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3.27   범위 밖(백과사전)

각뿔대

Frustum of a Regular Pyramid

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 정각뿔(3.26)을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 두 조각으로 나눌 때 밑면을 포함하는 조각인 각뿔대(frustum of a regular pyramid)를 다룹니다. 아래 밑면(원래 정각뿔의 밑면)과 위 밑면(자른 단면)은 서로 닮음인 정n각형이고 평행하며, 아래 밑면 한 변의 길이를 a, 위 밑면 한 변의 길이를 b(0<b<a), 두 밑면 사이의 거리(높이)를 h로 둡니다. 위 밑면은 아래 밑면을 중심 O에서 일정한 비율로 축소한 도형이므로, 아래 밑면의 외접원의 반지름 R₁·내접원의 반지름(아포템) r₁과 위 밑면의 외접원의 반지름 R₂·내접원의 반지름 r₂ 사이에는 R₂/R₁ = r₂/r₁ = b/a라는 비례관계가 성립합니다(3.18의 외접원·내접원 반지름 공식을 두 밑면에 각각 적용, 256번, 257번). 이 절의 공식 8개(318~325번)를 정리하며, 대표 도형에서는 n=4인 경우를 예로 들어 아래 밑면을 ABCD, 위 밑면을 EFGH(A 위에 E, B 위에 F, C 위에 G, D 위에 H)로 표기합니다.

각뿔대 ABCD-EFGH(n=4인 경우를 예로 그림) — 아래 밑면 ABCD(한 변 a), 위 밑면 EFGH(한 변 b), 두 밑면 사이의 거리 h(점선은 보이지 않는 모서리 AD, DC, DH와 내부의 축)

318정의각뿔대각뿔대 = 정각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 두 조각으로 나눌 때, 밑면을 포함하는 조각

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 정각뿔(3.26의 310번)의 정점 P를 지나지 않고 밑면에 평행한 평면으로 자르면 두 조각으로 나뉘는데, 정점 쪽 조각은 원래와 닮음인 더 작은 정각뿔이고, 밑면 쪽 조각을 각뿔대(frustum) 또는 절두체라 합니다. 자르는 평면이 밑면과 평행하므로, 자른 단면(위 밑면)은 원래 밑면(아래 밑면)과 중심을 공유하는 닮음인 정n각형이 됩니다(정점을 중심으로 하는 확대·축소 변환의 성질). 아래 밑면 한 변의 길이를 a, 위 밑면 한 변의 길이를 b(0<b<a), 두 밑면 사이의 거리를 높이 h라 합니다. 닮음비를 k=b/a라 하면, 위 밑면의 외접원의 반지름과 내접원의 반지름도 각각 아래 밑면의 것에 같은 비율로 축소되어 R₂=kR₁, r₂=kr₁(R₁, r₁은 아래 밑면의 외접원·내접원의 반지름, 3.18의 256번, 257번)이 됩니다. 아래 밑면의 각 꼭짓점과, 중심에서 본 같은 방사 방향에 있는 위 밑면의 꼭짓점을 잇는 선분을 옆모서리라 하며, 옆모서리로 둘러싸인 n개의 옆면은 모두 합동인 이등변사다리꼴입니다(회전대칭성에 의함).

사용 : 3.26의 310번(정각뿔의 정의) · 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.18의 257번(내접원의 반지름/아포템)

319정리옆모서리의 길이l = h²+(R₁-R₂)²

증명법 : 직접증명법

아래 밑면의 중심을 O₁, 위 밑면의 중심을 O₂라 하면, 두 밑면이 평행하고 원래 정각뿔의 축 PO₁⊥밑면이었으므로(318번) O₁O₂⊥두 밑면이고 O₁O₂=h입니다. 아래 밑면의 한 꼭짓점을 A₁, 이와 같은 방사 방향에 있는 위 밑면의 꼭짓점을 A₂라 하면 O₁A₁=R₁, O₂A₂=R₂이고(318번), O₁A₁와 O₂A₂는 같은 방사 방향이므로 서로 평행합니다. 따라서 네 점 O₁, A₁, A₂, O₂는 한 평면(축을 지나는 평면) 위에 있습니다.

이 평면에서, A₂에서 직선 O₁A₁에 내린 수선의 발을 F라 하면, O₁O₂⊥O₁A₁이고 O₂A₂∭O₁A₁이므로 사각형 O₁O₂A₂F는 직사각형이고, O₁F=O₂A₂=R₂, FA₂=O₁O₂=h입니다. 따라서 FA₁=O₁A₁-O₁F=R₁-R₂이고, 삼각형 FA₁A₂는 F에서 직각인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해

A₁A₂² = FA₁²+FA₂²	피타고라스 정리(3.1의 163번)
= (R₁-R₂)²+h²	FA₁=R₁-R₂, FA₂=h 대입

l = A₁A₂ = h²+(R₁-R₂)²

밑면이 정n각형이므로 이 값은 어느 꼭짓점 쌍을 택하든 동일합니다(옆모서리의 길이가 모두 같음).

각뿔대를 축 O₁O₂와 꼭짓점 B, F를 지나는 평면(붉은 면)으로 자른 위치 — 이 평면 안에서 아래의 축 단면을 얻습니다

각뿔대의 축을 지나는 단면(직사각형 O₁O₂A₂F) — O₁A₁=R₁, O₂A₂=R₂, O₁O₂=FA₂=h, FA₁=R₁-R₂인 직각삼각형 FA₁A₂의 빗변이 옆모서리 l

사용 : 318번(각뿔대의 정의) · 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)

증명 끝

320정리빗면의 높이m = h²+(r₁-r₂)²

증명법 : 직접증명법

아래 밑면의 한 변의 중점을 M₁, 이에 대응하는 위 밑면의 변의 중점을 M₂라 하면 O₁M₁=r₁, O₂M₂=r₂(밑면의 내접원의 반지름/아포템, 318번)이고, 319번과 완전히 같은 논리(O₁O₂⊥O₁M₁, O₂M₂∭O₁M₁인 직사각형을 만들고 피타고라스 정리를 적용)로 M₁M₂²=h²+(r₁-r₂)²입니다. 즉

M₁M₂ = h²+(r₁-r₂)²

이 M₁M₂가 실제로 옆면(이등변사다리꼴)의 높이임을 확인해야 합니다 — 밑변이 M₁을 중점으로 갖는 아래 밑면의 한 변, 윗변이 M₂를 중점으로 갖는 대응하는 위 밑면의 변인 옆면은 두 다리의 길이가 l(319번)로 같은 이등변사다리꼴이고, 이등변사다리꼴의 대칭축(두 평행한 변의 중점을 잇는 선분)은 두 평행한 변에 각각 수직입니다(3.2의 173번의 이등변삼각형의 대칭성과 같은 논리를 이등변사다리꼴에 적용). M₁M₂는 바로 이 대칭축이므로 두 밑변에 수직이고, 따라서 이 옆면의 높이입니다. 이 값을 빗면의 높이(slant height)라 부릅니다.

m = h²+(r₁-r₂)²

각뿔대를 축 O₁O₂와 두 밑변의 중점 M₁, M₂(아포템 방향)을 지나는 평면(남색 면)으로 자른 위치 — 이 평면 안에서 아래의 축 단면을 얻습니다

각뿔대의 축을 지나는 단면(아포템 방향) — O₁M₁=r₁, O₂M₂=r₂, O₁O₂=h인 직각삼각형에서 빗면의 높이 m = M₁M₂ = h²+(r₁-r₂)²

사용 : 318번 · 319번과 같은 논리 · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.2의 173번과 같은 논리(대칭축과 밑변의 수직)

증명 끝

321정리옆넓이Sₗₐₜ = (p₁+p₂)m (p₁=na2, p₂=nb2)

증명법 : 직접증명법

옆면은 평행한 두 변의 길이가 a, b이고 높이가 m(320번)인 합동인 이등변사다리꼴 n개(318번)로 이루어져 있으므로, 사다리꼴의 넓이 공식(3.9의 217번, S=a+b2·h)에 의해 옆면 하나의 넓이는 a+b2m입니다. 옆넓이는 이 n개의 넓이의 합이므로

Sₗₐₜ = n·a+b2m = na+nb2m

아래 밑면의 둘레는 na, 위 밑면의 둘레는 nb(3.18의 258번을 두 밑면에 각각 적용)이고, 그 절반을 각각 p₁=na2, p₂=nb2(3.26의 313번과 같은 표기)라 두면 다음과 같습니다.

Sₗₐₜ = (p₁+p₂)m

각뿔대의 한 옆면 ABFE(밑변 a, 윗변 b인 이등변사다리꼴) — M₁, M₂는 각각 밑변과 윗변의 중점이며 M₁M₂=m(320번)은 이 옆면의 높이. 합동인 옆면 n개의 넓이의 합이 옆넓이 Sₗₐₜ = (p₁+p₂)m

사용 : 318번 · 320번(빗면의 높이) · 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이) · 3.18의 258번(둘레) · 3.26의 313번과 같은 반둘레 표기

증명 끝

322정리겉넓이S = B₁ + B₂ + Sₗₐₜ

증명법 : 직접증명법

각뿔대의 겉면은 아래 밑면(넓이 B₁=p₁r₁), 위 밑면(넓이 B₂=p₂r₂, 두 값 모두 3.18의 259번을 각 밑면에 적용), 그리고 옆면 전체(옆넓이 (p₁+p₂)m, 321번)로 이루어져 있으므로, 겉넓이는 이 세 부분의 넓이의 합입니다 :

S = B₁ + B₂ + Sₗₐₜ = B₁ + B₂ + (p₁+p₂)m

각뿔대 ABCD-EFGH(n=4 예시) — 아래 밑면(B₁), 위 밑면(B₂), 옆넓이의 합이 겉넓이 S

사용 : 3.18의 259번(밑면의 넓이) · 321번(옆넓이)

증명 끝

323정리부피V = h3(B₁+B₂+B₁B₂)

증명법 : 직접증명법

각뿔대의 n개의 옆모서리를 각각 정점 방향으로 연장하면 한 점에서 만나 원래의 정각뿔을 복원할 수 있습니다 — 319번의 축 단면(직선 O₁A₁를 포함하는 평면)에서, 직선 A₁A₂를 연장해 축 O₁O₂(반지름 0에 대응하는 점들의 자취)와 만나는 점을 P, O₁로부터 P까지의 거리를 H라 하면, 삼각형의 닮음(직선 A₁A₂가 두 평행선 O₁A₁, O₂A₂를 가로지르므로)에 의해 H : (H-h) = R₁ : R₂가 성립합니다. 밑면이 정n각형이므로 이 비율 R₂/R₁=b/a(318번)는 어느 옆모서리를 택하든 동일하고, 따라서 축 위의 점 P는 모든 옆모서리의 연장선이 공통으로 지나는 하나의 점입니다. 닮음비를 k=b/a(=R₂/R₁)라 두면

H-hH = k	닮음비의 정의
H(1-k) = h	양변에 H 곱하고 정리

H = h1-k

이제 각뿔대의 부피는, 정점 P와 아래 밑면(넓이 B₁, 높이 H)으로 이루어진 큰 정각뿔의 부피에서 정점 P와 위 밑면(넓이 B₂, 높이 H-h=kH)으로 이루어진 작은 정각뿔의 부피를 뺀 것과 같습니다. 각뿔의 부피 공리(3.25의 304번, 3.26에서 정각뿔에도 그대로 적용됨)를 큰 정각뿔과 작은 정각뿔에 각각 적용하고, 위 밑면은 아래 밑면을 비율 k로 축소한 정n각형이므로 넓이 공식(3.18의 259번, B=pr에서 p, r이 모두 k배가 됨)에 의해 B₂=k²B₁임을 이용하면

V = 13B₁H - 13B₂(kH)	두 정각뿔의 부피 공리(3.25 f304)를 적용, 차로 계산
= 13B₁H - 13(k²B₁)(kH)	B₂=k²B₁ 대입(3.18 f259)
= 13B₁H(1-k³)	B₁H로 묶음
= 13B₁· h1-k·(1-k)(1+k+k²)	1-k³=(1-k)(1+k+k²), H=h/(1-k) 대입
= 13B₁h(1+k+k²)	(1-k) 약분

V = h3(B₁+kB₁+k²B₁)

B₂=k²B₁이므로 k²B₁=B₂이고, 이로부터

k = B₂B₁ (k>0)

입니다. 이 식을 이용하면

kB₁ = B₁B₂B₁	위 k 대입
= B₁²·B₂B₁	B₁을 근호 안으로
= B₁B₂	약분(B₁²/B₁=B₁)

따라서

V = h3(B₁+B₁B₂+B₂) = h3(B₁+B₂+B₁B₂)

각뿔대 ABCD-EFGH — 옆모서리를 연장하면 만나는 정점 P에서 큰 정각뿔(밑면 B₁, 높이 H)과 작은 정각뿔(밑면 B₂, 높이 H-h)의 부피 차로 각뿔대의 부피 V를 구함

사용 : 318번·319번(닮음, 비례관계) · 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리) · 3.18의 259번(정n각형의 넓이, 닮음비의 제곱으로 스케일)

증명 끝

324정리내접구의 반지름(존재 조건 r₁+r₂=m)r = h2

증명법 : 직접증명법

각뿔대의 내부에 두 밑면과 모든 옆면에 동시에 접하는 구(내접구)가 존재한다고 합시다. 내접구는 두 평행한 밑면 평면에 동시에 접해야 하는데, 평행한 두 평면 사이의 거리가 h이므로 이 두 평면에 동시에 접하는 구는 지름이 정확히 h인 구뿐입니다(구의 정의와 성질은 3.34의 373번을 참고하세요). 따라서 내접구의 중심 I는 대칭성에 의해 축 O₁O₂ 위, O₁O₂의 중점(O₁I=IO₂=h2)에 있고, 반지름은 다음과 같습니다.

r = h2

I가 옆면에도 접하려면, 320번의 축 단면(O₁, M₁, M₂, O₂를 지나는 평면, M₁, M₂는 밑면 한 변의 중점)에서 I로부터 직선 M₁M₂까지의 거리가 r=h2와 같아야 합니다. 이 조건은, O₁, M₁, M₂, O₂가 이루는 사각형(평행한 두 변의 길이 r₁, r₂, 다리의 길이 h와 m인 직사각다리꼴)을 축에 대해 대칭으로 반사시켜 얻는 등변사다리꼴(평행한 두 변의 길이 2r₁, 2r₂, 다리의 길이 m인 이등변사다리꼴, 높이는 그대로 h)이 내접원을 갖기 위한 조건과 같습니다. 등변사다리꼴이 내접원을 갖기 위한 조건은 평행한 두 변의 길이의 합이 다리의 길이의 합과 같다는 것(3.11의 223번, a+b=2c)이므로, 여기서는 2r₁+2r₂=2m, 즉 r₁+r₂=m이 각뿔대가 내접구를 가지기 위한 필요충분조건입니다. 이 조건이 성립하면 해당 등변사다리꼴의 내접원의 반지름은 3.11의 226번에 의해 등변사다리꼴의 높이2 = h2이고, 이는 대칭축(축 O₁O₂) 위에서 정확히 우리가 구한 내접구의 중심 I와 반지름 h2에 대응하므로 일관됩니다. 따라서 조건 r₁+r₂=m이 성립할 때, 각뿔대의 내접구의 반지름은

r = h2

각뿔대를 축 O₁O₂와 두 밑변의 중점 M₁, M₂를 지나는 평면(남색 면)으로 자른 위치 — 조건 r₁+r₂=m이 성립하면 이 평면 안에 내접구의 중심 I(축의 중점)를 지나는 내접원이 그려짐(아래 축 단면 참고)

조건 r₁+r₂=m을 만족할 때의 축 단면 — 내접구의 중심 I는 O₁O₂의 중점이며, 두 밑면(O₁, O₂)과 옆면의 자취(직선 M₁M₂ 위의 점 K)까지의 거리가 모두 반지름 r=h2로 같음

사용 : 320번(빗면의 높이, 축 단면) · 3.11의 223번(등변사다리꼴이 내접원을 갖기 위한 조건) · 3.11의 226번 (내접원의 반지름) · 3.34의 373번(구의 정의)

증명 끝

325정리외접구의 반지름R = x²+R₁² (x = h²+R₂²-R₁²2h)

증명법 : 직접증명법

정각뿔의 경우(3.26의 317번)와 달리, 각뿔대는 조건 없이 항상 외접구(두 밑면의 모든 꼭짓점을 지나는 구)를 가집니다. 축 O₁O₂ 위에 점 Q를 잡되, O₁로부터 O₂ 방향으로 거리 x만큼 떨어진 점이라 합시다. 319번의 축 단면에서, 아래 밑면의 꼭짓점 A₁까지의 거리는 O₁A₁=R₁이고 QO₁⊥O₁A₁이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 QA₁²=x²+R₁²입니다. 같은 방법으로 위 밑면의 대응하는 꼭짓점 A₂까지의 거리는 QA₂²=(h-x)²+R₂²입니다. Q가 두 밑면의 모든 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있으려면(정n각형의 대칭성에 의해 밑면 내에서는 자동으로 성립하므로, 아래 밑면과 위 밑면 사이에서만) QA₁=QA₂이어야 하므로

x²+R₁² = (h-x)²+R₂²	QA₁=QA₂
= h²-2hx+x²+R₂²	전개
R₁² = h²-2hx+R₂²	양변에서 x² 소거

x = h²+R₂²-R₁²2h

이 x는 R₁, R₂, h의 값에 따라 O₁O₂ 구간의 안쪽에 있을 수도, 바깥쪽(각뿔대의 외부)에 있을 수도 있으나, 어느 경우든 위 방정식을 만족하는 점 Q는 항상 유일하게 존재합니다. 외접구의 반지름은 (x는 위와 같음) 다음과 같습니다.

R = QA₁ = x²+R₁²

검산 : R₂→0(위 밑면이 한 점, 즉 정각뿔이 되는 극한)에서 x→h²-R₁²2h이고 이때 R→h²+R₁²2h로, 3.26의 317번과 정확히 같은 형태가 됩니다.

각뿔대를 축 O₁O₂와 꼭짓점 B, F를 지나는 평면(붉은 면)으로 자른 위치 — 외접구의 중심 Q도 이 평면 위, 축 O₁O₂ 위에 있음(아래 축 단면 참고)

각뿔대의 축 단면 — 외접구의 중심 Q는 축 O₁O₂ 위의 점으로, 아래 밑면의 꼭짓점 A₁와 위 밑면의 꼭짓점 A₂로부터 같은 거리 R에 있음(O₁Q=x)

사용 : 319번(축 단면, R₁, R₂) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.26의 317번(검산용 극한 비교) · 3.34의 373번(구의 정의)

증명 끝