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3.9   심화·배경

사다리꼴

Trapezoid

정의 · 공식과 증명

사다리꼴의 성질 2개(216~217번)를 정리합니다. 사다리꼴은 한 쌍의 대변만 평행한 사각형입니다.

사다리꼴: 밑변 a,b(평행) · 중위선 q · 높이 h

216정리중위선q = a+b2

증명법 : 직접증명법

두 다리 AD, BC의 중점을 각각 M, N이라 하면(위 그림의 점선이 잇는 두 점), 중위선은 선분 MN입니다. 대각선 BD를 긋고 그 중점을 P라 합니다.

△ABD에서 M은 AD의 중점, P는 BD의 중점	3.4의 184번(삼각형의 중위선)
→ MP // AB, MP = a2	△ABD의 중위선
△CBD에서 N은 CB의 중점, P는 DB의 중점	184번(같은 삼각형, 다른 두 변)
→ PN // DC, PN = b2	△CBD의 중위선

AB // DC(사다리꼴의 정의)이므로, MP와 PN은 모두 같은 점 P를 지나면서 AB(=DC 방향)에 평행한 직선입니다. 한 점을 지나고 한 직선에 평행한 직선은 오직 하나뿐이므로(평행선의 성질, 5.9 예정, 선행 인용), 직선 MP와 직선 PN은 서로 같은 직선 — 즉 M, P, N은 한 직선 위에 있습니다. 따라서 대각선 BD는 중위선 MN 위의 점 P를 지나며, MN은 MP와 PN으로 정확히 나뉩니다.

q = MN = MP + PN	M, P, N이 한 직선 위에 있음
= a2 + b2	위에서 구한 MP, PN

q = a+b2

사용 : 3.4의 184번(삼각형의 중위선) · 평행선의 성질(5.9 예정, 선행 인용)

증명 끝

217정리넓이S = (a+b2)·h = qh

증명법 : 직접증명법

사다리꼴을 대각선 하나로 나누면, 밑변 a인 삼각형과 밑변 b인 삼각형으로 갈라집니다. AB // DC이므로 두 삼각형 모두 반대쪽 꼭짓점에서 재는 높이는 두 밑변 사이의 거리, 즉 사다리꼴의 높이 h와 같습니다.

S = 12ah + 12bh	삼각형의 기본 넓이 공식(밑변×높이÷2)
= (a+b2)h	h로 묶어 정리

216번(q=a+b2)에 의해 이는 qh와 같습니다.

S = (a+b2)h = qh

사용 : 216번 · 삼각형의 기본 넓이 공식

증명 끝