3.20 심화·배경
부채꼴
Sector of a Circle
정의 · 공식과 증명
부채꼴의 정의와 호도법, 호의 길이·넓이·둘레 공식 6개(272~277번)를 정리합니다. 이 절부터는 각을 라디안(호도법)으로 재는 것이 자연스러워, 이후 4장(삼각함수)에서 라디안을 기본 단위로 사용합니다.
부채꼴 : 두 반지름 OA, OB와 호 AB로 둘러싸인 도형 (중심각 θ)
272정의부채꼴부채꼴 = 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 도형
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 원의 중심 O에서 그은 두 반지름 OA, OB와 그 사이의 호 AB로 둘러싸인 영역을 부채꼴이라 하고, 두 반지름이 이루는 각 θ=∠AOB를 부채꼴의 중심각이라 합니다.
273정의호도법(라디안)1 라디안 = 호의 길이가 반지름과 같아지는 중심각 (θ[rad] = sr)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 반지름 r인 원에서, 호의 길이 s가 정확히 반지름 r과 같아지는 중심각의 크기를 1 라디안(radian)으로 약속합니다. 일반적으로 중심각(라디안) = 호의 길이반지름이며, 이는 반지름 r의 크기와 무관한 순수한 비율(각의 "고유한" 크기)입니다. 원 전체의 둘레는 262번(C=2πr)에 의해 반지름의 2π배이므로, 원 한 바퀴(360°)는 2π 라디안에 대응합니다.
이 정의가 뜻을 가지려면 다음 두 가지가 필요합니다.
ⓐ 받아들이는 사실(비례) : 한 원에서 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 비례합니다. 중심각이 같은 호·부채꼴은 서로 포개어지므로, 중심각을 2배, 3배, … 하거나 n등분하면 호와 넓이도 그만큼 바뀝니다. 이것으로 유리수배까지는 바로 나오고, 모든 각으로 넓히는 데는 극한이 필요하므로 이 부분은 받아들입니다.
ⓑ 반지름과 무관 : 중심각 ψ인 호를 n등분하고 이웃한 등분점을 선분으로 이으면, 각 선분은 두 변이 r, 꼭지각이 ψ/n인 이등변삼각형의 밑변이므로 길이가 2r sin(ψ/2n)입니다(3.18의 256번과 같은 계산, n이 커서 ψ/2n은 예각). 그래서 이 꺾은선의 길이는 r에 비례하고, 3.19의 262번과 같은 이유(곡선의 길이의 뜻)로 호의 길이 s도 r에 비례합니다. 따라서 sr은 중심각만으로 정해집니다.
호의 길이가 반지름과 같아지는 중심각 = 1 라디안 (약 57.3°)
274정리호의 길이s = rθ (θ : 중심각의 라디안값)
증명법 : 직접증명법(비례식)
273번(호도법의 정의)에 의해 θ = sr이므로, 양변에 r을 곱하면 다음을 얻습니다.
s = rθ
사용 : 273번(호도법의 정의와 ⓑ)
증명 끝
275정리부채꼴의 넓이(중심각 이용)S = 12r²θ
증명법 : 직접증명법(비례식)
273번의 ⓐ(부채꼴의 넓이는 중심각에 비례)에 의해, 부채꼴의 넓이는 원 전체 넓이(263번, S원=πr²)에서 중심각이 차지하는 비율만큼입니다. 중심각 θ(라디안)는 원 한 바퀴 2π 중 θ2π의 비율을 차지하므로,
S = πr² · θ2π = 12r²θ
부채꼴의 넓이는 원 전체 넓이 중 중심각이 차지하는 비율 θ2π 만큼
사용 : 3.19의 263번(원의 넓이) · 273번(호도법의 정의, ⓐ 비례)
증명 끝
276정리부채꼴의 넓이(호의 길이 이용)S = 12rs (s : 호의 길이)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
275번(S=12r²θ)에 274번(s=rθ, 즉 θ=sr)을 대입하면
S = 12r²·sr = 12rs
사용 : 275번(부채꼴의 넓이) · 274번(호의 길이)
증명 끝