3.34 범위 밖(백과사전)
구
Sphere
이 절에서는 공간에서 한 점 O로부터 일정한 거리 R에 있는 점들의 자취인 구(sphere)를 다룹니다. 다면체(3.22 정육면체~3.29 정다면체)의 외접구·내접구는 이 절의 정의(373번)를, 회전체(3.30 원기둥~3.33 원뿔대)의 외접구·내접구는 3.30의 348번·349번의 정의(내접구는 중심이 축 위)를 따릅니다. 평면과 구의 교선(374번), 외부의 점에서 그은 접선의 길이(375번)를 거쳐, 구의 겉넓이(376번)와 부피(377번)를 내접 다각형의 회전체의 극한(3.19의 원의 둘레·넓이, 3.30·3.32의 원기둥·원뿔의 옆넓이·부피와 같은 골격)으로 얻습니다. 이 절의 공식 5개(373~377번)를 정리합니다.
구 — 중심 O, 반지름 R (평면 위에 그려도 항상 원으로 보이므로, 적도에 해당하는 타원과 옅은 하이라이트로 입체감을 표현)
373정의구구 = 공간에서 한 점 O로부터 거리 R인 점 전체의 자취 (O : 중심, R : 반지름)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 공간에 고정된 한 점 O와 양수 R에 대해, OP=R을 만족하는 점 P 전체의 집합을 중심이 O이고 반지름이 R인 구(sphere)라고 합니다. 여기서 두 점 사이의 거리 OP는 두 점을 잇는 선분의 길이입니다(3.22 단원 서두의 약속 ④). 원(3.19)이 평면 위의 대응되는 도형이라면, 구는 그 공간 버전입니다 — 실제로 구를 중심 O를 지나는 한 평면으로 자른 단면은 항상 반지름 R인 원이 되는데(374번, 대원), 이 점에서 구는 “모든 방향으로 완전히 대칭인” 도형이라 할 수 있습니다.
원과 마찬가지로, “구”라는 이름은 문맥에 따라 이 경계면(구면) 자체를 가리키기도 하고, 그 안쪽까지 포함한 입체(공, ball)를 가리키기도 합니다. 이 절에서도 접평면·접선(374, 375번)을 다룰 때는 경계면을, 겉넓이·부피(376, 377번)를 다룰 때는 각각 경계면의 넓이와 안쪽 입체의 부피를 뜻하는 것으로 자연스럽게 구별해 사용합니다.
구와 관련된 다음 용어도 함께 정의합니다. 구와 오직 한 점에서만 만나는 직선을 구의 접선(tangent line), 구와 오직 한 점에서만 만나는 평면을 구의 접평면(tangent plane)이라 하고, 그 한 점을 접점이라 합니다. 다면체의 모든 꼭짓점을 지나는 구를 그 다면체의 외접구, 다면체의 모든 면의 평면에 접하고 그 접점이 각각 그 면 위에 있는 구를 그 다면체의 내접구라 합니다 (면·꼭짓점은 3.22의 283번). 이 책의 공식에서 “외접구·내접구의 반지름”은 그 증명에서 찾은 구의 반지름을 뜻합니다. 외접구·내접구가 각각 하나뿐이라는 사실도 성립하지만, 이 책의 증명에는 쓰지 않으므로 참고로만 적어 둡니다. 원기둥·원뿔·원뿔대 같은 회전체의 외접구·내접구는 다면체와 모양이 달라 3.30의 348번·349번에서 따로 정의합니다.
사용 : 3.22 단원 서두의 약속 ④(두 점 사이의 거리) · 3.22의 283번(다면체의 면·꼭짓점) · 3.19의 260번(원의 정의, 평면 버전과의 대응)
374정리평면과 구의 교선(대원·소원·접평면)O에서 평면까지의 거리를 d라 하면 : d>R이면 만나지 않음, d=R이면 한 점(접점), d<R이면 반지름 R²−d²인 원
증명법 : 직접증명법
중심 O, 반지름 R인 구와 평면 π가 있고, O에서 π에 내린 수선의 발을 M, 그 길이(O에서 평면까지의 거리)를 d=OM이라 합니다(3.22 단원 서두의 약속 ⑤). π 위의 임의의 점 P에 대해 OM⊥π이고 MP는 π 위에 있으므로 OM⊥MP입니다. P≠M이고 M≠O이면 삼각형 OMP는 M에서 직각인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해, 또 P=M이면 MP=0이고 M=O(d=0)이면 OM=0이므로 자명하게, 어느 경우든
OP² = OM²+MP² = d²+MP²
P가 구 위에 있다는 것은 OP=R, 즉 OP²=R²이라는 뜻이므로, 위 식에서
MP² = R²−d²
이 됩니다. 이제 d와 R의 대소에 따라 세 가지 경우로 나뉩니다.
(i) d>R인 경우. R²−d²<0이므로 MP²=R²−d²를 만족하는 실수 MP≥0가 존재하지 않습니다. 즉 π 위의 어떤 점도 구 위에 있을 수 없으므로, 평면과 구는 만나지 않습니다.
(ii) d=R인 경우. MP²=0, 곧 MP=0인 경우에만 OP=R이 성립하므로 P=M뿐입니다. 즉 평면과 구는 오직 한 점 M에서만 만나므로, π는 M에서의 접평면이고 M이 접점입니다(373번의 정의). 거꾸로 구와 한 점에서만 만나는 평면은 (i)(만나지 않음)도 (iii)(원 전체에서 만남)도 아니므로 d=R인 경우뿐입니다. 따라서 접평면은 접점을 지나는 반지름 OM에 수직인 평면과 정확히 같습니다(역으로, 점 T가 구 위에 있고 평면 π′가 T에서 OT에 수직이면 O에서 π′에 내린 수선의 발은 T이고(약속 ⑤) 거리는 OT=R이므로, 위 (ii)에 의해 π′는 T에서의 접평면입니다).
(iii) d<R인 경우. R²−d²>0이므로 MP=R²−d²인 점 P가 π 위에(M을 중심으로 하는 반지름 R²−d²인 원 위에) 존재하며, 거꾸로 π 위에서 M으로부터 거리가 정확히 R²−d²인 점은 모두 OP²=d²+(R²−d²)=R²을 만족해 구 위에 있습니다. 따라서 평면과 구의 교집합은 M을 중심으로 하고 반지름이
ρ = R²−d²
인 원입니다. 특히 d=0(평면이 중심 O를 지나는 경우) 이 원의 반지름은 ρ=R로 가능한 가장 큰 단면이 되며, 이를 대원(great circle)이라 합니다. 0<d<R인 경우의 원(반지름 ρ<R)은 소원(small circle)이라 합니다.
검산 : R=5, d=3이면 ρ=5²−3²=16=4로, 3–4–5 직각삼각형이 됩니다(아래 그림).
구의 축(중심 O를 지나는 대칭축) 방향에서 본 단면 — O에서 평면까지의 거리 d=3, 접점 M, 평면과 구의 교선(소원) 위의 한 점 P까지 OP=R=5, MP=ρ=4
대원(중심을 지나는 단면, 정면에서는 구와 같은 반지름의 원)과 소원(중심을 지나지 않는 단면, 더 작은 원—3D 느낌을 위해 실제 ρ/R 비율 그대로 축소해 그린 타원으로 표현)
사용 : 373번(구·접평면의 정의) · 3.22 단원 서두의 약속 ⑤(수선의 발) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
375정리외부의 점에서 그은 접선의 길이OQ=e>R인 점 Q에서 구에 그은 접선의 길이는 모두 t = e²−R² (접점 위치에 관계없이 일정)
증명법 : 직접증명법
구 밖의 점 Q(OQ=e>R)를 지나는 구의 접선(373번의 정의 : 구와 한 점에서만 만나는 직선) ℓ이 있을 때, 그 접점을 T라 합시다. 먼저 OT⊥ℓ임을 보입니다.
① O는 ℓ 위에 있지 않습니다. 만약 O가 ℓ 위에 있으면 ℓ 위에서 O를 사이에 두고 T의 반대쪽에 OT′=R인 점 T′≠T가 있고, T′도 구 위의 점이므로 ℓ이 구와 두 점에서 만나 접선이라는 데 모순입니다.
② 따라서 O와 ℓ은 평면 σ 하나를 정합니다(3.22 단원 서두의 약속 ④). σ는 중심 O를 지나므로 374번(iii)(d=0)에 의해 σ와 구의 교집합은 σ 위에서 중심이 O이고 반지름이 R인 원(대원)입니다. ℓ은 σ 위에 있고, ℓ과 이 원의 공통점은 구 위의 점이므로 T 하나뿐입니다. 즉 ℓ은 평면 σ 안에서 이 원의 접선이고, 3.19의 265번(원의 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직)에 의해 OT⊥ℓ, 곧 OT⊥QT입니다.
③ 따라서 삼각형 OTQ는 T에서 직각인 직각삼각형이고, 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
| OQ² = OT²+TQ² | 피타고라스 정리(직각 T) |
| e² = R²+TQ² | OQ=e, OT=R 대입 |
t = TQ = e²−R²
이 값은 오직 e(=OQ)와 R에만 의존하고 접점 T의 위치(어느 방향으로 접선을 그었는지)에는 의존하지 않으므로, Q에서 구에 그을 수 있는 모든 접선의 길이는 서로 같습니다 — 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 3.19의 성질(3.19의 266번, 265번의 접선⊥반지름으로 증명)을 구로 그대로 확장한 것입니다.
검산 : R=3, e=5이면 t=5²−3²=16=4로, 3–4–5 직각삼각형이 됩니다.
O, T, Q를 지나는 평면(축 단면) — OT⊥TQ, OT=R=3, TQ=t=4, OQ=e=5
사용 : 373번(접선의 정의) · 374번(iii)(대원) · 3.22 단원 서두의 약속 ④(평면의 결정) · 3.19의 265번(접선과 반지름의 수직) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
376정리겉넓이S = 4πR²
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
구면은 대원의 절반(반원)을 지름 둘레로 한 바퀴 돌려 만든 곡면입니다. 그래서 3.30의 344번(원기둥의 옆넓이)과 같은 골격으로, 반원에 내접하는 꺾은선을 같은 축 둘레로 돌린 회전체의 옆넓이를 계산하고 그 극한을 봅니다. 구의 대원(374번, 중심 O를 지나는 단면원)을 하나 고정하고, 그 위에 북극에 해당하는 점부터 남극에 해당하는 점까지 내접하는 정2n각형의 절반—곧 중심각이 각각 π/n인 n개의 현(n≥2)으로 이루어진 꺾은선—을 그린 뒤, 이 꺾은선을 지름(두 극을 잇는 축) 둘레로 돌립니다. 양 끝의 두 현은 원뿔의 옆면을, 나머지 n−2개의 현은 원뿔대의 옆면을 만듭니다(n이 홀수이면 가운데 현은 적도에 대해 대칭이라 두 끝의 반지름이 같으므로 원기둥의 옆면). 이 옆넓이들의 합을 Sn이라 합니다.
1단계 — 현 하나의 자오면 좌표. 대원 위에서 축과 이루는 각이 α인 점을 A=(R sinα, R cosα), 각이 β인 점을 B=(R sinβ, R cosβ)라 합니다(0≤α<β≤π, β−α<π; 첫 번째 좌표는 축까지의 거리, 곧 돌렸을 때 그리는 원의 반지름, 두 번째 좌표는 축을 따라 잰 높이). u=(α+β)/2, δ=(β−α)/2로 놓으면(0<δ<π/2, 0<u<π), 다음 공식들에 의해
| A의 반지름 + B의 반지름 = R(sinα+sinβ) = 2R sin u cos δ | 4.14의 f479번(사인의 합을 곱으로) |
| A, B의 높이 차 = R|cosα−cosβ| = 2R sin u sin δ | 4.14의 f482번(코사인의 차를 곱으로), sin u>0 |
또 삼각형 OAB는 OA=OB=R이고 꼭지각 ∠AOB=2δ인 이등변삼각형입니다. 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면 H는 AB의 중점이고(3.19의 264번), 두 직각삼각형 OHA, OHB는 세 변이 같아 합동이므로 ∠AOH=δ입니다. 따라서 O에서 현 AB까지의 거리를 p라 하면
AB = 2AH = 2R sinδ, p = OH = R cosδ
2단계 — 보조정리(현의 회전면). 위와 같은 현 AB를 축 둘레로 돌려 생기는 옆면(원뿔·원뿔대·원기둥)의 넓이는 2π·p·(AB의 축 위 투영 길이)와 같습니다. 두 끝의 반지름을 r₁=R sinα, r₂=R sinβ라 하면 옆넓이는 세 경우 모두 π(r₁+r₂)·AB입니다 — 원뿔대이면 3.33의 367번(Slat=π(R+r)l), 한쪽 반지름이 0이면(α=0 또는 β=π) 원뿔이므로 3.32의 359번(Slat=πrl), 두 반지름이 같으면(α+β=π) 원기둥이므로 3.30의 344번(Slat=2πr·(모선의 길이))입니다. 1단계의 값을 넣으면 π·(2R sin u cosδ)·(2R sinδ) = 4πR² sin u sinδ cosδ이고, 한편 2π·p·(높이 차) = 2π·(R cosδ)·(2R sin u sinδ) = 4πR² sin u sinδ cosδ로 정확히 같은 값입니다. 즉
Slat(현 하나) = 2π·p·(축 위 투영 길이)
3단계 — n개를 모두 더함. 내접 꺾은선의 n개 현은 모두 중심각이 π/n으로 같으므로, 각 현에 대해 δ=δn=π/(2n)으로 일정하고, 따라서 원점에서 각 현까지의 거리도 pn=R cosδn으로 모든 현에 대해 같습니다. 각 현의 축 위 투영 길이를 모두 더하면 (첫 극에서 마지막 극까지 축 위에서 단조로 움직이므로) 정확히 지름 2R이 되어
Sn = Σ 2πpn·(투영 길이) = 2πpn·2R = 4πR² cosδn = 4πR² cosπ2n
4단계 — 곡면의 넓이. 곡면의 넓이는 아직 정의하지 않았고, 3.30의 344번에서 받아들인 사실은 모선을 따라 만든 평면 조각에 대한 것이라 구면에는 쓸 수 없습니다. 그래서 3.19의 262번(곡선의 길이의 뜻)·3.30의 344번과 같은 방식으로 다음을 받아들입니다.
받아들이는 사실(곡면의 넓이) : ① (회전면의 넓이의 뜻) 평면 위의 곡선을 그 평면 안의 축 둘레로 돌려 만든 곡면에서, 그 곡선 위에 차례로 점을 찍어 이은 꺾은선을 같은 축 둘레로 돌리면 원뿔·원뿔대·원기둥의 옆면이 이어진 곡면이 생깁니다. 점을 촘촘히 찍어 꺾은선의 각 선분의 길이가 모두 한없이 작아지면, 이 옆넓이들의 합은 처음 곡면의 넓이에 한없이 가까워집니다. ② (곡면 넓이의 성질) 곡면의 넓이도 평면 도형의 넓이처럼, 합동인 두 곡면의 넓이는 같고, 곡면을 경계만 공유하는 유한 개의 조각으로 나누면 전체의 넓이는 각 조각의 넓이의 합입니다(3.22의 285번 부피의 공리 ①②와 같은 꼴).
이제 n→∞이면 꺾은선의 각 현의 길이 2R sinδn은 2Rδn=πR/n보다 작아(8.2의 635번 증명 ①의 sinθ<θ) 0으로 가고, δn→0이므로 cosδn→cos0=1(같은 증명 ②)입니다. 따라서 받아들이는 사실 ①에 의해
S = lim Sn = 4πR²·1 = 4πR²
덧붙임 — 외접(접선) 꺾은선으로도 같은 값. (조임이 아니라, 바깥쪽 꺾은선으로도 같은 값에 다가가는지 확인하는 계산입니다.) 같은 자오면 위에서, 이번에는 원에 외접하는 n개의 접선분(각 접점의 중심각이 (k+½)π/n, k=0, 1, …, n−1)을 이어 만든 꺾은선을 축 둘레로 돌린 회전체를 생각합니다. 원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이므로(3.19의 265번) 모든 접선분의 원점까지 거리가 정확히 R이고, 각 접점은 그 접선분의 중점이라(양 끝 꼭짓점이 중심각으로 같은 거리만큼 떨어져 있음) 보조정리와 같은 계산으로 옆넓이가 2π·R·(투영 길이)가 됩니다. 맨 위·맨 아래 꼭짓점이 극보다 살짝 바깥(O에서 R/cosδn)에 있어 축 위 투영의 총합이 2R/cosδn이므로, 이 회전체의 옆넓이의 합은
Sn′ = 4πR²/cosπ2n
입니다. 0<cosδn<1이므로 모든 n에 대해 Sn < 4πR² < Sn′이고, n→∞일 때 양쪽 모두 4πR²로 다가갑니다.
검산(R=3) : n=6이면 Sn≈109.24, Sn′≈117.09; n=12이면 112.13, 114.07; n=50이면 113.04, 113.15로 참값 4π3²=36π≈113.10에 양쪽에서 좁혀듭니다.
자오면 위의 내접(현, n=6)과 외접(접선, n=6) 꺾은선 — 둘 다 참원(옅은 점선)을 안팎에서 조여감
내접 다각형의 회전체가 n이 커질수록 구에 가까워지는 모습(3D 개략도, n=5의 자오선과 위도선을 표시)
사용 : 374번(대원) · 3.19의 264번(중심에서 현에 내린 수선)·265번(접선과 반지름의 수직) · 3.30의 344번(원기둥의 옆넓이) · 3.32의 359번(원뿔의 옆넓이) · 3.33의 367번(원뿔대의 옆넓이) · 4.14의 f479번·f482번(사인·코사인의 합−차를 곱으로) · 8.2의 635번(sinθ<θ, cosθ→1) · 받아들이는 사실(곡면의 넓이) ①
증명 끝
377정리부피V = 43πR³
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
구를 중심 O를 지나는 축으로 위아래 반구로 나누고, 위쪽 반구의 부피를 먼저 구합니다. 축 위의 점을 O에서 잰 거리 x(0≤x≤R)로 나타내면, x에서 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 374번에 의해 반지름 r(x)=R²−x²인 원(소원)입니다.
1단계 — 원기둥으로 안쪽에서 채움. 구간 [0,R]을 n등분해 Δ=R/n, xk=kΔ (k=0,1,…,n)이라 합니다. r(x)=R²−x²는 x에 대해 감소하므로, k번째 조각 [xk−1,xk] 안에서 반구는 항상 반지름이 r(xk−1)보다 작거나 같고 r(xk)보다 크거나 같습니다. 따라서 반지름 r(xk)(그 조각에서 가장 작은 반지름), 높이 Δ인 원기둥(3.30의 346번, V=πr²h)은 그 조각 전체가 반구 안에 완전히 들어갑니다(내접). n개를 모두 더한 것을 Vn이라 하면
| Vn = πΔ Σk=1n r(xk)² = πΔ Σ(R²−(kΔ)²) | 원기둥 부피의 합 |
| = πΔnR² − πΔ³ Σk=1nk² | 전개 |
Δn=R이므로 첫째 항은 πR³이고, Σk²=1²+2²+⋯+n²=n(n+1)(2n+1)/6은 수학적 귀납법으로 증명되는 표준 항등식입니다(선행학습의 수학적 귀납법). 대입하면
| Vn = πR³ − πR³n³·n(n+1)(2n+1)6 | Δ=R/n 대입 |
| = πR³(1−(n+1)(2n+1)6n²) | πR³ 묶기 |
| = πR³·4n²−3n−16n² | 6n²−(2n²+3n+1)=4n²−3n−1 |
2단계 — 극한. n→∞이면 4n²−3n−16n² → 46 = 23이므로
Vn → 23πR³
입니다.
3단계 — 바깥쪽 원기둥과 조임. 같은 분할에서 각 조각의 가장 큰 반지름 r(xk−1)을 쓴 높이 Δ인 원기둥은 그 조각에서 반구를 완전히 덮습니다(외접). 이 n개의 부피의 합을 Vn′이라 하면, 두 합은 첫 항과 끝 항만 달라
Vn′ − Vn = πΔ(r(x0)² − r(xn)²) = πΔR² = πR³n
입니다. 원기둥을 쌓은 입체의 부피는 각 원기둥 부피의 합이고(3.22의 285번 ②), 안쪽 원기둥들은 반구 안에, 반구는 바깥쪽 원기둥들 안에 들어 있으므로, 부피의 단조성(3.30의 346번 2단계와 같은 이유 — 285번 ②, 부피는 음이 아님)에 의해 반구의 부피 V반은
Vn ≤ V반 ≤ Vn′ = Vn + πR³n
을 만족합니다. n→∞이면 양 끝이 모두 23πR³으로 가므로, 조임(11.4의 보조정리)에 의해 V반 = 23πR³입니다. 구는 합동인 반구 두 개로 나뉘고 두 반구는 대원의 원판만 공유하므로(285번 ①②)
V = 2·23πR³ = 43πR³
검산(R=3, 반구) : n=6이면 내접≈49.09(구 전체≈98.17), n=20이면 내접≈54.39(전체≈108.79), n=100이면 내접≈56.12(전체≈112.25)로, 참값 43π3³=36π≈113.10에 아래에서 다가갑니다(바깥쪽 합 Vn′은 여기에 πR³/n을 더한 값으로, 위에서 다가갑니다).
반구의 축 단면(사분원)을 n등분해 안쪽 원기둥(내접, 남색)과 바깥쪽 원기둥 (외접, 갈색 점선)으로 채운 모습
구를 얇은 원판(원기둥)으로 쌓아 올린 것으로 보는 3D 개략도 — 각 원판의 반지름은 그 높이에서의 실제 소원 반지름 R²−x²값
사용 : 373번(정의) · 374번(평면과 구의 교선, 소원의 반지름) · 3.30의 346번(원기둥의 부피, 부피의 단조성) · 3.22의 285번(부피의 공리 ①②) · 선행학습의 수학적 귀납법(제곱의 합 공식) · 11.4의 보조정리(수열 극한의 조임)
증명 끝