3.10 심화·배경
등변사다리꼴
Isosceles Trapezoid
정의 · 공식과 증명
등변사다리꼴의 성질 5개(218~222번)를 정리합니다. 등변사다리꼴은 다리(빗변)의 길이가 서로 같은 사다리꼴로, 항상 원에 내접합니다(221번의 증명에서 보입니다).
등변사다리꼴: 밑변 a,b · 다리(빗변) c(양쪽 같음) · 대각선 d(양쪽 같음)
218정리중위선q = a+b2
219정리대각선d² = ab + c²
H₁, H₂는 각각 D, C에서 밑변 AB에 내린 수선의 발(점선) — 빨간 점선은 대각선 AC
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
구성(220·221번에서 다시 씀). AB를 긴 밑변(a>b)으로 둡니다(a=b이면 삼각형 ABD와 CDB가 AB=CD, 엇각 ∠ABD=∠CDB, BD 공통으로 SAS 합동이 되어 엇각 ∠ADB=∠CBD, 즉 AD∥BC — 두 쌍이 평행해 사다리꼴이 아닙니다). 꼭짓점 D, C에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 각각 H₁, H₂라 하면 DH₁=CH₂=h입니다(평행한 두 직선 사이의 거리, 3.4의 단원 서두의 약속 ⑦). 직각삼각형 ADH₁와 BCH₂는 빗변 AD=BC=c, 한 변 DH₁=CH₂=h이므로 RHS 합동(같은 곳 약속 ④)이고, AH₁=BH₂입니다. 또 DH₁와 CH₂는 둘 다 AB에 수직이므로 DC에도 수직이고(약속 ①), DH₁H₂C는 네 각이 직각인 사각형, 즉 직사각형(3.6 서두)이므로 H₁H₂ = DC = b입니다(3.7의 보조정리 ①). a>b이므로 H₁, H₂는 선분 AB 위에 A, H₁, H₂, B 순서로 놓이고 (다른 배치에서는 AH₁=BH₂와 H₁H₂=b로부터 a≤b가 되어 모순), AH₁+b+BH₂=a에서 AH₁ = BH₂ = a-b2입니다. 직각삼각형 ADH₁(빗변 c, 다리 h와 a-b2)에 3.1의 163번을 적용하면 h² = c² - (a-b2)²입니다.
따라서
| AH₂ = AH₁ + H₁H₂ | H₁, H₂가 AB 위에 이 순서로 놓임 |
| = a-b2 + b = a+b2 | 위 구성의 AH₁=(a-b)/2, H₁H₂=b |
대각선 AC는 직각삼각형 ACH₂(H₂에서 직각, 다리 AH₂와 CH₂=h)의 빗변이므로,
| d² = AH₂² + CH₂² | 3.1의 163번(피타고라스 정리) |
| = (a+b2)² + h² | 위에서 구한 AH₂ · CH₂=h |
| = (a+b2)² + c² - (a-b2)² | 위 구성의 h²=c²-((a-b)/2)² |
| = c² + [(a+b2)² - (a-b2)²] | c² 분리, 나머지 재배열 |
| = c² + ab | 제곱의 차, 2.1의 65번 |
d² = ab + c²
사용 : RHS 합동·평행선(3.4의 단원 서두의 약속 ①④⑦) · 3.6 서두·3.7의 보조정리(직사각형) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 2.1의 65번
증명 끝
220정리높이h² = c² - (a-b2)²
221정리외접원의 반지름R = cab+c²(2c-a+b)(2c+a-b)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
원에 내접함. 219번의 구성에서 AH₁=BH₂이므로 AB의 중점 N은 H₁H₂의 중점이기도 합니다. N에서 AB에 세운 수선 ℓ은 DH₁, CH₂와 평행하고 DC에 수직이며(3.4의 단원 서두의 약속 ①), DC와 만나는 점을 N′이라 하면 DH₁NN′, N′NH₂C는 직사각형이라 DN′=H₁N=NH₂=N′C입니다. 즉 ℓ은 AB와 DC의 공통 수직이등분선입니다. BC는 AB와 평행하지 않으므로 BC의 수직이등분선은 ℓ과 한 점 O에서 만나고, O는 ℓ 위에 있어 OA=OB, OD=OC이고 BC의 수직이등분선 위에 있어 OB=OC입니다(같은 곳 약속 ⑧). 따라서 OA=OB=OC=OD — 등변사다리꼴은 원에 내접합니다.
네 꼭짓점 A, B, C, D가 모두 한 원 위에 있으므로, 그중 세 점 A, B, C로 이루어진 삼각형 ABC (세 변 AB=a, BC=c, CA=d)의 외접원은 사다리꼴 전체의 외접원과 같은 원입니다 — 즉 △ABC의 외접반지름이 곧 구하는 R입니다.
AB // DC이고 C가 DC 위의 점이므로, △ABC에서 꼭짓점 C로부터 밑변 AB에 내린 높이는 두 평행한 밑변 사이의 거리, 즉 사다리꼴의 높이 h와 같습니다. 따라서 △ABC의 넓이는
| K = 12ah | △ABC의 넓이(밑변 AB=a, 높이 h) |
3.4의 187번(R=abc4S 형태의 외접원 반지름 공식)을 △ABC(세 변 a, c, d)에 적용하면,
| R = a·c·d4K | 3.4의 187번 |
| = acd4·12ah = acd2ah | K=12ah 대입 |
| = cd2h | a로 약분 |
분모 2h를 a, b, c로 바꿔 씁니다. 220번(h²=c²-(a-b2)²)의 양변에 4를 곱하면,
| 4h² = 4c² - (a-b)² | 220번의 양변에 4를 곱함 |
| = (2c-(a-b))(2c+(a-b)) | 제곱의 차, 2.1의 65번 |
| = (2c-a+b)(2c+a-b) | 괄호를 풀어 정리 |
| → 2h = (2c-a+b)(2c+a-b) | h>0이므로 양의 제곱근을 취함 |
219번(d²=ab+c², 즉 d=ab+c²)과 위 두 식을 R=cd2h에 대입하면,
R = cab+c²(2c-a+b)(2c+a-b)
사용 : 같은 거리(3.4의 단원 서두의 약속 ⑧) · 3.4의 187번(외접원 반지름) · 219번(대각선·구성) · 220번(높이) · 2.1의 65번
증명 끝