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3.27   범위 밖(백과사전)

각뿔대

Frustum of a Regular Pyramid

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 정각뿔(3.26)을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 두 조각으로 나눌 때 밑면을 포함하는 조각인 각뿔대(frustum of a regular pyramid)를 다룹니다. 아래 밑면(원래 정각뿔의 밑면)과 위 밑면(자른 단면)은 서로 닮음인 정n각형이고 평행하며, 아래 밑면 한 변의 길이를 a, 위 밑면 한 변의 길이를 b(0<b<a), 두 밑면 사이의 거리(높이)를 h로 둡니다. 위 밑면은 아래 밑면과 닮음비 k=b/a로 닮음이므로(아래 보조정리), 아래 밑면의 외접원의 반지름 R₁·내접원의 반지름(아포템) r₁과 위 밑면의 외접원의 반지름 R₂·내접원의 반지름 r₂ 사이에는 R₂/R₁ = r₂/r₁ = b/a라는 비례관계가 성립합니다(3.18의 외접원·내접원 반지름 공식을 두 밑면에 각각 적용, 256번, 257번). 이 절의 정의 1개와 공식 7개(318~325번)를 정리하며, 대표 도형에서는 n=4인 경우를 예로 들어 아래 밑면을 ABCD, 위 밑면을 EFGH(A 위에 E, B 위에 F, C 위에 G, D 위에 H)로 표기합니다.

각뿔대 ABCD-EFGH(n=4인 경우를 예로 그림) — 아래 밑면 ABCD(한 변 a), 위 밑면 EFGH(한 변 b), 두 밑면 사이의 거리 h(점선은 보이지 않는 모서리 AD, DC, DH와 내부의 축)

318정의각뿔대각뿔대 = 정각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 두 조각으로 나눌 때, 밑면을 포함하는 조각

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 정각뿔(3.26의 310번)의 정점 P를 지나지 않고 밑면에 평행한 평면으로 자르면 두 조각으로 나뉘는데, 정점 쪽 조각은 원래와 닮음인 더 작은 정각뿔이고, 밑면 쪽 조각을 각뿔대(frustum) 또는 절두체라 합니다. 자르는 평면이 밑면과 평행하므로, 자른 단면(위 밑면)은 원래 밑면(아래 밑면)과 닮음인 정n각형이고 그 중심은 축 위에 있습니다(바로 아래 보조정리). 정각뿔을 자른 것이므로 정확히는 정각뿔대이며, 이 절의 각뿔대는 모두 정각뿔대를 뜻합니다. 아래 밑면 한 변의 길이를 a, 위 밑면 한 변의 길이를 b(0<b<a), 두 밑면 사이의 거리를 높이 h라 합니다. 닮음비를 k=b/a라 하면, 위 밑면의 외접원의 반지름과 내접원의 반지름도 각각 아래 밑면의 것에 같은 비율로 축소되어 R₂=kR₁, r₂=kr₁(R₁, r₁은 아래 밑면의 외접원·내접원의 반지름, 3.18의 256번, 257번)이 됩니다(보조정리 ③). 아래 밑면의 각 꼭짓점 A와, 모서리 PA가 자르는 평면과 만나는 위 밑면의 꼭짓점을 잇는 선분을 옆모서리라 합니다. n개의 옆면은 모두 합동인 이등변사다리꼴이며, 이는 319번·320번에서 확인합니다.

사용 : 3.26의 310번(정각뿔의 정의) · 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.18의 257번(내접원의 반지름/아포템)

·보조정리밑면에 평행한 단면 (318~325번의 근거)단면은 밑면과 닮음비 k인 정n각형, 축은 단면에 수직

증명법 : 직접증명법

진술. 정각뿔 P-A₁A₂⋯A_n(밑면의 중심 O₁, 높이 PO₁=H)을 밑면에 평행한(밑면이 놓인 평면과 만나지 않는) 평면 π로 자르고, π가 선분 PO₁, PA₁, …, PA_n과 만나는 점을 O₂, A₁′, …, A_n′이라 합니다. k=PO₂/PO₁이라 하면 : ① A_iA_j∥A_i′A_j′, O₁A_i∥O₂A_i′입니다. ② 축 PO₁은 π에도 수직입니다(곧 O₂는 P에서 π에 내린 수선의 발). ③ PA_i′=k·PA_i, A_i′A_j′=k·A_iA_j, O₂A_i′=k·O₁A_i이고, 단면 A₁′⋯A_n′은 중심이 O₂이고 한 변이 밑면의 k배인 정n각형입니다. 따라서 외접원·내접원의 반지름도 k배이고, 두 평면 사이의 거리는 O₁O₂=(1-k)H입니다.

①의 증명. 직선 A_iA_j와 A_i′A_j′은 모두 평면 PA_iA_j 위에 있습니다(A_i′은 PA_i 위, A_j′은 PA_j 위, 3.22 단원 서두의 약속 ④). 그런데 한 직선은 밑면이 놓인 평면 위에, 다른 직선은 π 위에 있고 두 평면은 만나지 않으므로 두 직선도 만나지 않습니다. 한 평면 위에서 만나지 않는 두 직선은 평행하므로 A_iA_j∥A_i′A_j′입니다. 평면 PO₁A_i 위의 O₁A_i, O₂A_i′도 같습니다.

②의 증명. PO₁⊥밑면이므로 PO₁⊥O₁A₁이고, 평면 PO₁A₁ 안에서 O₂A₁′∥O₁A₁(①)이므로 동위각이 같아 PO₁⊥O₂A₁′입니다. 같은 이유로 PO₁⊥O₂A₂′입니다. O₁A₁과 O₁A₂는 한 직선 위에 있지 않으므로 O₂A₁′과 O₂A₂′도 π 위에서 O₂에서 만나는 서로 다른 두 직선이고, 3.22 단원 서두의 약속 ②(수직 판정)에 의해 PO₁⊥π입니다.

③의 증명. 평면 PO₁A_i 안에서 O₂A_i′∥O₁A_i이므로 동위각이 같아 △PO₂A_i′ ∽ △PO₁A_i(AA 닮음)이고, PA_i′/PA_i = O₂A_i′/O₁A_i = PO₂/PO₁ = k입니다. 같은 방법으로 평면 PA_iA_j 안에서 △PA_i′A_j′ ∽ △PA_iA_j이므로 A_i′A_j′=k·A_iA_j입니다. 따라서 단면의 변은 모두 k·a로 같고, 이웃한 세 꼭짓점이 이루는 삼각형 A_i-1′A_i′A_i+1′은 밑면의 A_i-1A_iA_i+1과 세 변의 비가 k로 같아 닮음이므로 단면의 내각도 밑면의 내각과 같습니다. 곧 단면은 한 변이 ka인 정n각형이고, O₂는 모든 꼭짓점으로부터 같은 거리 kR₁에 있으므로 그 중심입니다. 외접원·내접원의 반지름은 한 변의 길이에 비례하므로(3.18의 256번·257번) 모두 k배입니다. 끝으로 ②에 의해 두 평면 사이의 거리는 O₁O₂=PO₁-PO₂=(1-k)H입니다.

사용 : 3.26의 310번(정각뿔의 정의) · 3.22 단원 서두의 약속 ④(평면의 결정) · 3.22 단원 서두의 약속 ②(수직 판정) · AA 닮음조건 · 3.18의 256번·257번(외접원·내접원의 반지름)

증명 끝

319정리옆모서리의 길이l = h²+(R₁-R₂)²

증명법 : 직접증명법

아래 밑면의 중심을 O₁, 위 밑면의 중심을 O₂라 하면, 보조정리 ②③에 의해 축 O₁O₂는 두 밑면에 모두 수직이고 O₁O₂=h입니다. 아래 밑면의 한 꼭짓점을 A₁, 모서리 PA₁이 위 밑면과 만나는 꼭짓점을 A₂라 하면 O₁A₁=R₁, O₂A₂=R₂입니다. 네 점 O₁, A₁, A₂, O₂는 모두 평면 PO₁A₁ 위에 있고(A₂은 PA₁ 위, O₂는 PO₁ 위), 보조정리 ①에 의해 O₂A₂∥O₁A₁입니다.

이 평면에서, A₂에서 직선 O₁A₁에 내린 수선의 발을 F라 하면, O₁O₂⊥O₁A₁이고 O₂A₂∥O₁A₁이므로 사각형 O₁O₂A₂F는 직사각형이고, O₁F=O₂A₂=R₂, FA₂=O₁O₂=h입니다. 따라서 FA₁=O₁A₁-O₁F=R₁-R₂이고, 삼각형 FA₁A₂는 F에서 직각인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해

A₁A₂² = FA₁²+FA₂²	피타고라스 정리(3.1의 163번)
= (R₁-R₂)²+h²	FA₁=R₁-R₂, FA₂=h 대입

l = A₁A₂ = h²+(R₁-R₂)²

밑면이 정n각형이므로 이 값은 어느 꼭짓점 쌍을 택하든 동일합니다(옆모서리의 길이가 모두 같음).

각뿔대를 축 O₁O₂와 꼭짓점 B, F를 지나는 평면(붉은 면)으로 자른 위치 — 이 평면 안에서 아래의 축 단면을 얻습니다

각뿔대의 축을 지나는 단면(직사각형 O₁O₂A₂F) — O₁A₁=R₁, O₂A₂=R₂, O₁O₂=FA₂=h, FA₁=R₁-R₂인 직각삼각형 FA₁A₂의 빗변이 옆모서리 l

사용 : 318번(각뿔대의 정의) · 보조정리(평행한 단면) · 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)

증명 끝

320정리빗면의 높이m = h²+(r₁-r₂)²

증명법 : 직접증명법

아래 밑면의 한 변의 중점을 M₁, 이에 대응하는 위 밑면의 변의 중점을 M₂라 하면 O₁M₁=r₁, O₂M₂=r₂(밑면의 내접원의 반지름/아포템, 318번)이고, 319번과 완전히 같은 논리(O₁O₂⊥O₁M₁, O₂M₂∥O₁M₁(보조정리 ①)인 직사각형을 만들고 피타고라스 정리를 적용)로 M₁M₂²=h²+(r₁-r₂)²입니다. 즉

M₁M₂ = h²+(r₁-r₂)²

이 M₁M₂가 실제로 옆면의 높이임을 확인해야 합니다. 아래 밑면의 변을 A₁B₁(중점 M₁), 이에 대응하는 위 밑면의 변을 A₂B₂라 하면, 옆면 A₁B₁B₂A₂는 원래 정각뿔의 옆면 PA₁B₁ 안에 있고 A₂B₂∥A₁B₁입니다(보조정리 ①). 보조정리 ③에서 PA₂=k·PA₁, PB₂=k·PB₁이므로, 중선 PM₁이 A₂B₂와 만나는 점을 M이라 하면 닮음(평면 PA₁B₁ 안의 AA 닮음)에 의해 A₂M=k·A₁M₁=k·B₁M₁=B₂M, 곧 M은 A₂B₂의 중점 M₂입니다. 3.26의 312번에서 PM₁⊥A₁B₁이고 A₂B₂∥A₁B₁이므로, 선분 M₁M₂(직선 PM₁의 일부)는 두 밑변에 모두 수직입니다. 따라서 M₁M₂는 이 옆면의 높이입니다. 또 옆면의 두 다리 A₁A₂, B₁B₂는 길이가 l(319번)로 같으므로 옆면은 이등변사다리꼴이고, n개의 옆면은 평행한 두 변 a, b·다리 l·높이 m이 모두 같아 서로 합동입니다. 이 값을 빗면의 높이(slant height)라 부릅니다.

m = h²+(r₁-r₂)²

각뿔대를 축 O₁O₂와 두 밑변의 중점 M₁, M₂(아포템 방향)을 지나는 평면(남색 면)으로 자른 위치 — 이 평면 안에서 아래의 축 단면을 얻습니다

각뿔대의 축을 지나는 단면(아포템 방향) — O₁M₁=r₁, O₂M₂=r₂, O₁O₂=h인 직각삼각형에서 빗면의 높이 m = M₁M₂ = h²+(r₁-r₂)²

사용 : 318번 · 보조정리(평행한 단면, 닮음비 k) · 319번과 같은 논리 · 3.26의 312번(PM₁⊥A₁B₁) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · AA 닮음조건

증명 끝

321정리옆넓이Sₗₐₜ = (p₁+p₂)m (p₁=na2, p₂=nb2)

증명법 : 직접증명법

옆면은 평행한 두 변의 길이가 a, b이고 높이가 m(320번)인 합동인 이등변사다리꼴 n개(318번)로 이루어져 있으므로, 사다리꼴의 넓이 공식(3.9의 217번, S=a+b2·h)에 의해 옆면 하나의 넓이는 a+b2m입니다. 옆넓이는 이 n개의 넓이의 합이므로

Sₗₐₜ = n·a+b2m = na+nb2m

아래 밑면의 둘레는 na, 위 밑면의 둘레는 nb(3.18의 258번을 두 밑면에 각각 적용)이고, 그 절반을 각각 p₁=na2, p₂=nb2(3.26의 313번과 같은 표기)라 두면 다음과 같습니다.

Sₗₐₜ = (p₁+p₂)m

각뿔대의 한 옆면 ABFE(밑변 a, 윗변 b인 이등변사다리꼴) — M₁, M₂는 각각 밑변과 윗변의 중점이며 M₁M₂=m(320번)은 이 옆면의 높이. 합동인 옆면 n개의 넓이의 합이 옆넓이 Sₗₐₜ = (p₁+p₂)m

사용 : 318번 · 320번(빗면의 높이) · 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이) · 3.18의 258번(둘레) · 3.26의 313번과 같은 반둘레 표기

증명 끝

322정리겉넓이S = B₁ + B₂ + Sₗₐₜ

증명법 : 직접증명법

각뿔대의 겉면은 아래 밑면(넓이 B₁=p₁r₁), 위 밑면(넓이 B₂=p₂r₂, 두 값 모두 3.18의 259번을 각 밑면에 적용), 그리고 옆면 전체(옆넓이 (p₁+p₂)m, 321번)로 이루어져 있으므로, 겉넓이는 이 세 부분의 넓이의 합입니다 :

S = B₁ + B₂ + Sₗₐₜ = B₁ + B₂ + (p₁+p₂)m

각뿔대 ABCD-EFGH(n=4 예시) — 아래 밑면(B₁), 위 밑면(B₂), 옆넓이의 합이 겉넓이 S

사용 : 3.18의 259번(밑면의 넓이) · 321번(옆넓이)

증명 끝

323정리부피V = h3(B₁+B₂+B₁B₂)

증명법 : 직접증명법

각뿔대는 정각뿔 P-(아래 밑면)을 잘라 만든 것이므로(318번), 옆모서리를 연장하면 모두 원래의 정점 P를 지납니다. 원래 정각뿔의 높이를 H=PO₁이라 하면, 보조정리 ③에서 PO₂=kH(k=b/a=R₂/R₁)이고 h=O₁O₂=H-kH이므로

H-hH = k	보조정리 ③(PO₂=kH)
H(1-k) = h	양변에 H 곱하고 정리

H = h1-k

이제 각뿔대의 부피는, 정점 P와 아래 밑면(넓이 B₁, 높이 H)으로 이루어진 큰 정각뿔의 부피에서 정점 P와 위 밑면(넓이 B₂, 높이 H-h=kH)으로 이루어진 작은 정각뿔의 부피를 뺀 것과 같습니다. 각뿔의 부피 공리(3.25의 304번, 3.26에서 정각뿔에도 그대로 적용됨)를 큰 정각뿔과 작은 정각뿔에 각각 적용하고, 위 밑면은 아래 밑면을 비율 k로 축소한 정n각형이므로 넓이 공식(3.18의 259번, B=pr에서 p, r이 모두 k배가 됨)에 의해 B₂=k²B₁임을 이용하면

V = 13B₁H - 13B₂(kH)	두 정각뿔의 부피 공리(3.25 f304)를 적용, 차로 계산
= 13B₁H - 13(k²B₁)(kH)	B₂=k²B₁ 대입(3.18 f259)
= 13B₁H(1-k³)	B₁H로 묶음
= 13B₁· h1-k·(1-k)(1+k+k²)	1-k³=(1-k)(1+k+k²), H=h/(1-k) 대입
= 13B₁h(1+k+k²)	(1-k) 약분

V = h3(B₁+kB₁+k²B₁)

B₂=k²B₁이므로 k²B₁=B₂이고, 이로부터

k = B₂B₁ (k>0)

입니다. 이 식을 이용하면

kB₁ = B₁B₂B₁	위 k 대입
= B₁²·B₂B₁	B₁을 근호 안으로
= B₁B₂	약분(B₁²/B₁=B₁)

따라서

V = h3(B₁+B₁B₂+B₂) = h3(B₁+B₂+B₁B₂)

(참고 : 이 증명은 밑면이 정n각형이라는 사실을 B₂=k²B₁과 높이 kH에만 썼습니다. 밑면이 일반 다각형인 각뿔을 밑면에 평행하게 자른 각뿔대에서도 이 두 사실이 같은 방법(평행한 단면의 닮음)으로 성립하므로, 부피 공식은 일반 각뿔대에도 그대로 성립합니다.)

각뿔대 ABCD-EFGH — 옆모서리를 연장하면 만나는 정점 P에서 큰 정각뿔(밑면 B₁, 높이 H)과 작은 정각뿔(밑면 B₂, 높이 H-h)의 부피 차로 각뿔대의 부피 V를 구함

사용 : 318번 · 보조정리(닮음비 k, 높이 kH, 위 밑면은 한 변 ka=b인 정n각형) · 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리) · 3.22의 285번 ②(부피의 가법성) · 3.18의 259번(정n각형의 넓이, 닮음비의 제곱으로 스케일)

증명 끝

324정리내접구의 반지름(존재 조건 r₁+r₂=m)r = h2

증명법 : 직접증명법

축 O₁O₂ 위의 점 I를 중심으로 하고 반지름이 r인 구가 두 밑면과 모든 옆면에 접하는(내접구가 되는) 경우를 찾습니다(구·내접구의 정의는 3.34의 373번. 중심이 축 밖에 있는 내접구는 없다는 사실도 성립하지만, 이 책의 증명에는 쓰지 않으므로 참고로만 적어 둡니다).

① 두 밑면. 축은 두 밑면에 모두 수직이므로(보조정리 ②) I에서 두 밑면이 놓인 평면까지의 거리는 각각 O₁I, IO₂입니다(3.22 단원 서두의 약속 ⑤). 둘 다 r이려면 O₁I=IO₂이어야 하므로 I는 선분 O₁O₂의 중점이고, r = h2입니다.

② 옆면까지의 거리. 아래 밑면의 한 변 A₁B₁(중점 M₁)과 이에 대응하는 위 밑면의 변(중점 M₂)을 포함하는 옆면을 봅니다. 320번에서 본 대로 네 점 O₁, M₁, M₂, O₂는 평면 PO₁M₁ 위에 있습니다. 3.26의 316번과 같은 논법으로, A₁B₁⊥O₁M₁이고 A₁B₁⊥PO₁이므로 A₁B₁은 이 평면과 수직입니다(3.22 단원 서두의 약속 ②). I에서 직선 M₁M₂에 내린 수선의 발을 K라 하면 IK는 옆면의 평면 위의 만나는 두 직선 M₁M₂, A₁B₁과 모두 수직이므로, K는 I에서 옆면의 평면에 내린 수선의 발이고 d=IK가 그 거리입니다.

③ 거리 d 구하기. 사각형 O₁M₁M₂O₂는 O₁, O₂에서 직각인 사다리꼴(O₁M₁∥O₂M₂, 보조정리 ①)로, 평행한 두 변이 r₁, r₂, 높이가 h, 나머지 한 변이 M₁M₂=m(320번)입니다. 선분 IM₁, IM₂는 이 사다리꼴을 삼각형 IO₁M₁, IO₂M₂, IM₁M₂ 셋으로 나누므로 넓이를 비교하면(3.9의 217번, 3.4의 195번)

(r₁+r₂)h2 = 12·r₁·h2 + 12·r₂·h2 + 12·m·d	사다리꼴 = 삼각형 셋
(r₁+r₂)h4 = md2	정리

d = (r₁+r₂)h2m

④ 조건. 구가 이 옆면에 접하려면 d=r=h2이어야 하므로

(r₁+r₂)h2m = h2  ⇔  r₁+r₂ = m

입니다. r₁, r₂, m은 어느 옆면을 택해도 같으므로(3.18의 257번, 320번) 이 조건은 모든 옆면에 대해 같습니다. 또 m²=h²+(r₁-r₂)²(320번)이므로 r₁+r₂=m ⇔ (r₁+r₂)²=h²+(r₁-r₂)² ⇔ h²=4r₁r₂입니다.

⑤ 접점이 면 위에 있음. 조건이 성립하면 IK=IO₂=IO₁=h2이므로, 피타고라스 정리(3.1의 163번)로 M₂K²=IM₂²-IK²=IM₂²-IO₂²=O₂M₂², 곧 M₂K=r₂이고 같은 방법으로 M₁K=r₁입니다. M₁K+KM₂=r₁+r₂=m=M₁M₂이므로 K는 선분 M₁M₂ 위, 곧 옆면 위에 있습니다(3.4 단원 서두의 약속 ⑥, 최단 경로). 두 밑면의 접점 O₁, O₂도 각 밑면 위에 있습니다.

따라서 중심이 축 위에 있는 내접구는 r₁+r₂=m(곧 h²=4r₁r₂)일 때, 그리고 그때만 있고, 그 반지름은

r = h2

각뿔대를 축 O₁O₂와 두 밑변의 중점 M₁, M₂를 지나는 평면(남색 면)으로 자른 위치 — 조건 r₁+r₂=m이 성립하면 이 평면 안에 내접구의 중심 I(축의 중점)를 지나는 내접원이 그려짐(아래 축 단면 참고)

조건 r₁+r₂=m을 만족할 때의 축 단면 — 내접구의 중심 I는 O₁O₂의 중점이며, 두 밑면(O₁, O₂)과 옆면의 자취(직선 M₁M₂ 위의 점 K)까지의 거리가 모두 반지름 r=h2로 같음

사용 : 보조정리(축은 두 밑면에 수직, O₁M₁∥O₂M₂) · 320번(빗면의 높이, 축 단면) · 3.26의 316번(옆면까지의 거리 논법) · 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이) · 3.4의 195번(삼각형의 넓이) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.22 단원 서두의 약속 ②·⑤ · 3.4 단원 서두의 약속 ⑥(최단 경로) · 3.34의 373번(구·내접구의 정의)

증명 끝

325정리외접구의 반지름R = x²+R₁² (x = h²+R₂²-R₁²2h)

증명법 : 직접증명법

내접구(324번)와 달리, 각뿔대는 정각뿔(3.26의 317번)과 마찬가지로 조건 없이 항상 외접구(두 밑면의 모든 꼭짓점을 지나는 구)를 가집니다. 축 O₁O₂ 위에 점 Q를 잡고, O₁을 기준으로 O₂ 쪽을 양(+)으로 잰 Q의 위치를 x라 합시다(x는 음수일 수도 있습니다). 319번의 축 단면에서, 아래 밑면의 꼭짓점 A₁까지의 거리는 O₁A₁=R₁이고 축은 밑면에 수직이므로(보조정리 ②) QO₁⊥O₁A₁이고 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 QA₁²=x²+R₁²입니다. 같은 방법으로 위 밑면의 대응하는 꼭짓점 A₂까지의 거리는 QA₂²=(h-x)²+R₂²입니다. 아래 밑면의 모든 꼭짓점은 O₁에서 같은 거리 R₁에 있으므로 Q에서 그 꼭짓점들까지의 거리는 모두 같고(위 밑면도 마찬가지), 따라서 Q가 두 밑면의 모든 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있을 조건은 QA₁=QA₂입니다 :

x²+R₁² = (h-x)²+R₂²	QA₁=QA₂
= h²-2hx+x²+R₂²	전개
R₁² = h²-2hx+R₂²	양변에서 x² 소거

x = h²+R₂²-R₁²2h

이 x는 R₁, R₂, h의 값에 따라 O₁O₂ 구간의 안쪽에 있을 수도, 바깥쪽(각뿔대의 외부)에 있을 수도 있으나, 어느 경우든 위 방정식을 만족하는 점 Q는 항상 유일하게 존재합니다. 외접구의 반지름은 (x는 위와 같음) 다음과 같습니다.

R = QA₁ = x²+R₁²

검산 : R₂→0(위 밑면이 한 점, 즉 정각뿔이 되는 극한)에서 x→h²-R₁²2h이고 이때 R→h²+R₁²2h로, 3.26의 317번과 정확히 같은 형태가 됩니다.

각뿔대를 축 O₁O₂와 꼭짓점 B, F를 지나는 평면(붉은 면)으로 자른 위치 — 외접구의 중심 Q도 이 평면 위, 축 O₁O₂ 위에 있음(아래 축 단면 참고)

각뿔대의 축 단면 — 외접구의 중심 Q는 축 O₁O₂ 위의 점으로, 아래 밑면의 꼭짓점 A₁와 위 밑면의 꼭짓점 A₂로부터 같은 거리 R에 있음(O₁Q=x)

사용 : 319번(축 단면, R₁, R₂) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.26의 317번(검산용 극한 비교) · 3.34의 373번(구의 정의)

증명 끝