3.6   심화·배경

직사각형

Rectangle

정의 · 공식과 증명

직사각형의 성질 4개(201~204번)를 정리합니다.

직사각형: 변 a, b · 대각선 d

201정리대각선d = a²+b²

증명법 : 직접증명법

대각선은 두 변 a, b를 다리로 하는 직각삼각형의 빗변이므로, 3.1의 163번(피타고라스 정리)을 적용합니다.

d² = a² + b²	163번(피타고라스 정리)
→ d = a²+b²	양변 제곱근(d>0)

사용 : 3.1의 163번(피타고라스 정리)

증명 끝

202정리외접원의 반지름R = d2

증명법 : 직접증명법

직사각형의 네 내각이 모두 90°이므로, 3.1의 167번(탈레스 정리의 역: 빗변의 중점은 세 꼭짓점으로부터 같은 거리)의 논리를 대각선 하나로 나뉜 두 직각삼각형에 각각 적용하면, 대각선의 중점이 네 꼭짓점 모두로부터 같은 거리(대각선의 절반)에 있습니다. 따라서 대각선이 외접원의 지름이 되어,

R = d2

사용 : 3.1의 167번(탈레스 정리의 역)

증명 끝

203정리둘레L = 2(a+b)

증명법 : 직접증명법

마주보는 두 쌍의 변이 각각 a, a와 b, b이므로,

L = a + b + a + b = 2(a+b)

사용 : 둘레의 정의

증명 끝

204정리넓이S = ab

증명법 : 직접증명법

직사각형은 3.7의 209번(평행사변형의 넓이, S=ab sin α)에서 끼인각 α=90°인 특수한 경우이므로,

S = ab sin 90°	209번(α=90° 대입)
= ab	sin 90°=1

사용 : 3.7의 209번(직사각형은 평행사변형의 특수한 경우)

증명 끝