3.7 심화·배경
평행사변형
Parallelogram
정의 · 공식과 증명
평행사변형의 성질 5개(205~209번)를 정리합니다. 먼저 정의에서 바로 나오는 기본 성질(아래 보조정리)을 증명해 두고, 205~209번과 3.5·3.6·3.8에서 근거로 씁니다.
평행사변형: 변 a,b · 대각선 d1,d2 · 이웃각 α,β · 높이 h
·보조정리평행사변형의 기본 성질 (이 절과 3.5·3.6·3.8의 근거)AB = DC, AD = BC, AO = OC, BO = OD
증명법 : 직접증명법 (ASA 합동)
평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형으로 정의합니다(AB∥DC, AD∥BC). 이 정의에서 다음 세 가지가 나옵니다 : ① 마주보는 변의 길이가 같다(AB=DC, AD=BC) ② 마주보는 각이 같다(∠A=∠C, ∠B=∠D) ③ 두 대각선은 교점 O에서 서로를 이등분한다(AO=OC, BO=OD).
1단계 — 대각선 AC. 삼각형 ABC와 CDA를 비교합니다. AB∥DC이고 AC가 이 두 직선을 가로지르므로 엇각 ∠BAC=∠DCA, AD∥BC이므로 엇각 ∠BCA=∠DAC입니다(3.4의 단원 서두의 약속 ①). 변 AC는 공통이므로 두 삼각형은 ASA 합동(3.4의 단원 서두의 약속 ④)이고, 대응하는 변과 각에서 AB=CD, BC=DA, ∠B=∠D를 얻습니다.
2단계 — 대각선 BD. 같은 논리를 삼각형 ABD와 CDB에 적용하면 ∠A=∠C입니다. 이로써 ①②이 성립합니다.
3단계 — 대각선의 교점. 평행사변형은 볼록이므로(3.16 서두의 약속) 두 대각선은 안쪽의 한 점 O에서 만납니다. 삼각형 OAB와 OCD에서 AB=CD(1단계), 엇각 ∠OAB=∠OCD(AB∥DC, 횡단선 AC), 엇각 ∠OBA=∠ODC(AB∥DC, 횡단선 BD)이므로 ASA 합동이고, 따라서 AO=CO, BO=DO입니다. 이로써 ③이 성립합니다.
사용 : 엇각(3.4의 단원 서두의 약속 ①) · ASA 합동(약속 ④) · 볼록의 약속(3.16 서두)
증명 끝
205정리이웃각의 합α + β = 180°
증명법 : 직접증명법
평행사변형 ABCD는 두 쌍의 대변(AB∥DC, AD∥BC)이 평행합니다. 이웃한 두 각(꼭짓점 A의 α, 꼭짓점 D의 β)은 변 AD 하나를 가로지르는 두 평행선 AB, DC 사이의 동측내각(같은쪽 내각)이므로, 평행선의 성질에 의해
α + β = 180°
사용 : 평행선의 동측내각의 합(3.4의 단원 서두의 약속 ②)
증명 끝
206정리대각선의 제곱의 합d1² + d2² = 2(a²+b²)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
3.4의 192번(중선 정리)과 본질적으로 같은 구성입니다. 평행사변형의 두 대각선 AC(=d1), BD(=d2)는 교점 O에서 서로를 이등분하므로(위 보조정리 ③), 삼각형 ABC에서 선분 BO는 변 AC로 내린 중선이고 그 길이는 BO=d22입니다(O가 BD의 중점이기도 하므로). 이 삼각형(AB=a, BC=b, AC=d1)에 192번을 적용합니다.
| BO² = AB²+BC²2 - AC²4 | 192번(변 AC로 내린 중선 BO의 길이) |
| → d2²4 = a²+b²2 - d1²4 | BO=d2/2, AB=a, BC=b, AC=d1 대입 |
| → d2² = 2(a²+b²) - d1² | 양변에 4를 곱함 |
d1² + d2² = 2(a²+b²)
(평행사변형 법칙, parallelogram law)
사용 : 3.4의 192번(중선 정리) · 위 보조정리 ①③(AB=a, BC=b, 대각선이 서로를 이등분)
증명 끝
207정리높이h = b sin α = b sin β
증명법 : 직접증명법
꼭짓점 D에서 밑변 AB(또는 그 연장선)에 내린 수선의 발을 H라 하면 DH=h, AD=b입니다. α가 예각이면 H는 A에서 B 쪽에 있고, 직각삼각형 ADH(빗변 b, 각 α)에서 높이는 "빗변×sin(각)"이므로(3.1의 삼각비 정의) h = b sin α. α=90°이면 H=A이고 h=b=b sin 90°. α가 둔각이면 H는 BA의 A 쪽 연장선 위에 있고, 직각삼각형 ADH의 A에서의 각은 180°-α=β(예각)이므로 h = b sin β = b sin(180°-α) = b sin α(3.1의 157-162번 ③의 약속, 4.6의 433번과 같음). 어느 경우든
h = b sin α
205번(α+β=180°)과 4.6 f433번(보각공식 sin(π-θ)=sinθ)에 의해 sin α=sin β이므로, 같은 높이를
h = b sin β
로도 쓸 수 있습니다.
사용 : 3.1의 157-162번(삼각비의 정의) · 205번 · 4.6의 f433번(보각공식)
증명 끝
208정리둘레L = 2(a+b)
209정리넓이S = ah = ab sin α = 12d1d2 sin φ
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
S = ah : 대각선 BD는 평행사변형을 두 삼각형 ABD, CDB로 나누고, 이 둘은 합동입니다(위 보조정리의 1단계와 같은 ASA). 삼각형 ABD는 밑변 AB=a, 높이 h(D에서 AB까지의 거리)이므로 넓이가 12ah이고, 두 조각을 합하면 S=ah입니다(3.4의 단원 서두의 약속 ⑦). 여기에 207번(h=b sin α)을 대입하면 바로 두 번째 표현이 됩니다.
| S = ah | 밑변×높이 |
| = ab sin α | 207번(h=b sin α) 대입 |
세 번째 표현은 대각선을 이용합니다(3.16의 248번과 같은 방법). 두 대각선은 교점 O에서 서로를 이등분하므로(위 보조정리 ③) O를 꼭짓점으로 하는 네 작은 삼각형은 모두 두 변이 대각선의 절반(d12, d22)이고 끼인각이 φ 또는 180°-φ입니다. sin(180°-φ)=sin φ(4.6의 433번)이므로 네 삼각형의 넓이는 모두 같고, 그 하나에 3.4의 184a번(두 변과 끼인각의 넓이 공식)을 적용합니다.
| S1 = 12·d12·d22·sin φ | 184a번(작은 삼각형 하나의 넓이) |
| S = 4S1 | 넓이가 같은 삼각형 4개의 합(약속 ⑦) |
| = 4·12·d12·d22·sin φ | S1 대입 |
| = 12d1d2 sin φ | 약분 |
S = ah = ab sin α = 12d1d2 sin φ
사용 : 위 보조정리 · 207번 · 3.4의 184a번(두 변과 끼인각의 넓이 공식) · 4.6의 433번(보각공식) · 넓이(3.4의 단원 서두의 약속 ⑦)
증명 끝