)=cL, lim(fg)=LM, lim(f/g)=L/M (M≠0)

증명법 : 직접증명법(극한의 정의와 절댓값 부등식 이용)

두 함수 f, g가 x=a에서 각각 limx→a f(x) = L, limx→a g(x) = M으로 수렴한다고 하고(629번), 양수 ε를 하나 잡습니다. 각 경우에 629번의 정의를 만족하는 δ를 찾으면 됩니다.

⑴ 합 : 629번에 의해 δ₁, δ₂가 있어 0<|x−a|<δ₁이면 |f(x)−L|<ε2, 0<|x−a|<δ₂이면 |g(x)−M|<ε2입니다. δ:=min(δ₁, δ₂)로 두면 0<|x−a|<δ인 모든 x에서

|(f(x)+g(x))−(L+M)| ≤ |f(x)−L| + |g(x)−M| < ε2 + ε2 = ε

입니다(첫 부등호는 2.7의 146번(삼각부등식)). 따라서 limx→a (f(x)+g(x)) = L+M입니다. 차는 ⑵ 뒤에서 보입니다.

⑵ 상수배 : c=0이면 cf(x)=0=cL이므로 자명합니다. c≠0이면 629번에 의해 δ가 있어 0<|x−a|<δ이면 |f(x)−L|<ε|c|이고, 이때 |cf(x)−cL| = |c|·|f(x)−L| < ε입니다. 따라서

limx→a cf(x) = cL

입니다. ⑵는 ⑴을 쓰지 않으므로, 이제 ⑴에서 g 대신 (−1)g(⑵에 의해 −M에 수렴)를 넣으면 limx→a(f(x)−g(x)) = L−M도 얻습니다.

⑶ 곱 : 먼저 a 근처에서 f가 유계임을 보입니다. 629번을 ε=1에 적용하면 δ₀이 있어 0<|x−a|<δ₀이면 |f(x)−L|<1이고, 삼각부등식에 의해

|f(x)| ≤ |f(x)−L| + |L| < |L|+1   (0<|x−a|<δ₀)

입니다. 다음으로 항등식 f(x)g(x)−LM = f(x)(g(x)−M) + M(f(x)−L)(우변을 전개하면 좌변)을 씁니다. 629번에 의해 δ₁, δ₂가 있어 0<|x−a|<δ₁이면 |g(x)−M|<ε2(|L|+1), 0<|x−a|<δ₂이면 |f(x)−L|<ε2(|M|+1)입니다. δ:=min(δ₀, δ₁, δ₂)로 두면 0<|x−a|<δ에서

|f(x)g(x)−LM| ≤ |f(x)|·|g(x)−M| + |M|·|f(x)−L| < (|L|+1)·ε2(|L|+1) + |M|·ε2(|M|+1) < ε2 + ε2 = ε

(|M|/(|M|+1)<1을 씀)이므로

limx→a f(x)g(x) = LM

⑷ 몫 : M≠0이라 합니다. 먼저 a 근처에서 g(x)가 0에서 떨어져 있음을 보입니다. 629번을 ε=|M|2에 적용하면 δ₀이 있어 0<|x−a|<δ₀이면 |g(x)−M|<|M|2이고, 삼각부등식 |M| ≤ |M−g(x)| + |g(x)|에서 |g(x)| > |M| − |M|2 = |M|2 > 0입니다. 따라서 a 근처에서 g(x)≠0이어서 f(x)g(x)가 정의됩니다. 이제 629번에 의해 δ₁이 있어 0<|x−a|<δ₁이면 |g(x)−M|<M²ε2입니다. δ:=min(δ₀, δ₁)로 두면 0<|x−a|<δ에서

|1g(x)−1M| = |M−g(x)||g(x)|·|M| < M²ε/2(|M|/2)·|M| = ε

이므로 1g(x)→1M입니다. f(x)g(x) = f(x)·1g(x)에 ⑶을 적용하면

limx→a f(x)g(x) = LM (M≠0)

사용 : 629번(극한의 정의) · 2.7의 146번(삼각부등식)

증명 끝

633정리극한값의 대소 관계a 근처(x≠a)에서 f(x)≤g(x)이고 두 극한이 존재하면 lim f(x) ≤ lim g(x)

증명법 : 귀류법

어떤 양수 δ₀이 있어 0<|x−a|<δ₀인 모든 x에서 f(x)≤g(x)이고, limx→a f(x)=L, limx→a g(x)=M이 모두 존재한다고 합시다. L>M이라고 가정하고 모순을 이끌어 냅니다.

ε := L−M2 > 0으로 잡으면, 629번에 의해 δ₁, δ₂가 있어 0<|x−a|<δ₁이면 |f(x)−L|<ε, 곧 f(x) > L−ε = L+M2이고, 0<|x−a|<δ₂이면 |g(x)−M|<ε, 곧 g(x) < M+ε = L+M2입니다. δ:=min(δ₀, δ₁, δ₂)로 두고 x:=a+δ/2를 넣으면 세 조건이 모두 성립하므로

f(x) > L+M2 > g(x)

즉 f(x)>g(x)가 되어 가정(f(x)≤g(x))에 모순됩니다. 따라서 L>M이라는 가정은 틀렸고, L≤M입니다.

사용 : 629번(극한의 정의)

증명 끝

634정리조임정리(스퀴즈 정리)a 근처(x≠a)에서 g(x)≤f(x)≤h(x)이고 lim g=lim h=L이면 lim f=L

증명법 : 직접증명법(부등식 이용)

어떤 양수 δ₀이 있어 0<|x−a|<δ₀인 모든 x에서 g(x)≤f(x)≤h(x)이고, limx→a g(x) = limx→a h(x) = L이라 하고, 양수 ε를 하나 잡습니다. 629번에 의해 δ₁, δ₂가 있어 0<|x−a|<δ₁이면 |g(x)−L|<ε, 0<|x−a|<δ₂이면 |h(x)−L|<ε입니다. δ:=min(δ₀, δ₁, δ₂)로 두면 0<|x−a|<δ인 모든 x에서

L−ε < g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) < L+ε

이므로 |f(x)−L|<ε입니다. ε는 임의였으므로 629번의 정의에 의해 limx→a f(x) = L입니다.

g(x)≤f(x)≤h(x)이고 g, h가 모두 a에서 L로 수렴하면, 가운데 낀 f도 L로 수렴

한쪽 극한에서도 같은 성질. 629번의 유일성과 632~634번은 좌극한·우극한(630번)에서도 그대로 성립합니다. 그 증명에서 조건 «0<|x−a|<δ»를 «a<x<a+δ»(우극한) 또는 «a−δ<x<a»(좌극한)로, «x:=a+δ/2»를 좌극한에서는 «x:=a−δ/2»로 바꾸기만 하면 됩니다(δ:=min(δ₁, δ₂, …)으로 두 조건을 함께 쓰는 요령도 그대로입니다). 또 631번 (⇒)에 의해, 양쪽 극한이 L이면 좌극한·우극한도 L입니다.

사용 : 629번(극한의 정의)

증명 끝

635정리사인의 극한limθ→0 sinθθ = 1

증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법(넓이 비교와 조임정리)

⑴ 0<θ<π2인 경우 : 반지름 1인 단위원 위에서, 중심 O, 점 A(1,0), 단위원 위의 점 P(cosθ,sinθ)를 잡고, 점 A에서 그은 접선(직선 x=1)과 반직선 OP의 연장선이 만나는 점을 T(1,tanθ)라 합시다. 세 도형 △OAP, 부채꼴 OAP, △OAT는 이 순서로 서로를 포함하므로(△OAP⊂부채꼴 OAP⊂△OAT), 넓이도 그 순서로 커집니다.

(△OAP의 넓이) < (부채꼴 OAP의 넓이) < (△OAT의 넓이)

△OAP는 두 변 OA, OP(둘 다 길이 1)가 이루는 낀각이 θ인 삼각형이므로 넓이는 12·1·1·sinθ = 12sinθ(3.4의 184a번, 두 변과 낀각의 넓이). 부채꼴 OAP는 반지름 1, 중심각 θ(라디안)인 부채꼴이므로 넓이는 12·1²·θ = 12θ(3.20의 275번). △OAT는 ∠OAT = π2인 직각삼각형(접선 AT⊥반지름 OA)이고 밑변 OA=1, 높이 AT = tanθ(정의에 의해 tanθ = ATOA)이므로 넓이는 12·1·tanθ = 12tanθ입니다. 이를 대입하면

12sinθ < 12θ < 12tanθ

양변에 2를 곱하면 sinθ<θ<tanθ이고, 0<θ<π2에서 sinθ>0이므로 세 변을 모두 sinθ로 나누면(양수로 나누므로 부등식의 방향은 유지됩니다)

1 < θsinθ < tanθsinθ = 1cosθ

세 값 모두 양수이므로 역수를 취하면(부등식의 방향이 뒤집힙니다)

cosθ < sinθθ < 1   (0<θ<π2)

⑵ θ→0일 때 cosθ→1임을 보입니다(양쪽 모두) : 0<|θ|<π2라 합시다. ⑴의 부등식 sinφ<φ(0<φ<π2)를 φ=|θ|2에 적용하면 0<sin|θ|2<|θ|2입니다. 또 반각공식 (4.12의 470번, sin²θ2 = 1−cosθ2)과, 사인이 기함수(4.6의 432번)여서 sin²θ2 = sin²|θ|2(θ의 부호와 무관)이라는 사실에 의해

0 ≤ 1−cosθ = 2sin²|θ|2 < 2·( |θ|2 )² = θ²2   (0<|θ|<π2)

입니다. 이제 양수 ε가 주어지면 δ:=min(π2, 2ε)로 둡니다. 0<|θ|<δ이면 θ²<2ε이므로 |cosθ−1| = 1−cosθ < θ²2 < ε입니다. 따라서 629번의 정의에 의해 limθ→0 cosθ = 1입니다.

⑶ θ→0+에서 결론 : ⑴의 부등식 cosθ<sinθθ<1(0<θ<π2)과 ⑵의 cosθ→1(631번 (⇒)에 의해 θ→0+에서도 성립)을 634번(조임정리, 우극한에서도 성립 — 634번 끝)에 적용하면

limθ→0+ sinθθ = 1

⑷ θ→0−인 경우 : φ:=−θ>0으로 치환하면 θ→0−일 때 φ→0+이고, 사인이 기함수(4.6의 432번, sin(−φ)=−sinφ)이므로

sinθθ = sin(−φ)−φ = −sinφ−φ = sinφφ → 1 (φ→0+, ⑶에 의해)

이므로 좌극한도 1입니다. 631번(좌우극한의 일치)에 의해

limθ→0 sinθθ = 1

단위원에서 △OAP ⊂ 부채꼴 OAP ⊂ △OAT — 세 넓이의 크기 비교로부터 sinθ<θ<tanθ를 얻음

대학 위 증명에서 쓴 부채꼴의 넓이 공식과 라디안(호도법)은 3.19·3.20에서 이미 확립된 것을 가져다 쓴 것입니다. 3.19의 262·263번(원의 둘레·넓이)은 이 절의 극한(sinθ/θ→1)을 쓰지 않고, 닮음과 «내접 정다각형의 둘레·넓이가 원의 둘레·넓이에 다가간다»는 받아들이는 사실만으로 세우므로 순환은 없습니다. 그 받아들이는 사실(곡선의 길이·넓이를 극한으로 정하는 일)과 3.20의 «호·부채꼴은 중심각에 비례»를 처음부터 세우려면 sin·cos를 거듭제곱급수로 정의하는 등의 대학 해석학이 필요합니다. 그 사실들을 받아들인 위에서 위 증명은 빈틈이 없습니다.

사용 : 3.4의 184a번(두 변과 낀각의 넓이) · 3.20의 275번(부채꼴의 넓이) · 4.12의 470번(사인 반각공식) · 4.6의 432번(음각공식) · 631번 · 634번(조임정리)

증명 끝

636정리635번의 따름정리 — 관련 삼각함수 극한lim tanθ/θ=1, lim(1−cosθ)/θ=0, lim(1−cosθ)/θ²=12

증명법 : 직접증명법(635번의 대수적 재구성)

모두 θ→0에서의 극한이며, 635번(sinθ/θ→1)과 그 증명 ⑵에서 얻은 limθ→0cosθ=1(양쪽 극한), 그리고 632번(극한의 사칙연산)만으로 얻어집니다.

⑴ tanθθ = sinθθ·1cosθ이므로, 632번(곱의 극한)에 의해

limθ→0 tanθθ = (limθ→0sinθθ)·(limθ→01cosθ) = 1·1 = 1

⑵ 분자·분모에 (1+cosθ)를 곱하면(0<|θ|<π에서 cosθ>−1, 곧 1+cosθ>0이므로 가능)

1−cosθθ = (1−cosθ)(1+cosθ)θ(1+cosθ) = 1−cos²θθ(1+cosθ) = sin²θθ(1+cosθ) = sinθθ·sinθ1+cosθ

θ→0이면 sinθ→0(632번, sinθ = θ·sinθθ → 0·1 = 0)이고 1+cosθ→1+1=2이므로 sinθ1+cosθ→02=0(632번, 몫의 극한)입니다. 따라서

limθ→0 1−cosθθ = 1·0 = 0

⑶ 같은 식을 θ²로 나누면

1−cosθθ² = sin²θθ²(1+cosθ) = ( sinθθ )²·11+cosθ

이므로 632번(곱·거듭제곱의 극한)에 의해

limθ→0 1−cosθθ² = 1²·12 = 12

사용 : 635번(sinθ/θ→1과 cosθ→1) · 632번(극한의 성질)

증명 끝

637정의무한대에서의 극한과 발산limx→∞ f(x) = L, limx→a f(x) = ∞

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 629번의 정의를 두 방향으로 확장합니다.

⑴ x→±∞일 때의 극한 : f가 어떤 구간 (c, ∞)에서 정의되어 있다고 합시다. 읽는 법은 «x가 한없이 커질 때 f(x)의 값이 일정한 실수 L에 한없이 가까워진다»이고, 정확한 정의는 다음과 같습니다. 임의의 양수 ε에 대하여 적당한 실수 M이 있어서 x>M인 모든 x에서 |f(x)−L|<ε이면

limx→∞ f(x) = L

로 나타냅니다. x→−∞(구간 (−∞, c)에서 정의된 f)는 조건 «x>M»을 «x<M»으로 바꾸어 같은 방식으로 정의합니다. 이때 직선 y=L을 f의 그래프의 수평점근선(horizontal asymptote)이라 합니다.

⑵ 극한이 무한대로 발산하는 경우 : f가 a를 포함하는 어떤 열린구간에서(a 자신은 빠져도 됨) 정의되어 있다고 합시다. 읽는 법은 «x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)의 값이 한없이 커진다»이고, 정확한 정의는 다음과 같습니다. 임의의 실수 K에 대하여 적당한 양수 δ가 있어서 0<|x−a|<δ인 모든 x에서 f(x)>K이면, f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 하고

limx→a f(x) = ∞

로 나타냅니다. ∞는 수가 아니므로 이것은 수렴이 아니라 발산하는 모양을 나타내는 기호입니다. 조건 «f(x)>K»를 «f(x)<K»로 바꾸면 limx→a f(x) = −∞의 정의가 됩니다. 이 가운데 하나(또는 한쪽 극한 x→a±가 ±∞인 경우)가 성립하면 직선 x=a를 f의 그래프의 수직점근선(vertical asymptote)이라 합니다. 한쪽 극한은 조건 0<|x−a|<δ를 a<x<a+δ(또는 a−δ<x<a)로, x→±∞와 결합한 limx→∞ f(x)=∞ 등은 조건을 «x>M» 꼴로 바꾸어 같은 방식으로 정의합니다.

왼쪽 : x→∞일 때 f(x)→L(수평점근선 y=L). 오른쪽 : x→a일 때 f(x)→+∞(수직점근선 x=a)

x→±∞에서도 같은 성질. 629번의 유일성과 632~634번은 x→∞, x→−∞에서도 그대로 성립합니다. 그 증명에서 조건 «0<|x−a|<δ»를 «x>M»(x→−∞이면 «x<M»)으로, «δ:=min(δ₁, δ₂, …)»를 «M:=max(M₁, M₂, …)»(x→−∞이면 min)로, «x:=a+δ/2를 넣는다»를 «x:=M+1을 넣는다»(M은 f가 정의된 구간 (c, ∞)의 c보다 크게 잡음)로 바꾸면 증명이 한 줄씩 그대로 옮겨집니다. 두 조건 «x>M₁이면 …»과 «x>M₂이면 …»이 x>max(M₁, M₂)에서 함께 성립하기 때문입니다.

보기 1. limx→∞ 1x = 0. 양수 ε가 주어지면 M:=1ε로 둡니다. x>M이면 x>0이고, x>1ε의 양변에 양수 εx를 곱하면 ε>1x(2.7의 133번)이므로 |1x−0| = 1x < ε입니다.

보기 2(2.5 107번의 확인). a>1일 때 limx→0+ log_ax = −∞. 실수 K가 주어지면 δ:=a^K>0으로 둡니다. 0<x<δ인데 log_ax ≥ K라면, 지수함수가 증가하므로 (2.5의 실수 지수의 약속 ⓒ) x = a^log_ax ≥ a^K = δ가 되어 모순입니다. 따라서 0<x<δ이면 log_ax < K입니다. 0<a<1이면 지수함수가 감소하므로 같은 δ:=a^K로 0<x<δ에서 log_ax > K가 되어 극한은 +∞입니다. 2.5의 107번에서 약속한 표기가 이 정의의 뜻으로 성립합니다.

638정의함수의 연속limx→a f(x) = f(a)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 x=a를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의되어 있다고 합시다. 극한의 정의(629번)를 이용해 다음 세 조건

① f(a)가 정의되어 있다.  ② limx→a f(x)가 존재한다.   ③ limx→a f(x) = f(a)이다.

를 모두 만족하면(③은 실질적으로 ①·②을 이미 전제하므로, 흔히 «limx→a f(x) = f(a)» 한 줄로 세 조건을 대신 씁니다) f는 x=a에서 연속(continuous)이라 합니다. 이 세 조건 중 하나라도 성립하지 않으면(f(a)가 정의되지 않거나, 극한이 존재하지 않거나, 존재하더라도 f(a)와 다르면) f는 x=a에서 불연속(discontinuous)이라 합니다. 629번의 정의로 풀어 쓰면, f가 x=a에서 연속이라는 것은 «임의의 양수 ε에 대하여 적당한 양수 δ가 있어서 |x−a|<δ인 모든 x에서 |f(x)−f(a)|<ε»와 같습니다 (x=a일 때는 |f(a)−f(a)|=0<ε이므로 조건 x≠a를 뺄 수 있습니다).

f가 어떤 열린구간의 모든 점에서 연속이면 f는 그 구간에서 연속이라 하고, 정의역 전체에서 연속이면 간단히 연속함수(continuous function)라 합니다. 닫힌구간에서의 연속 : f가 [a,b](a<b)에서 정의되어 있을 때, 열린구간 (a,b)의 모든 점에서 연속이고 양 끝에서 limx→a+ f(x) = f(a), limx→b− f(x) = f(b)(630번, 구간 안쪽 방향의 한쪽 극한)이면 f는 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라 합니다.

왼쪽 : x=a에서 극한과 함숫값이 일치해 연속. 오른쪽 : 좌우극한부터 다르므로 극한 자체가 없어 불연속

639정리연속함수의 성질f, g가 x=a에서 연속이면 f±g, cf, fg, f/g(g(a)≠0), g∘f도 연속

증명법 : 직접증명법(632번·638번의 직접 적용)

f, g가 x=a에서 연속이라 합시다(638번, 즉 limx→a f(x)=f(a), limx→a g(x)=g(a)).

⑴ 사칙연산 : 632번(극한의 성질)을 그대로 적용하면

limx→a (f(x)±g(x)) = f(a)±g(a)	632번⑴ + 638번(f(a), g(a)가 각각 극한값과 일치)
limx→a cf(x) = cf(a)	632번⑵
limx→a f(x)g(x) = f(a)g(a)	632번⑶
limx→a f(x)g(x) = f(a)g(a) (g(a)≠0)	632번⑷

이며, 각 줄의 우변이 바로 (f±g)(a), (cf)(a), (fg)(a), (f/g)(a)이므로, 638번의 정의에 의해 f±g, cf, fg, f/g(g(a)≠0인 곳에서)는 모두 x=a에서 연속입니다.

⑵ 합성함수 : f가 x=a에서 연속이고 g가 y=f(a)에서 연속이라 하고, 양수 ε를 하나 잡습니다. g의 연속성(638번의 ε−δ 꼴)에 의해 양수 η가 있어서 |y−f(a)|<η인 모든 y에서 |g(y)−g(f(a))|<ε입니다(η는 g가 정의된 열린구간 안에 들도록 작게 잡습니다). 다음으로 f의 연속성을 ε 대신 η에 적용하면 양수 δ가 있어서 |x−a|<δ인 모든 x에서 |f(x)−f(a)|<η입니다. 따라서 |x−a|<δ이면 y:=f(x)가 |y−f(a)|<η를 만족하므로 g(f(x))가 정의되고 |g(f(x))−g(f(a))|<ε입니다. 즉

limx→a g(f(x)) = g(f(a))

이고(625번의 합성함수 표기로 (g∘f)(x)), 638번에 의해 g∘f는 x=a에서 연속입니다. x≠a인데 f(x)=f(a)가 되는 x가 있어도 문제없습니다 — 그때 |g(f(x))−g(f(a))|=0<ε이기 때문입니다.

사용 : 632번(극한의 성질) · 638번 (연속의 정의) · 8.1의 625번(합성함수)

증명 끝

640받아들이는 사실사잇값의 정리(중간값 정리)f가 [a,b]에서 연속이고 f(a)≠f(b)이면, f(a)와 f(b) 사이의 모든 k에 대해 f(c)=k인 c∈(a,b)가 존재

받아들이는 사실입니다. 이 정리를 증명하려면 실수의 완비성(아래 참고)이 필요하므로, 이 책에서는 증명하지 않고 받아들여 씁니다. 내용은 다음과 같습니다 — 함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속(638번)이고 f(a)≠f(b)이면, f(a)와 f(b) 사이의 모든 실수 k에 대하여 f(c)=k인 c∈(a,b)가 적어도 하나 있습니다.

그림으로 보는 뜻. f(a)<k<f(b)라 하면, 점 (a,f(a))에서 출발해 점 (b,f(b))까지 끊김 없이 이어지는 그래프는 그 사이에서 높이 y=k인 수평선을 적어도 한 번 지나야 하고, 그 교점의 x좌표가 c입니다 (f(a)>f(b)이면 −f를 생각합니다). 다만 «끊김 없이 이어진다»는 그림의 말을 정확한 증명으로 바꾸려면 아래의 완비성이 필요합니다.

f가 [a,b]에서 연속이고 f(a)<0<f(b)이면, 그래프가 x축을 적어도 한 번은 가로지르므로 f(c)=0인 c가 존재

대학 왜 완비성이 필요한가 : 실수의 완비성 공리(completeness axiom — 위로 유계인 실수 집합은 반드시 상한(최소상계)을 가진다)를 쓰면, S={x∈[a,b] : f(x)<k}의 상한 c를 잡고 f의 연속성으로 f(c)=k임을 보이는 방식으로 증명합니다. 유리수만 있는 수직선에서는 이 정리가 성립하지 않습니다 — 예를 들어 f(x)=x²−2는 1≤x≤2에서 연속이고 f(1)<0<f(2)이지만, f(c)=0인 c는 2뿐이고 이는 유리수가 아닙니다 (1.2의 30번). 그래서 이 정리는 실수만의 성질(완비성)에 기대며, 그 증명은 대학 해석학에서 다룹니다.

쓰는 것 : 638번(연속의 정의, 닫힌구간에서의 연속) · 실수의 완비성

641받아들이는 사실최대·최소 정리f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면, f는 [a,b]에서 최댓값과 최솟값을 (적어도 하나씩) 가진다

받아들이는 사실입니다. 640번과 마찬가지로 실수의 완비성이 필요하므로, 이 책에서는 증명하지 않고 받아들여 씁니다. 내용은 다음과 같습니다 — 함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속(638번)이면, f(c)≥f(x)(모든 x∈[a,b])인 c∈[a,b]와 f(d)≤f(x)(모든 x∈[a,b])인 d∈[a,b]가 각각 적어도 하나씩 있습니다. f(c)가 최댓값, f(d)가 최솟값입니다.

그림으로 보는 뜻. 정의역이 양 끝을 포함하는 유한한 닫힌구간이고 그래프가 끊어지지 않으므로, 그래프는 어딘가에서 가장 높은 점과 가장 낮은 점을 지나게 됩니다. 열린구간이거나 무한히 뻗어 있으면 그래프가 끝없이 치솟거나, 끝점에 다가가기만 할 뿐 그 값에 닿지 못할 수 있습니다.

대학 표준적인 증명은 (ⅰ) [a,b]에서 연속인 함수는 유계임을 먼저 보이고(볼차노−바이어슈트라스 정리 또는 하이네−보렐 정리를 이용한 논증), (ⅱ) 치역의 상한 M=sup f([a,b])이 실제로 어떤 c∈[a,b]에서 f(c)=M으로 «도달»됨을 보이는 두 단계로 진행되며, 두 단계 모두 실수의 완비성을 씁니다. 조건 중 하나라도 빠지면(예 : 열린구간이거나, 정의역이 무한하거나, 함수가 불연속이면) 최댓값·최솟값이 없을 수 있습니다(예 : f(x)=1x는 (0,1]에서 연속이지만 최댓값이 없습니다 — x→0+일 때 +∞로 발산).

쓰는 것 : 638번(연속의 정의, 닫힌구간에서의 연속) · 실수의 완비성