3.33 범위 밖(백과사전)
원뿔대
Frustum of a Right Circular Cone
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 원뿔(3.32)을 밑면에 평행하되 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 잘라 두 조각으로 나눌 때, 밑면을 포함하는 조각인 원뿔대(frustum of a right circular cone)를 다룹니다. 아래 밑면(원래 원뿔의 밑면)의 반지름을 R, 위 밑면(자른 단면)의 반지름을 r(0<r<R), 두 밑면 사이의 거리를 높이 h, 모선의 길이를 l이라 하고, 옆넓이 Slat, 겉넓이 S, 부피 V, 축 단면, 내접구·외접구의 반지름을 차례로 구합니다. 3.27의 각뿔대(정각뿔을 잘라 얻는 각뿔대)와 완전히 같은 구조이지만, 밑면이 다각형이 아니라 원이므로 3.32의 원뿔이 3.26의 정각뿔에서 그랬듯 몇 가지가 더 간단해집니다 — 특히 옆모서리와 빗면의 높이가 하나로 합쳐진 모선 l 하나만 있으면 되고, 옆넓이·부피는 (3.32에서 이미 증명해 둔) 원뿔 전체의 공식을 직접 이용해 큰 원뿔에서 작은 원뿔을 빼는 방식으로 얻으므로, 3.32에서처럼 내접·외접 정n각뿔의 조임(squeeze)을 새로 반복할 필요가 없습니다. 이 절의 공식 8개(365~372번)를 정리합니다.
원뿔대 — 아래 밑면(중심 O₁, 반지름 R)과 위 밑면(중심 O₂, 반지름 r), 높이 h=O₁O₂, 모선 l=A₁A₂=C₁C₂
365정의원뿔대원뿔대 = 원뿔을 밑면에 평행한 평면(꼭짓점을 지나지 않음)으로 잘라 두 조각으로 나눌 때, 밑면을 포함하는 조각
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 원뿔(3.32의 356번)을 꼭짓점 P를 지나지 않고 밑면에 평행한 평면으로 자르면 두 조각으로 나뉘는데, 꼭짓점 쪽 조각은 원래와 닮음인 더 작은 원뿔이고, 밑면 쪽 조각을 원뿔대(frustum) 또는 절두체라 합니다. 자르는 평면이 밑면과 평행하므로, 자른 단면(위 밑면)은 원래 밑면(아래 밑면)과 중심이 축 위에 있는 닮음인 원이 됩니다(3.32의 356번 — 3.27의 보조정리와 같은 논법). 아래 밑면의 반지름을 R, 위 밑면의 반지름을 r(0<r<R), 두 밑면 사이의 거리를 높이 h라 합니다.
아래 밑면의 중심을 O₁, 위 밑면의 중심을 O₂라 하면 축 O₁O₂⊥두 밑면이고 O₁O₂=h입니다. 아래 밑면 둘레 위의 한 점과, 원래 원뿔의 같은 모선 위에 있는 위 밑면 둘레의 대응점을 잇는 선분을 모선이라 하며, 그 길이는 366번에서 구합니다. 원뿔의 모든 모선이 서로 같으므로(3.32의 358번), 원뿔대의 모선도 어느 것을 택하든 서로 같습니다. 옆면은 두 개의 곡선(위·아래 밑면 둘레)과 모선들로 둘러싸인 곡면입니다.
366정리모선의 길이l = h²+(R−r)²
증명법 : 직접증명법
아래 밑면 둘레 위의 한 점을 A₁, 원래 원뿔의 같은 모선 위에서 대응하는 위 밑면 둘레의 점을 A₂라 하면, O₁A₁=R, O₂A₂=r이고(365번), 축과 원래 원뿔의 모선 PA₁은 꼭짓점 P에서 만나므로 한 평면을 정하고, A₂(PA₁ 위)와 O₁, O₂(축 위)도 이 평면 위에 있습니다. 이 평면이 평행한 두 밑면과 만나는 교선 O₁A₁, O₂A₂는 서로 평행합니다(3.27의 보조정리 ①과 같은 논법). 곧 네 점 O₁, A₁, A₂, O₂는 축을 지나는 한 평면 위에 있습니다 — 이 평면과 원뿔대의 교집합을 축 단면이라 합니다 (370번에서 자세히 다룹니다).
이 평면에서, A₂에서 직선 O₁A₁에 내린 수선의 발을 F라 하면, O₁O₂⊥O₁A₁이고 O₂A₂∥O₁A₁이므로 사각형 O₁O₂A₂F는 직사각형이고, O₁F=O₂A₂=r, FA₂=O₁O₂=h입니다. 따라서 FA₁=O₁A₁−O₁F=R−r이고, 삼각형 FA₁A₂는 F에서 직각인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
| A₁A₂² = FA₁²+FA₂² | 피타고라스 정리(3.1의 163번) |
| = (R−r)²+h² | FA₁=R−r, FA₂=h 대입 |
l = A₁A₂ = h²+(R−r)²
원뿔대의 축을 지나는 단면(직사각형 O₁O₂A₂F) — O₁A₁=R, O₂A₂=r, O₁O₂=FA₂=h, FA₁=R−r인 직각삼각형 FA₁A₂의 빗변이 모선 l
사용 : 365번(원뿔대의 정의) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
367정리옆넓이Slat = π(R+r)l
증명법 : 직접증명법
원뿔대는 원뿔을 자른 것이므로(365번) 원래 원뿔의 꼭짓점 P가 있고, 원뿔대의 모든 모선은 P를 지나는 원래 원뿔의 모선 위에 있습니다. O₁로부터 P까지의 거리를 H라 하면, 큰 원뿔(밑면 반지름 R, 높이 H)과 작은 원뿔(밑면 반지름 r, 높이 H−h)은 닮음이고, 닮음비를 k=r/R라 하면
H−hH = k, ∴ H = h1−k
큰 원뿔의 모선(꼭짓점 P부터 아래 밑면 둘레까지)을 l1, 작은 원뿔의 모선(꼭짓점 P부터 위 밑면 둘레까지)을 l2라 하면, 두 원뿔이 닮음이므로 l2=kl1이고, P, A₂, A₁이 한 모선 위에 순서대로 있으므로(366번의 그림) l1−l2=A₁A₂=l입니다. 따라서
| l1(1−k) = l | l1−l2=l1−kl1=l |
| l1 = l1−k | 양변을 (1−k)로 나눔 |
원뿔대의 옆넓이는, 큰 원뿔의 옆넓이에서 작은 원뿔의 옆넓이를 뺀 것과 같습니다. 그 근거는 다음과 같습니다. 아래 밑면 원에 내접하는 정n각형의 꼭짓점을 지나는 모선 n개는 위 밑면 원에 내접하는 정n각형의 꼭짓점도 지나므로, 이 모선들을 차례로 이은 n개의 사다리꼴(원뿔대 옆면의 내접 조각)은 각각 큰 원뿔의 내접 삼각형 조각에서 작은 원뿔의 내접 삼각형 조각을 뺀 평면 도형입니다. 따라서 넓이의 합도 (큰 원뿔의 내접 정n각뿔의 옆넓이) − (작은 원뿔의 내접 정n각뿔의 옆넓이)이고, n→∞이면 3.30의 받아들이는 사실(곡면의 넓이의 뜻)에 의해 왼쪽은 원뿔대의 옆넓이로, 오른쪽의 두 항은 3.32의 359번에서 본 대로 각각 큰 원뿔과 작은 원뿔의 옆넓이로 다가갑니다. 원뿔의 옆넓이 공식(Slat=πrl)을 큰 원뿔과 작은 원뿔에 각각 적용하면
| Slat = πRl1 − πr(kl1) | 3.32 f359를 두 원뿔에 적용, l2=kl1 대입 |
| = πl1(R−rk) | l1로 묶음 |
| = πl1·R²−r²R | k=r/R 대입, rk=r²/R |
| = π·l1−k·(R−r)(R+r)R | l1=l/(1−k) 대입, R²−r²=(R−r)(R+r) |
| = π·lRR−r·(R−r)(R+r)R | 1−k=1−r/R=(R−r)/R |
Slat = π(R+r)l
((R−r), R이 약분됩니다.)
사용 : 365번(정의) · 366번(모선의 길이) · 3.32의 358번(모선이 항상 같음) · 3.32의 359번(원뿔의 옆넓이) · 3.30의 받아들이는 사실(곡면의 넓이의 뜻)
증명 끝
368정리겉넓이S = πR² + πr² + π(R+r)l = B₁ + B₂ + Slat
369정리부피V = πh3(R²+Rr+r²)
증명법 : 직접증명법
367번에서 쓴 연장의 교점 P, 큰 원뿔(밑면 반지름 R, 높이 H)과 작은 원뿔(밑면 반지름 r, 높이 H−h=kH, 닮음비 k=r/R)을 그대로 사용합니다. 원뿔대의 부피는, 큰 원뿔의 부피에서 작은 원뿔의 부피를 뺀 것과 같습니다. 원뿔의 부피 공식(3.32의 361번, V=13πr²h′ 꼴, 여기서는 h′=H, kH에 대입)을 두 원뿔에 각각 적용하면
| V = 13πR²H − 13πr²(kH) | 3.32 f361을 두 원뿔에 적용 |
| = 13πR²H − 13π(k²R²)(kH) | r=kR 대입 |
| = 13πR²H(1−k³) | πR²H로 묶음 |
| = 13πR²· h1−k·(1−k)(1+k+k²) | 1−k³=(1−k)(1+k+k²), H=h/(1−k) 대입(367번) |
| = 13πR²h(1+k+k²) | (1−k) 약분 |
k=r/R이므로 k²=r²/R²이고, 1+k+k²=(R²+Rr+r²)/R²입니다. 대입하면
| V = 13πR²h·R²+Rr+r²R² | k=r/R 대입 |
V = πh3(R²+Rr+r²)
(R²이 약분됩니다.) 이 결과는 3.27 각뿔대의 부피(323번, V=h3(B₁+B₂+B₁B₂)와도 일치합니다 — B₁=πR², B₂=πr²를 대입하면 B₁B₂=π²R²r²=πRr이 되어 h3(πR²+πr²+πRr)=πh3(R²+Rr+r²)로 같은 식이 됩니다(검산).
원뿔대 — 모선을 연장하면 만나는 꼭짓점 P에서 큰 원뿔(밑면 반지름 R, 높이 H)과 작은 원뿔(밑면 반지름 r, 높이 H−h)의 부피 차로 원뿔대의 부피 V를 구함
사용 : 367번(닮음, 비례관계, H) · 3.32의 361번(원뿔의 부피) · 3.27의 323번(검산용 일반형과의 비교)
증명 끝
370정리축 단면등변사다리꼴(평행한 두 변 2R, 2r, 높이 h, 다리 l), 넓이 = (R+r)h
증명법 : 직접증명법
축 O₁O₂를 포함하는 평면으로 원뿔대를 자릅니다. 이 평면은 아래 밑면과 O₁을 지나는 지름 C₁A₁에서 만나고(3.19의 261번, C₁A₁=2R), 위 밑면과는 O₂를 지나는 지름 C₂A₂(C₂A₂=2r)에서 만납니다(C₁, C₂는 각각 A₁, A₂의 반대쪽 끝점이며, 두 지름이 같은 축 단면 위에서 같은 방향(366번의 평행)이므로 C₂는 C₁을 지나는 모선 위의 점입니다). 이 단면(사다리꼴 A₁C₁C₂A₂)을 축 단면이라 합니다.
평행. 두 밑면이 평행이고 C₁A₁, C₂A₂가 각각 그 밑면 위에 있으므로 C₁A₁∥C₂A₂입니다 — 곧 사다리꼴의 두 밑변입니다.
다리. A₁A₂, C₁C₂는 모두 모선이므로 366번·3.32의 358번에 의해 A₁A₂=C₁C₂=l입니다 — 곧 사다리꼴은 등변사다리꼴입니다.
높이. 축 O₁O₂는 두 밑면(따라서 C₁A₁, C₂A₂ 모두)에 수직이므로, O₁O₂가 그대로 사다리꼴의 높이이고 그 길이는 h입니다.
원뿔대를 축 O₁O₂와 지름 C₁A₁, C₂A₂를 지나는 평면(남색 면)으로 자른 위치 — 이 평면 안에서 아래의 축 단면을 얻습니다
넓이. 사다리꼴의 넓이 공식(3.9의 217번, S=a+b2·h)에 의해
| 넓이 = 2R+2r2·h | 3.9의 217번 |
넓이 = (R+r)h
어느 지름을 골라도(즉 축 단면 평면을 축 둘레로 어떻게 회전시켜 잡아도) 위 성질이 그대로 성립하므로, 축 단면은 회전대칭에 의해 항상 합동입니다.
축 단면의 2D 정확 도형 — 등변사다리꼴 A₁C₁C₂A₂(평행한 두 변 2R, 2r, 높이 h, 다리 l)
사용 : 365번(정의) · 366번(모선의 길이) · 3.32의 358번(모선이 항상 같음) · 3.19의 261번(지름) · 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이)
증명 끝
371정리내접구의 반지름(존재 조건 R+r=l)ρ = h2 = Rr
증명법 : 직접증명법
(구의 정의는 3.34의 373번을 참고하세요. 원뿔대의 내접구는 3.30의 349번에서 정한 대로 중심이 축 위에 있고, 원뿔대 안에 들어 있으며, 두 밑면과 옆면에 접하는 구입니다 — 축 조건이 없으면, 예를 들어 R=6, r=5, h=2처럼 넓적한 원뿔대에서는 지름 h인 구가 축 밖에서 두 밑면과 옆면에 접할 수 있습니다.)
① 두 밑면. 내접구의 중심을 축 위의 점 I라 하면, 축은 두 밑면에 수직이므로 I에서 두 밑면까지의 거리는 각각 O₁I, IO₂입니다(3.22 단원 서두의 약속 ⑤). 둘 다 반지름이려면 O₁I=IO₂이므로 I는 O₁O₂의 중점이고, 반지름은 ρ = h2입니다.
② 옆면까지의 거리. 원뿔의 회전대칭에 의해(3.32의 363번과 같은 논법으로), I가 옆면 전체에 접하는지는 축 단면 안에서 I로부터 모선 A₁A₂까지의 거리 d가 h2와 같고, 그 수선의 발이 선분 A₁A₂ 위에 있는지만 확인하면 됩니다. 3.27의 324번과 같은 방법으로 d를 구합니다. 사각형 O₁A₁A₂O₂는 O₁, O₂에서 직각인 사다리꼴(O₁A₁∥O₂A₂, 366번)로, 평행한 두 변이 R, r, 높이가 h, 나머지 한 변이 A₁A₂=l입니다. 선분 IA₁, IA₂는 이 사다리꼴을 삼각형 IO₁A₁, IO₂A₂, IA₁A₂ 셋으로 나누므로 넓이를 비교하면(3.9의 217번, 3.4의 195번)
| (R+r)h2 = 12·R·h2 + 12·r·h2 + 12·l·d | 사다리꼴 = 삼각형 셋 |
| (R+r)h4 = ld2 | 정리 |
d = (R+r)h2l
③ 조건. 구가 옆면에 접하려면 d=h2이어야 하므로 (R+r)h2l = h2 ⇔ R+r=l입니다. 또 l²=h²+(R−r)²(366번)이므로 R+r=l ⇔ (R+r)²=h²+(R−r)² ⇔ h²=4Rr이고, 이때 ρ = h2 = Rr입니다.
④ 접점이 옆면 위에 있음. I에서 직선 A₁A₂에 내린 수선의 발을 K라 하면, 조건이 성립할 때 IK=IO₁=IO₂=h2이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)로 A₁K²=IA₁²−IK²=IA₁²−IO₁²=O₁A₁², 곧 A₁K=R이고, 같은 방법으로 A₂K=r입니다. A₁K+KA₂=R+r=l=A₁A₂이므로 K는 선분 A₁A₂ 위, 곧 옆면 위에 있습니다(3.4 단원 서두의 약속 ⑥, 최단 경로). 따라서 R+r=l이 원뿔대가 내접구를 가질 필요충분조건이고, 이때 반지름은 ρ=h2입니다. 참고로 이 조건은 축 단면의 등변사다리꼴에서 평행한 두 변의 합이 두 다리의 합과 같다는 것(2R+2r=2l)으로, 3.11의 223번(내접원을 가진 등변사다리꼴의 조건)과도 맞습니다.
조건 R+r=l을 만족할 때의 축 단면(R=4k, r=k, h=4k 꼴의 예시, l=5k) — 내접구의 중심 I는 O₁O₂의 중점이며 반지름 ρ=h/2
원뿔대와 내접구를 함께 나타낸 그림(입체감을 위한 개략도 — 조건 R+r=l이 성립할 때만 실제로 존재하며, 실제 논증의 근거는 위 2D 정확 단면입니다)
사용 : 366번(모선의 길이) · 3.30의 349번(회전체의 내접구) · 3.32의 363번(원뿔의 회전대칭을 이용한 환원과 같은 논법) · 3.27의 324번(같은 넓이 비교) · 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이) · 3.4의 195번(삼각형의 넓이) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.11의 223번(참고) · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝
372정리외접구의 반지름Rsph = x²+R² (x = h²+r²−R²2h)
증명법 : 직접증명법
3.32의 원뿔(364번)처럼, 원뿔대도 조건 없이 항상 외접구(두 밑면 둘레 전체를 지나는 구)를 가집니다. 외접구의 중심은 아래 밑면 둘레 위의 모든 점에서 같은 거리에 있으므로, 3.30의 348번 1단계와 같은 이유로 축 O₁O₂(을 늘인 직선) 위에 있습니다. 그 점을 Q라 하고, O₁로부터 O₂ 방향을 양(+)으로 잰 Q의 위치를 x라 합시다(x<0이면 Q는 아래 밑면보다 아래에 있습니다). 370번의 축 단면에서, 아래 밑면 둘레 위의 점 A₁까지의 거리는 QA₁²=x²+R² (QO₁⊥O₁A₁, 피타고라스 정리 3.1의 163번)입니다. 이 값은 O₁A₁=R이 A₁의 선택에 관계없이 항상 같으므로 아래 밑면 둘레 위의 모든 점에 대해 동일합니다. 같은 방법으로 위 밑면 둘레의 점 A₂까지의 거리는 QA₂²=(h−x)²+r²이고, 이 역시 위 밑면 둘레 위의 모든 점에 대해 동일합니다.
Q가 두 밑면 둘레의 모든 점으로부터 같은 거리에 있으려면 QA₁=QA₂이어야 하므로
| x²+R² = (h−x)²+r² | QA₁=QA₂ |
| = h²−2hx+x²+r² | 전개 |
| R² = h²−2hx+r² | 양변에서 x² 소거 |
x = h²+r²−R²2h
이 x는 R, r, h의 값에 따라 O₁O₂ 구간의 안쪽에 있을 수도, 바깥쪽(원뿔대의 외부)에 있을 수도 있으나, 어느 경우든 위 방정식을 만족하는 점 Q는 축 위에 하나뿐이므로 외접구는 항상 존재하고 하나뿐입니다. 원뿔대는 두 밑면 둘레 위의 점들을 잇는 선분으로 채워지고 이 점들이 모두 Q에서 같은 거리에 있으므로, 원뿔대 전체가 이 구 안에 들어갑니다(구 안의 두 점을 잇는 선분은 구 안에 있습니다). 외접구의 반지름은
Rsph = QA₁ = x²+R²
검산 : r→0(위 밑면이 한 점, 즉 원뿔이 되는 극한)에서 x→h²−R²2h이고 이때 Rsph→h²+R²2h로, 3.32의 364번과 정확히 같은 형태가 됩니다.
축 단면 — 외접구의 중심 Q는 축 O₁O₂ 위의 점으로, 아래 밑면 둘레의 점 A₁와 위 밑면 둘레의 점 A₂로부터 같은 거리 Rsph에 있음(O₁Q=x)
원뿔대와 외접구를 함께 나타낸 그림(입체감을 위한 개략도 — 실제 논증의 근거는 위 2D 정확 단면입니다)
사용 : 370번(축 단면, R, r) · 3.30의 348번(원 둘레에서 같은 거리인 점은 축 위) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.32의 364번(검산용 극한 비교) · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝