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3.8   심화·배경

마름모

Rhombus

정의 · 공식과 증명

마름모의 성질 6개(210~215번)를 정리합니다. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 평행사변형입니다.

마름모: 한 변 a · 두 대각선 d₁,d₂(서로 수직이등분)

210정리이웃각의 합α + β = 180°

증명법 : 직접증명법

마름모는 평행사변형의 특수한 경우(네 변이 모두 같음)이므로, 3.7의 205번이 그대로 적용되어

α + β = 180°

사용 : 3.7의 205번

증명 끝

211정리대각선의 제곱의 합d₁² + d₂² = 4a²

증명법 : 직접증명법

3.7의 206번(d₁²+d₂²=2(a²+b²))에서 a=b(마름모는 네 변이 같음)인 경우이므로,

d₁² + d₂² = 2(a²+b²)	206번
= 2(a²+a²)	b=a(마름모는 네 변이 같음)

d₁² + d₂² = 4a²

사용 : 3.7의 206번

증명 끝

212정리높이h = a sin α = d₁d₂2a

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

h = a sin α는 3.7의 207번에서 b=a인 경우 바로 나옵니다.

h = d₁d₂2a는 넓이를 두 가지로 표현해 얻습니다. 3.7의 209번에 의해 S=12d₁d₂sinφ인데, 마름모는 대각선이 서로 수직(φ=90°, sinφ=1)이므로

S = ah	밑변×높이
S = 12d₁d₂ sin φ = 12d₁d₂	209번, 마름모의 대각선⊥(φ=90°)
→ ah = 12d₁d₂	두 넓이 표현을 등호로 연결

h = a sin α = d₁d₂2a

사용 : 3.7의 207번, 209번 · 마름모의 대각선은 서로 수직

증명 끝

213정리내접원의 반지름r = h2 = d₁d₂4a

증명법 : 직접증명법

마름모의 대칭성에 의해 내접원의 중심은 대각선의 교점이고, 반지름은 그 중심에서 변까지의 거리입니다. 중심이 평행한 두 변의 정중앙에 있으므로, 이 거리는 변에 내린 높이의 절반과 같습니다.

r = h2

212번(h=d₁d₂2a)을 대입하면,

r = d₁d₂4a

사용 : 212번 · 마름모의 대칭성

증명 끝

214정리둘레L = 4a

증명법 : 직접증명법

네 변이 모두 a이므로,

L = 4a

사용 : 둘레의 정의

증명 끝

215정리넓이S = ah = a² sin α = 12d₁d₂

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

212번의 증명 과정에서 이미 세 가지 표현을 모두 확인했습니다: S=ah(기본 공식), S=a²sinα(3.7의 209번에서 b=a인 경우), S=12d₁d₂(대각선이 수직인 마름모의 특수한 경우, 209번에서 φ=90°).

S = ah = a² sin α = 12d₁d₂

사용 : 212번의 증명 과정

증명 끝