3.25 범위 밖(백과사전)
정사면체
Regular Tetrahedron
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 각뿔(pyramid)의 가장 대칭적인 특수한 경우인 정사면체(regular tetrahedron)를 다룹니다. 정사면체는 모서리의 길이가 모두 같은 다면체로, 합동인 정삼각형 4개로 둘러싸여 있습니다. 이 절의 대표 도형에서는 밑면을 정삼각형 ABC, 나머지 한 꼭짓점을 D로 표기하고, 공통의 모서리 길이를 a로 둡니다. 정사면체의 부피를 다루기 위해 이 절에서 처음으로 각뿔의 부피에 대한 공리(304번)를 도입하며, 이는 이후 3.26(정각뿔)을 비롯한 여러 절에서 함께 쓰입니다.
정사면체 ABCD — 여섯 모서리의 길이가 모두 a로 같고, 꼭짓점 D에서 밑면 ABC에 내린 수선의 발 G(밑면의 무게중심), 높이 DG = h (점선은 보이지 않는 모서리 AC, BC, CD)
302정의각뿔각뿔 = 다각형인 밑면과, 밑면이 놓인 평면 위에 있지 않은 한 점(꼭짓점)을 밑면의 각 변과 잇는 삼각형(옆면)들로 둘러싸인 다면체
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 다각형인 밑면(base) 하나와, 밑면이 놓인 평면 위에 있지 않은 한 점(꼭짓점, apex) 및 이 꼭짓점을 밑면의 각 변과 잇는 삼각형 면들(옆면, lateral face)로 둘러싸인 다면체를 각뿔(pyramid)이라 합니다 — 3.22의 283번(다면체의 정의)을 만족하는 입체의 한 종류입니다. 밑면이 n각형이면 옆면은 n개이고, 각뿔 전체는 (n+1)개의 면 · 2n개의 모서리 · (n+1)개의 꼭짓점을 가집니다. 밑면이 정n각형이고 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심과 일치하는 각뿔은 정n각뿔(regular pyramid)이라 하며, 이는 3.26에서 다룹니다. 정사면체(303번)는 n=3인 경우(삼각뿔)의 특수한 예입니다.
사용 : 3.22의 283번(다면체의 정의)
303정의정사면체정사면체 = 합동인 정삼각형 4개로 둘러싸인 다면체 (모든 모서리의 길이가 같음)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 네 개의 면이 모두 합동인 정삼각형인 각뿔(302번)을 정사면체(regular tetrahedron)라 합니다. 밑면(정삼각형 ABC)과 옆면 세 개(정삼각형 ABD, BCD, CAD) 전부가 정삼각형이므로, 여섯 모서리(AB, BC, CA, AD, BD, CD)의 길이가 모두 같은 값 a를 가지며, 네 꼭짓점 가운데 어느 것을 밑면 쪽으로 골라도 나머지 세 면은 항상 합동인 정삼각형이 됩니다(네 면이 모두 합동). 정사면체는 모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수(3개)도 모두 같은 정다면체(regular polyhedron, 5가지뿐이며 플라톤의 다면체라고도 부릅니다)의 하나이기도 합니다(참고 : 정다면체의 일반적인 정의와 분류는 3.29 정다면체에서 다룹니다).
사용 : 302번(각뿔의 정의)
304공리각뿔의 부피V = 13Bh (B : 밑면의 넓이, h : 높이)
3.22의 285번(부피의 공리)과 마찬가지로, 각뿔의 부피에 대해서도 다음을 공리로 약속합니다 : 밑면의 넓이가 B이고 꼭짓점에서 밑면이 놓인 평면까지의 거리(높이, 3.22 단원 서두의 약속 ⑤)가 h인 각뿔의 부피는 V = 13Bh이며, 이 값은 밑면의 모양이나, 꼭짓점에서 내린 수선의 발이 밑면 안에 있는지 밖에 있는지에 관계없이 오직 B와 h에만 의존합니다. 각기둥의 부피(3.24의 301번, V=Bh)는 밑면을 삼각형으로 쪼갠 뒤 합동인 두 삼각기둥을 이어 붙여 직육면체로 만드는 방식으로, 유한 번의 절단·재배열만으로 증명할 수 있었습니다. 그러나 각뿔은 사정이 다릅니다 — 밑면의 넓이와 높이가 같은 두 각뿔이라도 유한 번 잘라 옮겨 붙이는 것만으로는 서로 바꿀 수 없는 경우가 있다는 것이 알려져 있습니다(아래 참고). 엄밀한 증명에는 극한 논법(카발리에리의 원리 등, 미적분 이후에 다룸)이 필요하므로, 이 절에서는 285번과 같은 방식으로 이를 공리로 받아들이고 정사면체의 부피(307번)에 적용합니다.
사용 : 3.22의 285번(부피의 공리, 같은 방식의 약속) · 3.24의 301번(각기둥의 부피, 대조)
305정리높이h = 63a
증명법 : 직접증명법
밑면 ABC는 한 변이 a인 정삼각형이고(정의 303번), 꼭짓점 D는 A, B, C로부터 모두 같은 거리 a에 있습니다(정사면체의 모든 모서리 길이가 a이므로 DA=DB=DC=a). D에서 밑면에 내린 수선의 발을 P라 하면 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 DA²=DP²+PA², DB²=DP²+PB², DC²=DP²+PC²이고 DA=DB=DC이므로 PA=PB=PC, 즉 P는 밑면 ABC로부터 같은 거리에 있는 점(밑면의 외심)입니다. 정삼각형은 외심과 무게중심이 일치하므로(3.3의 보조정리), P는 밑면의 무게중심 G와 같습니다. 따라서 수선의 발은 정확히 G이고, 높이는 h=DG입니다.
직각삼각형 DGA(직각은 G)에서 GA는 밑면 정삼각형의 외접원의 반지름이므로(3.3의 177번)
GA = 33a
이고, 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 DA² = DG² + GA²이므로 :
| a² = h² + GA² | DA=a, DG=h |
| = h² + (33a)² | 위 GA 대입 |
| = h² + a²3 | 계산 |
따라서 h² = a² − a²3이므로 :
h² = 23a²
길이는 양수이므로 h = a·23이고, 분모를 유리화하면 2/3 = 63이므로 :
h = 63a
왼쪽 — 정사면체 ABCD와 수선의 발 G(밑면의 무게중심) · 오른쪽 — 직각삼각형 DGA(직각은 G), 빗변 DA=a, 밑변 GA=33a, 높이 DG=h
사용 : 303번(정사면체의 정의) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.3의 177번(정삼각형의 외접원의 반지름)
증명 끝
306정리겉넓이S = 3 a²
307정리부피V = a³212
308정리내접구의 반지름r = 612a
증명법 : 직접증명법
중심 O 만들기. 먼저 네 면 모두로부터 같은 거리에 있는 점 O를 만듭니다. 305번의 높이 DG(G는 밑면의 무게중심, DG ⊥ 밑면, DG = h) 위에서 G로부터 D 쪽으로 x = h² − GA²2h만큼 떨어진 점을 O라 합니다. 305번에서 h² = 23a², 3.3의 177번에서 GA² = 13a²이므로 x = a²6h이고 0 < x < h, 곧 O는 선분 DG 위의 안쪽 점이며 정사면체의 안쪽에 있습니다. 또 x를 이렇게 잡으면 x² + GA² = (h − x)²(전개하면 GA² = h² − 2hx)이므로, OG ⊥ 밑면과 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 OA = OB = OC = x² + GA² = h − x = OD입니다. 즉 O는 네 꼭짓점에서 같은 거리에 있습니다. 이제 O에서 한 면에 내린 수선의 발을 K라 하면, 그 면의 세 꼭짓점 X에 대해 KX² = OX² − OK²로 모두 같으므로 K는 그 면(정삼각형)의 외심이고 KX = GA입니다. 따라서 O에서 각 면까지의 거리 OK² = OA² − GA²은 네 면 모두에서 같으며, 이 값을 r이라 합니다. O를 중심으로 하고 반지름이 r인 구는 네 면에 각각 그 외심에서 접합니다(내접구 — 구의 정의와 성질은 3.34의 373번을 참고하세요).
부피로 r 구하기. O와 네 꼭짓점 A, B, C, D를 각각 연결하는 선분들은 정사면체를 네 개의 작은 각뿔 O-ABC, O-ABD, O-ACD, O-BCD로 나눕니다. 이 네 각뿔은 모두 꼭짓점이 O이고, 밑면은 원래 정사면체의 한 면(넓이는 모두 같은 S4, 306번의 S=3a²)이며, O에서 그 밑면까지의 높이는 모두 r입니다(O가 네 면 모두로부터 거리 r에 있으므로). 각뿔의 부피 공리(304번)에 의해 각각의 부피는 13·S4·r이고, 네 개를 모두 합하면 원래 정사면체의 부피와 같습니다 :
| V = 4·13·S4·r | 작은 각뿔 4개의 부피의 합 |
| = 13Sr | 계산 |
따라서 r = 3VS이고, 307번(V=a³212)과 306번(S=3a²)을 대입하면 :
| r = 3·a³212 ÷ 3a² | 307·306번 대입 |
| = a243 | 약분 |
분모를 유리화하면 23 = 63이므로 :
r = 612a
정사면체 내부의 점 O(네 면으로부터 같은 거리 r) — O와 네 꼭짓점을 이으면 밑면이 각 면이고 높이가 r인 작은 각뿔 4개로 나누어짐
사용 : 305번(높이) · 3.3의 177번(외접원의 반지름) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 304번(각뿔의 부피 공리) · 306번(겉넓이) · 307번(부피) · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝
309정리외접구의 반지름R = 64a
증명법 : 직접증명법
정사면체의 중심축(꼭짓점 D에서 밑면의 무게중심 G를 지나는 직선) 위에서, 네 꼭짓점 A, B, C, D로부터 같은 거리에 있는 점 O를 찾습니다(이 점을 중심으로 네 꼭짓점을 모두 지나는 구(외접구)를 그릴 수 있습니다 — 구의 정의와 성질은 3.34의 373번을 참고하세요). O가 G로부터 축을 따라 거리 x만큼 D 쪽으로 떨어져 있다고 하면, OG⊥밑면이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 O에서 밑면의 각 꼭짓점까지의 거리는 x²+GA²이고, O에서 D까지의 거리는 h−x입니다(h는 305번의 높이). O가 구하는 점이 되려면 이 두 거리가 같아야 하므로 :
x²+GA² = h − x
양변을 제곱하면 :
| x²+GA² = h²−2hx+x² | 양변 제곱 |
| GA² = h²−2hx | 양변의 x² 소거 |
따라서 :
x = h²−GA²2h
305번에서 h²=23a²이고, 3.3의 177번에서 GA²=(33a)² = 13a²이므로 :
| x = 23a² − 13a²2h | h², GA² 대입 |
| = a²6h | 계산 |
h=63a(305번)를 대입하면 :
| x = a26 | h 대입 |
| = 612a | 분모의 유리화 |
따라서 외접구의 반지름은 :
| R = h − x | 정의 |
| = 63a − 612a | h·x 대입 |
| = 4612a − 612a | 통분 |
| = 3612a | 계산 |
R = 64a
(참고 : 이 계산의 x는 308번에서 구한 내접구의 반지름 r=612a와 정확히 같은 값입니다 — 이 O는 308번에서 만든 점과 같은 점이므로 내접구와 외접구의 중심은 O 한 점이며, 실제로 :
r+R = (112+14)6·a = 63a = h
가 성립합니다.)
외접구에 내접한 정사면체 ABCD. 중심 O에서 꼭짓점 D·A까지의 거리(둘 다 R로 표시)가 외접구의 반지름이고, G는 밑면 ABC의 무게중심으로 O가 축 DG 위에 있음을 보여 줍니다. O는 축 위에서 D까지의 거리와 밑면의 꼭짓점(A 등)까지의 거리가 같아지는 점이며, 이 공통 거리가 외접구의 반지름 R입니다.
사용 : 305번(높이) · 3.3의 177번(외접원의 반지름) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝