3.34 범위 밖(백과사전)
구
Sphere
이 절에서는 공간에서 한 점 O로부터 일정한 거리 R에 있는 점들의 자취인 구(sphere)를 다룹니다. 3.22(정육면체)부터 3.33(원뿔대)까지 이미 등장한 내접구·외접구는 모두 이 절의 정의(373번)를 앞당겨 인용하고 있었습니다 — 이 절을 기점으로 그 인용들을 실제 링크로 교체합니다. 평면과 구의 교선(374번), 외부의 점에서 그은 접선의 길이(375번)를 거쳐, 구의 겉넓이(376번)와 부피(377번)를 내접 다각형의 회전체의 극한(3.19의 원의 둘레·넓이, 3.30·3.32의 원기둥·원뿔의 옆넓이·부피와 같은 골격)으로 얻습니다. 이 절의 공식 5개(373~377번)를 정리합니다.
구 — 중심 O, 반지름 R (평면 위에 그려도 항상 원으로 보이므로, 적도에 해당하는 타원과 옅은 하이라이트로 입체감을 표현)
373정의구구 = 공간에서 한 점 O로부터 거리 R인 점 전체의 자취 (O : 중심, R : 반지름)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 공간에 고정된 한 점 O와 양수 R에 대해, OP=R을 만족하는 점 P 전체의 집합을 중심이 O이고 반지름이 R인 구(sphere)라고 합니다. 여기서 두 점 사이의 거리는 3.23의 294번(공간대각선, 피타고라스 정리를 두 번 적용해 얻은 공간에서의 거리)과 같은 방식으로 정의됩니다. 원(3.19)이 평면 위의 대응되는 도형이라면, 구는 그 공간 버전입니다 — 실제로 구를 중심 O를 지나는 한 평면으로 자른 단면은 항상 반지름 R인 원이 되는데(374번, 대원), 이 점에서 구는 “모든 방향으로 완전히 대칭인” 도형이라 할 수 있습니다.
원과 마찬가지로, “구”라는 이름은 문맥에 따라 이 경계면(구면) 자체를 가리키기도 하고, 그 안쪽까지 포함한 입체(공, ball)를 가리키기도 합니다. 이 절에서도 접평면·접선(374, 375번)을 다룰 때는 경계면을, 겉넓이·부피(376, 377번)를 다룰 때는 각각 경계면의 넓이와 안쪽 입체의 부피를 뜻하는 것으로 자연스럽게 구별해 사용합니다.
사용 : 3.23의 294번(공간에서 두 점 사이의 거리) · 3.19의 260번(원의 정의, 평면 버전과의 대응)
374정리평면과 구의 교선(대원·소원·접평면)O에서 평면까지의 거리를 d라 하면 : d>R이면 만나지 않음, d=R이면 한 점(접점), d<R이면 반지름 R²−d²인 원
증명법 : 직접증명법
중심 O, 반지름 R인 구와 평면 π가 있고, O에서 π에 내린 수선의 발을 M, 그 길이(O에서 평면까지의 거리)를 d=OM이라 합니다. π 위의 임의의 점 P에 대해 OM⊥π이고 MP는 π 위에 있으므로 OM⊥MP이고, 삼각형 OMP는 M에서 직각인 직각삼각형입니다. 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
OP² = OM²+MP² = d²+MP²
P가 구 위에 있다는 것은 OP=R, 즉 OP²=R²이라는 뜻이므로, 위 식에서
MP² = R²−d²
이 됩니다. 이제 d와 R의 대소에 따라 세 가지 경우로 나뉩니다.
(i) d>R인 경우. R²−d²<0이므로 MP²=R²−d²를 만족하는 실수 MP≥0가 존재하지 않습니다. 즉 π 위의 어떤 점도 구 위에 있을 수 없으므로, 평면과 구는 만나지 않습니다.
(ii) d=R인 경우. MP²=0, 곧 MP=0인 경우에만 OP=R이 성립하므로 P=M뿐입니다. 즉 평면과 구는 오직 한 점 M에서만 만납니다. 이때 π를 그 점에서의 접평면(tangent plane)이라 하고, M을 접점이라 합니다 — 정의에 의해 접평면은 접점을 지나는 반지름 OM에 수직인 평면과 정확히 같습니다(역으로, 점 T가 구 위에 있고 평면 π′가 T에서 OT에 수직이면 O에서 π′까지의 거리는 정확히 OT=R이므로 위 (ii)에 의해 π′는 T에서만 구에 접합니다).
(iii) d<R인 경우. R²−d²>0이므로 MP=R²−d²인 점 P가 π 위에(M을 중심으로 하는 반지름 R²−d²인 원 위에) 존재하며, 거꾸로 π 위에서 M으로부터 거리가 정확히 R²−d²인 점은 모두 OP²=d²+(R²−d²)=R²을 만족해 구 위에 있습니다. 따라서 평면과 구의 교집합은 M을 중심으로 하고 반지름이
ρ = R²−d²
인 원입니다. 특히 d=0(평면이 중심 O를 지나는 경우) 이 원의 반지름은 ρ=R로 가능한 가장 큰 단면이 되며, 이를 대원(great circle)이라 합니다. 0<d<R인 경우의 원(반지름 ρ<R)은 소원(small circle)이라 합니다.
검산 : R=5, d=3이면 ρ=5²−3²=16=4로, 3–4–5 직각삼각형이 됩니다(아래 그림).
구의 축(중심 O를 지나는 대칭축) 방향에서 본 단면 — O에서 평면까지의 거리 d=3, 접점 M, 평면과 구의 교선(소원) 위의 한 점 P까지 OP=R=5, MP=ρ=4
대원(중심을 지나는 단면, 정면에서는 구와 같은 반지름의 원)과 소원(중심을 지나지 않는 단면, 더 작은 원—3D 느낌을 위해 실제 ρ/R 비율 그대로 축소해 그린 타원으로 표현)
사용 : 373번(구의 정의) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
375정리외부의 점에서 그은 접선의 길이OQ=e>R인 점 Q에서 구에 그은 접선의 길이 t = e²−R² (접점 위치에 관계없이 일정)
증명법 : 직접증명법
구 밖의 점 Q(OQ=e>R)를 지나고 구에 접하는 직선을 하나 그어 접점을 T라 합시다. 374번(ii)에 의해 접점 T에서의 접평면은 반지름 OT에 수직이고, 이 접평면은 T를 지나는 모든 직선 중 접선 (구와 T에서만 만나는 직선)들을 모두 포함하므로, 특히 직선 QT도 이 접평면에 포함되어 OT⊥QT입니다. 따라서 삼각형 OTQ는 T에서 직각인 직각삼각형이고, 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
| OQ² = OT²+TQ² | 피타고라스 정리(직각 T) |
| e² = R²+TQ² | OQ=e, OT=R 대입 |
t = TQ = e²−R²
이 값은 오직 e(=OQ)와 R에만 의존하고 접점 T의 위치(어느 방향으로 접선을 그었는지)에는 의존하지 않으므로, Q에서 구에 그을 수 있는 모든 접선의 길이는 서로 같습니다 — 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 3.19의 성질(원주각 정리 계열, 3.19)을 구로 그대로 확장한 것입니다.
검산 : R=3, e=5이면 t=5²−3²=16=4로, 3–4–5 직각삼각형이 됩니다.
O, T, Q를 지나는 평면(축 단면) — OT⊥TQ, OT=R=3, TQ=t=4, OQ=e=5
사용 : 374번(접평면) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
376정리겉넓이S = 4πR²
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
구의 대원(374번, 중심 O를 지나는 단면원)을 하나 고정하고, 그 위에 북극에 해당하는 점부터 남극에 해당하는 점까지 내접하는 정n각형의 절반—곧 중심각이 각각 π/n인 n개의 현으로 이루어진 꺾은선—을 그린 뒤, 이 꺾은선을 지름(두 극을 잇는 축)을 중심으로 회전시켜 얻는 회전체(n개의 원뿔대와 양 끝의 원뿔이 이어진 입체)의 옆넓이의 합 Sn을 구합니다. n→∞일 때 이 회전체는 구에 한없이 가까워지므로, Sn의 극한을 구의 겉넓이로 정의합니다.
1단계 — 현 하나의 자오면 좌표. 대원 위에서 축과 이루는 각이 α인 점을 A=(R sinα, R cosα), 각이 β인 점을 B=(R sinβ, R cosβ)라 합니다(첫 번째 좌표는 축까지의 거리≡반지름, 두 번째 좌표는 축을 따라 잰 높이). u=(α+β)/2, δ=(β−α)/2로 놓으면(0<δ<π/2), 합−차 공식(4장 예정, 선행 인용)에 의해
| A의 반지름 + B의 반지름 = R(sinα+sinβ) = 2R sin u cos δ | 사인의 합−차공식 |
| AB = (R sinα−R sinβ)²+(R cosα−R cosβ)² = 2R sin δ | 코사인법칙·반각 정리, 4장 예정 |
| A, B의 높이 차 = R|cosα−cosβ| = 2R sin u sin δ | 코사인의 합−차공식 |
또한 원점(대원의 중심 O)에서 직선 AB까지의 거리를 p라 하면, 삼각형 OAB의 넓이를 두 가지로 표현해 p=R cosδ임을 계산으로 확인할 수 있습니다(좌표 (R sinα,R cosα), (R sinβ,R cosβ)를 대입해 직접 전개하면 됩니다).
2단계 — 현 하나가 만드는 원뿔(대)의 옆넓이. AB를 축을 중심으로 회전시키면 원뿔대(또는 한쪽 반지름이 0이면 원뿔)의 옆면이 되고, 그 옆넓이는 3.33의 367번(Slat=π(반지름의 합)·모선)에 의해 π·(2R sin u cosδ)·(2R sinδ) = 4πR² sin u sinδ cosδ입니다. 한편 2π·p·(높이 차) = 2π·(R cosδ)·(2R sin u sinδ) = 4πR² sin u sinδ cosδ로 정확히 같은 값이 됩니다. 즉
Slat(현 하나) = 2π·p·(축 위 투영 길이)
3단계 — n개를 모두 더함. 내접 꺾은선의 n개 현은 모두 중심각이 π/n으로 같으므로, 각 현에 대해 δ=δn≡π/(2n)으로 일정하고, 따라서 원점에서 각 현까지의 거리도 pn=R cosδn으로 모든 현에 대해 같습니다. 각 현의 축 위 투영 길이를 모두 더하면 (첫 극에서 마지막 극까지 축 위에서 단조로 움직이므로) 정확히 지름 2R이 되어
Sn = Σ 2πpn·(투영 길이) = 2πpn·2R = 4πR² cosδn = 4πR² cosπ2n
4단계 — 극한. n→∞이면 δn=π/(2n)→0이고 cosδn→cos0=1(8.2의 635번 증명 ②단계에서 확립)이므로
Sn → 4πR²·1 = 4πR²
이 극한값을 구의 겉넓이 S로 정의합니다.
덧붙임 — 외접(접선) 다각형으로도 확인. 같은 자오면 위에서, 이번에는 원에 외접하는 n개의 접선분(각 접점의 중심각이 (k+½)π/n)을 극에서 극까지 이어 만든 회전체를 생각하면, 접선의 정의(374번 (ii))에 의해 모든 접선분의 원점까지 거리가 정확히 R이고(375번의 접선 길이 공식과 같은 성질), 이 회전체의 옆넓이의 합은
Sn′ = 4πR²/cosπ2n
이 됩니다(맨 위·맨 아래 꼭짓점이 극보다 살짝 바깥에 있어 축 위 투영의 총합이 2R/cosδn로 늘어나기 때문—계산은 내접의 경우와 같은 방식입니다). 0<cosδn<1이므로 모든 n에 대해
Sn < 4πR² < Sn′
이고 n→∞일 때 양쪽 모두 4πR²로 수렴하므로, 내접·외접 두 방향에서 조여도 같은 값을 얻는다는 것을 확인할 수 있습니다.
검산(R=3) : n=6이면 Sn≈109.24, Sn′≈117.09; n=12이면 112.13, 114.07; n=50이면 113.04, 113.15로 참값 4π3²=36π≈113.10에 양쪽에서 좁혀듭니다.
자오면 위의 내접(현, n=6)과 외접(접선, n=6) 꺾은선 — 둘 다 참원(옅은 점선)을 안팎에서 조여감
내접 다각형의 회전체가 n이 커질수록 구에 가까워지는 모습(3D 개략도, n=5의 자오선과 위도선을 표시)
사용 : 373번(정의) · 374번(접평면) · 375번(외부 접선의 길이) · 3.33의 367번(원뿔대의 옆넓이) · 3.19의 262번·263번과 같은 방식(내접 다각형의 극한) · 8.2의 635번(cosθ→1, θ→0) · [선행 인용] 4장의 사인·코사인의 합−차공식
증명 끝
377정리부피V = 43πR³
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
구를 중심 O를 지나는 축으로 위아래 반구로 나누고, 위쪽 반구의 부피를 먼저 구합니다. 축 위의 점을 O에서 잰 거리 x(0≤x≤R)로 나타내면, x에서 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 374번에 의해 반지름 r(x)=R²−x²인 원(소원)입니다.
1단계 — 원기둥으로 안쪽에서 채움. 구간 [0,R]을 n등분해 Δ=R/n, xk=kΔ (k=0,1,…,n)이라 합니다. r(x)=R²−x²는 x에 대해 감소하므로, k번째 조각 [xk−1,xk] 안에서 반구는 항상 반지름이 r(xk−1)보다 작거나 같고 r(xk)보다 크거나 같습니다. 따라서 반지름 r(xk)(그 조각에서 가장 작은 반지름), 높이 Δ인 원기둥(3.30의 346번, V=πr²h)은 그 조각 전체가 반구 안에 완전히 들어갑니다(내접). n개를 모두 더한 것을 Vn이라 하면
| Vn = πΔ Σk=1n r(xk)² = πΔ Σ(R²−(kΔ)²) | 원기둥 부피의 합 |
| = πΔnR² − πΔ³ Σk=1nk² | 전개 |
Δn=R이므로 첫째 항은 πR³이고, Σk²=1²+2²+⋯+n²=n(n+1)(2n+1)/6은 수학적 귀납법으로 증명되는 표준 항등식입니다(선행학습의 수학적 귀납법). 대입하면
| Vn = πR³ − πR³n³·n(n+1)(2n+1)6 | Δ=R/n 대입 |
| = πR³ ⋅ 1−(n+1)(2n+1)6n² ⋅ | πR³ 묶기 |
| = πR³·4n²−3n−16n² | 6n²−(2n²+3n+1)=4n²−3n−1 |
2단계 — 극한. n→∞이면 4n²−3n−16n² → 46 = 23이므로
Vn → 23πR³
이고, 이 극한값을 반구의 부피로 정의합니다. 구는 합동인 반구 두 개로 이루어지므로
V = 2·23πR³ = 43πR³
덧붙임 — 바깥쪽에서도 확인. 같은 분할에서 각 조각의 가장 큰 반지름 r(xk−1)을 쓴 원기둥(외접, 반구를 완전히 덮음)들의 합도 같은 계산으로 (4n³+3n²−n)/(6n³)·πR³ 꼴이 되어 n→∞일 때 역시 (2/3)πR³로 수렴하므로, 안팎에서 조여도 같은 값을 얻습니다.
검산(R=3, 반구) : n=6이면 내접≈49.09(구 전체≈98.17), n=20이면 내접≈54.39(전체≈108.79), n=100이면 내접≈56.12(전체≈112.25)로, 참값 (4/3)π3³=36π≈113.10에 아래에서 다가갑니다(위에서 다가가는 외접 값도 같은 극한으로 수렴함을 같은 방식으로 확인할 수 있습니다).
반구의 축 단면(사분원)을 n등분해 안쪽 원기둥(내접, 남색)과 바깥쪽 원기둥 (외접, 갈색 점선)으로 채운 모습
구를 얇은 원판(원기둥)으로 쌓아 올린 것으로 보는 3D 개략도 — 각 원판의 반지름은 그 높이에서의 실제 소원 반지름 R²−x²값
사용 : 373번(정의) · 374번(평면과 구의 교선, 소원의 반지름) · 3.30의 346번(원기둥의 부피) · 선행학습의 수학적 귀납법(제곱의 합 공식)
증명 끝