3.21 심화·배경
활꼴
Segment of a Circle
정의 · 공식과 증명
활꼴의 정의와 현의 길이·높이(화살)·넓이·둘레 공식 5개(278~282번)를 정리합니다. 활꼴은 부채꼴(3.20)에서 삼각형 부분을 뺀 나머지 영역으로, 부채꼴의 공식들 위에서 유도됩니다.
활꼴 : 현 AB와 호 AB로 둘러싸인 도형 (그림은 열호 쪽 활꼴 — 반원보다 작은 쪽)
278정의활꼴활꼴 = 현과 호로 둘러싸인 도형
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 원 위의 두 점 A, B를 잇는 현 AB와, 그 두 점을 잇는 호 AB로 둘러싸인 영역을 활꼴이라 합니다. 현 하나는 원을 두 개의 호(과 그에 대응하는 두 활꼴)로 나누는데, 중심각이 180°보다 작은 쪽 호를 열호(劣弧, minor arc), 큰 쪽 호를 우호(優弧, major arc)라 합니다.
사용 : 272번(부채꼴의 정의)과 대응 · 부채꼴에서 삼각형 OAB를 뺀 나머지가 활꼴
279정리현의 길이c = 2r sin(θ2) (θ : 중심각)
증명법 : 직접증명법
3.19의 264번(현과 반지름의 수직 관계)에 의해, O에서 현 AB에 내린 수선의 발 M은 AB의 중점입니다. 직각삼각형 OMA에서 빗변 OA=r이고, 3.1의 삼각비 정의를 이용해 MA를 구합니다 :
| ∠AOM = θ2 | 중심각의 절반 |
| MA = r sin(θ2) | 직각삼각형 OMA, 빗변 OA=r에 삼각비 정의 적용 |
현 전체의 길이는 MA의 2배이므로 :
c = 2·MA = 2r sin(θ2)
직각삼각형 OMA : ∠AOM=θ2, OA=r ⟹ MA=r sin(θ2), 현 c=2·MA
사용 : 3.19의 264번(현과 반지름의 수직 관계) · 3.1의 삼각비 정의
증명 끝
280정리활꼴의 높이(화살, sagitta)h = r(1 − cos(θ2))
증명법 : 직접증명법
279번과 같은 직각삼각형 OMA에서, 삼각비 정의에 의해 OM = r cos(θ2)입니다. 호 AB의 한가운데 점을 C라 하면, 활꼴의 높이(화살, sagitta) h는 이 점 C에서 현까지의 거리, 즉 선분 MC의 길이입니다. O, M, C는 모두 한 직선(반지름 OC) 위에 있고 OC=r이므로 :
h = MC = OC − OM = r − r cos(θ2) = r(1 − cos(θ2))
C는 호 AB의 중점, M은 현 AB의 중점 — 활꼴의 높이 h = MC = OC − OM = r − r cos(θ2)
사용 : 279번(현의 길이, 같은 직각삼각형)
증명 끝
281정리활꼴의 넓이S = 12r²(θ − sinθ)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
활꼴의 넓이는 부채꼴 OAB의 넓이에서 삼각형 OAB의 넓이를 뺀 것입니다. 3.20의 275번(부채꼴의 넓이)에 의해 부채꼴의 넓이는 12r²θ이고, 삼각형 OAB는 두 변 OA=OB=r과 그 끼인각 θ를 가지므로 넓이는 12r²sinθ(3.4의 두 변과 끼인각을 이용한 넓이 공식). 따라서
S = 12r²θ − 12r²sinθ = 12r²(θ − sinθ)
활꼴의 넓이 = 부채꼴의 넓이 − 삼각형 OAB의 넓이
사용 : 3.20의 275번(부채꼴의 넓이) · 3.4의 두 변과 끼인각을 이용한 넓이 공식
증명 끝