3.6   심화·배경

직사각형

Rectangle

정의 · 공식과 증명

직사각형의 성질 4개(201~204번)를 정리합니다. 직사각형은 네 내각이 모두 90°인 사각형입니다. 이웃한 두 각의 합이 90°+90°=180°이므로 동측내각의 역(3.4의 단원 서두의 약속 ②)에 의해 두 쌍의 대변이 각각 평행합니다. 즉 직사각형은 평행사변형이고, 3.7의 보조정리(마주보는 변이 같고, 대각선이 서로를 이등분)가 그대로 성립합니다.

직사각형: 변 a, b · 대각선 d

201정리대각선d = a²+b²

증명법 : 직접증명법

대각선은 두 변 a, b를 다리로 하는 직각삼각형의 빗변이므로, 3.1의 163번(피타고라스 정리)을 적용합니다.

d² = a² + b²	163번(피타고라스 정리)
→ d = a²+b²	양변 제곱근(d>0)

사용 : 3.1의 163번(피타고라스 정리)

증명 끝

202정리외접원의 반지름R = d2

증명법 : 직접증명법

대각선 AC의 중점을 M이라 합니다. 직사각형의 네 내각이 모두 90°이므로 대각선 AC는 직각삼각형 ABC(B에서 직각)와 직각삼각형 CDA(D에서 직각)의 공통 빗변입니다. 3.1의 167번(빗변으로의 중선: 빗변의 중점은 세 꼭짓점으로부터 같은 거리)을 두 삼각형에 각각 적용하면 MA=MB=MC, MC=MD=MA이므로, M이 네 꼭짓점 모두로부터 같은 거리(대각선의 절반)에 있습니다. 따라서 대각선이 외접원의 지름이 되어,

R = d2

사용 : 3.1의 167번(빗변으로의 중선)

증명 끝

203정리둘레L = 2(a+b)

증명법 : 직접증명법

마주보는 두 쌍의 변이 각각 a, a와 b, b이므로(직사각형은 평행사변형, 3.7의 보조정리 ①),

L = a + b + a + b = 2(a+b)

사용 : 둘레의 정의 · 3.7의 보조정리 ①

증명 끝

204정리넓이S = ab

증명법 : 직접증명법

직사각형은 3.7의 209번(평행사변형의 넓이, S=ab sin α)에서 끼인각 α=90°인 특수한 경우이므로,

S = ab sin 90°	209번(α=90° 대입)
= ab	sin 90°=1

사용 : 3.7의 209번(직사각형은 평행사변형의 특수한 경우, 이 절 서두)

증명 끝