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3.22   범위 밖(백과사전)

정육면체

Cube

정의 · 공식과 증명

이 절부터 입체도형(다면체)을 다룹니다. 다면체의 기본 요소(면·모서리·꼭짓점)와 부피의 공리를 먼저 약속한 뒤, 가장 단순한 다면체인 정육면체의 공식 9개(283~291번)와 보조정리 1개(네 공간대각선의 공통 중점)를 정리합니다. 꼭짓점 표기는 밑면 ABCD, 윗면 EFGH(A 위에 E, B 위에 F, C 위에 G, D 위에 H)를 사용합니다. 또한 이 절부터는 공간에서의 직선·평면에 관한 다음의 기본 성질을 중·고교 과정 수준에서 받아들이고 사용합니다 : ① 평행의 추이성(ℓ∥m이고 m∥n이면 ℓ∥n), ② 직선과 평면의 수직 판정(직선이 평면 위에서 만나는 두 직선과 각각 수직이면 그 평면 위의 모든 직선과 수직, 즉 평면과 수직), ③ 평면에 수직인 직선과 평행한 직선도 그 평면에 수직.

정육면체 ABCD-EFGH — 모든 모서리의 길이가 a로 같다 (점선은 보이지 않는 모서리)

283정의다면체와 그 구성 요소다면체 = 다각형인 면들로만 둘러싸인 입체

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 몇 개의 다각형으로만 둘러싸인 입체도형을 다면체(polyhedron)라 합니다. 다면체를 이루는 각 다각형을 면(face), 이웃한 두 면이 만나는 선분을 모서리(edge), 세 개 이상의 모서리가 만나는 점을 꼭짓점(vertex)이라 합니다. 같은 면 위에 있지 않은 두 꼭짓점을 잇는 선분을 다면체의 대각선이라 하고, 특히 한 면 위의 두 꼭짓점을 잇는 대각선(그 면인 다각형의 대각선)은 면대각선, 어느 면 위에도 함께 있지 않은 두 꼭짓점을 잇는 대각선은 공간대각선이라 구분합니다.

다면체의 구성 요소 — 면(다각형), 모서리(두 면의 교선), 꼭짓점(모서리들이 만나는 점)

284정의정육면체정육면체 = 합동인 정사각형 6개로 둘러싸인 다면체

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 합동인 정사각형 6개로 둘러싸인 다면체를 정육면체(cube)라 합니다. 면 6개, 모서리 12개, 꼭짓점 8개를 가지며, 모든 모서리의 길이가 같습니다(이 길이를 a로 나타냅니다). 각 꼭짓점에는 세 면이 모이고, 한 꼭짓점에서 만나는 세 모서리는 서로 수직입니다 — 각 쌍이 어느 한 정사각형 면의 이웃한 변이기 때문입니다(예 : 꼭짓점 C에서 만나는 CB·CG는 면 BCGF의, CD·CG는 면 CDHG의, CB·CD는 밑면 ABCD의 이웃한 변). 또한 각 모서리는 자신과 한 점에서 만나는 두 면 이외의 면과 수직입니다(예 : 모서리 CG와 밑면 ABCD). 실제로 CG는 밑면 위에서 C에서 만나는 두 직선 CB, CD와 각각 수직이므로, 직선과 평면의 수직 판정(단원 서두의 약속 ②)에 의해 CG는 밑면 위의 모든 직선과 수직입니다 — 287번에서 CG⊥AC로 쓰이는 것이 바로 이 성질입니다.

사용 : 283번(다면체의 정의) · 3.5의 정사각형

285공리부피직육면체의 부피 V = abc (a, b, c : 세 모서리의 길이)

부피(volume)는 입체가 공간에서 차지하는 크기입니다. 넓이와 마찬가지로 다음 성질을 공리로 약속합니다. ① 합동인 두 입체의 부피는 같다. ② 입체를 유한 개의 부분으로 나누면 전체의 부피는 각 부분의 부피의 합과 같다. ③ 세 모서리의 길이가 a, b, c인 직육면체의 부피는 V = abc이다. (③은 한 모서리의 길이가 1인 단위 정육면체를 빈틈없이 채워 세는 발상을 일반화한 약속으로, 부피의 단위가 되는 기준입니다.)

참고(대학 과정) : 이 세 성질을 만족하는 “부피”라는 양이 실제로 존재하고 모순 없이 정의된다는 사실의 엄밀한 정당화는 대학 실해석학(조르당 측도·르베그 측도, 측도론)의 내용입니다. 수능 준비생은 이 범위까지 공부할 필요가 없고, 위 세 성질을 공리로 받아들여 사용하면 충분합니다. (관련 배경으로, 각뿔의 부피는 이 공리만으로는 유도되지 않아 별도의 공리가 필요하다는 사실 — 힐베르트의 세 번째 문제 — 은 3.25의 304번에서 안내합니다.)

사용 : 이후 모든 입체(3.23~3.40)의 부피 공식이 이 공리 위에서 유도됩니다

286정리면의 대각선d₁ = a2

증명법 : 직접증명법

정육면체의 각 면은 한 변의 길이가 a인 정사각형이므로(정의 284번), 면의 대각선의 길이 d₁은 3.5의 196번(정사각형의 대각선)에 의해

d₁ = a2

입니다. 예를 들어 밑면 ABCD의 대각선 AC가 여기에 해당합니다.

왼쪽 — 정육면체와 밑면의 대각선 AC · 오른쪽 — 밑면 ABCD의 실제 모양(정사각형, 위에서 본 그림)

사용 : 284번(각 면은 정사각형) · 3.5의 196번(정사각형의 대각선)

증명 끝

287정리공간대각선d = a3

증명법 : 직접증명법

공간대각선 AG의 길이를 구합니다. 모서리 CG는 밑면 ABCD와 수직이므로(정의 284번), 밑면 위의 선분 AC와도 수직입니다. 따라서 삼각형 ACG는 ∠ACG = 90°인 직각삼각형이고,

AG² = AC² + CG²	3.1의 163번(피타고라스 정리)
= (a2)² + a²	286번(AC = a2) · CG = a
= 2a² + a² = 3a²	계산

이고, 길이는 양수이므로

d = AG = a3

직각삼각형 ACG — AC = d₁ = a√2, CG = a, ∠ACG = 90° (CG⊥밑면), 빗변 AG = d

사용 : 284번(모서리와 면의 수직) · 286번(면의 대각선) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)

증명 끝

288정리겉넓이S = 6a²

증명법 : 직접증명법

정육면체의 겉면은 한 변의 길이가 a인 합동인 정사각형 6개로 이루어지므로(정의 284번), 겉넓이는 한 면의 넓이의 6배입니다. 3.5의 200번(정사각형의 넓이, S = a²)에 의해

S = 6 × a² = 6a²

정육면체의 전개도 — 합동인 정사각형 6개 (각 변의 길이 a)

사용 : 284번(면 6개, 각 면은 정사각형) · 3.5의 200번(정사각형의 넓이)

증명 끝

289정리부피V = a³

증명법 : 직접증명법

정육면체는 세 모서리의 길이가 모두 a로 같은 직육면체입니다. 부피의 공리 285번③에서 a = b = c인 특수한 경우이므로

V = a × a × a = a³

한 꼭짓점 B에서 만나는 서로 수직인 세 모서리 BA, BC, BF — 길이가 모두 a

사용 : 285번(부피의 공리)

증명 끝

·보조정리네 공간대각선의 공통 중점 — 정육면체의 중심 (290·291번의 근거)O = 각 공간대각선의 중점

증명법 : 직접증명법 (ASA 합동)

정육면체의 네 공간대각선 AG, BH, CE, DF가 모두 한 점 O에서 만나고, O가 각 대각선의 중점임을 보입니다. 290·291번에서는 이 점 O를 정육면체의 중심이라 부릅니다. (종전에는 “대칭의 중심”이라는 말로 이 사실을 근거 없이 사용했는데, 실제로는 아래처럼 별도의 증명이 필요한 정리입니다.)

① 먼저 네 점 A, B, G, H가 한 평면 위에 있음을 확인합니다. AB ∥ DC(정사각형 ABCD의 마주 보는 변)이고 DC ∥ HG(정사각형 DCGH의 마주 보는 변)이므로, 평행의 추이성(단원 서두의 약속 ①)에 의해 AB ∥ HG이고, 길이도 AB = HG = a로 같습니다(284번). 평행한 두 직선 AB, HG는 한 평면을 결정하므로 사각형 ABGH는 평면 사각형입니다.

② 이 평면 위에서 두 대각선 AG와 BH의 교점을 O라 하면,

∠OAB = ∠OGH,  ∠OBA = ∠OHG	AB ∥ HG의 엇각(5.9 예정, 선행 인용)
AB = GH	①에서 (둘 다 a)
△OAB ≡ △OGH	ASA 합동
OA = OG,  OB = OH	합동인 삼각형의 대응변

이므로 O는 대각선 AG의 중점이자 대각선 BH의 중점입니다.

③ 같은 논법을 사각형 ACGE와 사각형 ADGF에 적용합니다. AE ∥ CG(AE ∥ BF, BF ∥ CG — 각각 정사각형 ABFE, BCGF의 마주 보는 변)이고 AE = CG = a이므로 사각형 ACGE에서 두 대각선 AG와 CE는 서로의 중점에서 만나고, AD ∥ FG(AD ∥ BC, BC ∥ FG)이고 AD = FG = a이므로 사각형 ADGF에서 두 대각선 AG와 DF도 서로의 중점에서 만납니다.

④ 선분 AG의 중점은 하나뿐이므로 ②·③의 교점은 전부 같은 점 O입니다. 따라서 네 공간대각선은 모두 O를 지나고, O는 네 대각선 각각의 중점입니다. 덧붙여 287번의 증명은 꼭짓점의 이름만 바꾸면 어느 공간대각선에도 그대로 적용되므로, 네 대각선의 길이는 모두 d = a3으로 같습니다(291번에서 사용).

평면 사각형 ABGH — AB ∥ HG, AB = HG이므로 두 대각선 AG(빨강)와 BH(파랑)는 교점 O에서 서로를 이등분한다

사용 : 평행선의 엇각 성질(5.9 예정, 선행 인용) · ASA 합동 · 284번(각 면은 정사각형, 모든 모서리의 길이 a) · 287번(공간대각선의 길이)

증명 끝

290정리내접구의 반지름r = a2

증명법 : 직접증명법

위 보조정리의 점 O(네 공간대각선의 공통 중점)를 정육면체의 중심이라 합니다. O에서 여섯 면까지의 거리가 모두 a2임을 보이면, O를 중심으로 하고 반지름이 a2인 구가 여섯 면에 모두 접하므로 그것이 내접구입니다. (구의 정의와 성질은 3.34의 373번을 참고하세요)

먼저 밑면 ABCD까지의 거리를 구합니다. 삼각형 ACG에서 O는 변 AG의 중점이므로, 변 AC의 중점을 N이라 하면 선분 ON은 삼각형 ACG의 중위선이고,

ON ∥ CG,  ON = CG2 = a2	3.4의 184번(중위선)
CG ⊥ 밑면 ABCD	284번(모서리와 면의 수직)
ON ⊥ 밑면 ABCD	평면에 수직인 직선과 평행한 직선도 그 평면에 수직(단원 서두의 약속 ③)

이 됩니다. N은 밑면 위의 점(대각선 AC의 중점, 곧 밑면의 중심)이므로, O에서 밑면까지의 거리는 ON = a2이고 수선의 발 N은 밑면의 중심입니다.

나머지 다섯 면도 구조가 완전히 같습니다 — AG를 한 변으로 하고, 그 면에 수직이면서 A 또는 G에서 뻗는 모서리를 다른 한 변으로 하는 삼각형의 중위선을 쓰면 됩니다 : 윗면 EFGH는 △AEG(모서리 AE), 면 BCGF는 △ABG(모서리 AB), 면 DCGH는 △ADG(모서리 AD), 면 ABFE는 △AFG(모서리 GF), 면 ADHE는 △AHG(모서리 GH). 각 경우 수선의 발은 그 면의 중심이고 거리는 모두 a2입니다. 따라서 내접구의 반지름은

r = a2

두 쌍의 마주 보는 면의 중심을 지나는 단면 — 한 변이 a인 정사각형과 내접구의 대원, r = a2 (반지름⊥접하는 면)

사용 : 위 보조정리(네 공간대각선의 공통 중점 O) · 284번(모서리와 면의 수직) · 3.4의 184번(중위선) · 3.34의 373번(구의 정의)

증명 끝

291정리외접구의 반지름R = 32a

증명법 : 직접증명법

위 보조정리에 의해 네 공간대각선 AG, BH, CE, DF는 정육면체의 중심 O를 공통 중점으로 가지며, 길이는 모두 287번의 d = a3으로 같습니다. 여덟 꼭짓점은 네 공간대각선의 양 끝에 두 개씩 놓이므로, O에서 여덟 꼭짓점까지의 거리는 모두 각 대각선의 절반으로 같습니다. 따라서 O를 중심으로 여덟 꼭짓점을 모두 지나는 구(외접구)를 그릴 수 있고, 그 반지름은

R = d2 = 32a

입니다. (구의 정의와 성질은 3.34의 373번을 참고하세요)

A, C, G, E를 지나는 대각선 단면(a√2 × a 직사각형)과 외접구의 대원 — 지름 AG = d, R = d2

사용 : 위 보조정리(네 공간대각선의 공통 중점 O) · 287번(공간대각선) · 3.34의 373번(구의 정의)

증명 끝