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2.1   수능 관련

인수분해 공식

Factoring Formulas

정의 · 공식과 증명

실수 a, b와 자연수 n에 대한 인수분해 공식 8개(65~72번)를 정리합니다. 이 절의 공식은 전부 하나의 기본 항등식(아래 보조정리)에서 나옵니다 — 65~69번은 n = 2, 3, 4, 5를 대입한 것이고, 67 · 70 · 71번(합의 인수분해)과 72번의 두 번째 형태는 b 자리에 (−b)를 넣는 치환으로 얻어집니다.
수능 대비에는 65~68번(n = 2, 3, 4)만 필요합니다. 69~72번의 일반 n 공식은 고교 교육과정에서 직접 다루지 않는 심화 내용이지만, 증명 자체는 고교 범위(분배법칙 · 시그마 표기)를 넘지 않습니다.

·보조정리기본 인수분해 항등식 (이 절 전체의 근거)aⁿ−bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+…+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹)
주장 : 모든 자연수 n과 모든 실수 a, b에 대하여 다음이 성립한다.
aⁿ − bⁿ = (a−b) · n−1Σk=0 a^n−1−kb^k
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법(망원급수 상쇄)
우변을 분배법칙으로 두 개의 합으로 나눕니다.
(a−b) · n−1Σk=0 an−1−kbk = n−1Σk=0 an−kbk − n−1Σk=0 an−1−kbk+1	분배법칙(1.3의 44번)
뒤쪽 합에서 j = k+1로 바꾸면   nΣj=1 an−jbj	합의 첨자 바꾸기
= [ an + n−1Σk=1 an−kbk ] − [ n−1Σj=1 an−jbj + bn ]	k=0 항과 j=n 항을 각각 밖으로 꺼냄
= an − bn	가운데 두 합이 완전히 같아 상쇄됨
즉 첫 항 aⁿ과 끝 항 −bⁿ만 남고 중간 항은 모두 짝을 지어 사라집니다(망원 상쇄). 이 논증은 n의 크기와 무관하며 a, b의 부호에도 아무 제약이 없습니다.
따름 결과(치환) : 위 식의 b 자리에 (−b)를 넣으면 (−b)^k = (−1)^kb^k이므로
aⁿ − (−b)ⁿ = (a+b) · n−1Σk=0 (−1)^k a^n−1−kb^k
가 되고, 좌변은 n이 홀수이면 aⁿ+bⁿ, n이 짝수이면 aⁿ−bⁿ이 됩니다. 이것이 67 · 70 · 71번과 72번의 두 번째 형태의 근거입니다.
사용 : 분배법칙(1.3의 44번) · 동류항 정리
증명 끝
참고(대학 과정) : 이 항등식은 실수뿐 아니라 덧셈 · 곱셈이 정의된 임의의 가환환(commutative ring)에서 그대로 성립합니다 — 증명에 사용한 것이 분배법칙과 교환 · 결합법칙뿐이기 때문입니다. 이 관점은 대학 추상대수학의 내용이며, 수능 준비생이 공부할 필요는 없습니다.
65정리제곱의 차a²−b² = (a+b)(a−b)

증명법 : 기본 인수분해 항등식에 n = 2 대입

a² − b² = (a−b)(a¹ + b¹) = (a−b)(a+b)

직접 전개해서 확인해도 같습니다 : (a+b)(a−b) = a² − ab + ab − b² = a² − b².

두 조각의 높이가 모두 (a−b)로 같으므로, 옆으로 이어 붙이면 가로 (a+b) · 세로 (a−b)인 직사각형이 된다

사용 : 기본 인수분해 항등식(n=2) · 분배법칙(1.3의 44번)

증명 끝

66정리세제곱의 차a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

증명법 : 기본 인수분해 항등식에 n = 3 대입

a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²)

전개로 직접 확인하면 다음과 같습니다. 각 칸은 왼쪽 인수의 항 × 위쪽 인수의 항입니다.

×	a2	ab	b2
a	a3	a2b	ab2
−b	−a2b	−ab2	−b3

대각선 방향으로 놓인 네 항이 짝을 지어 상쇄되고, 양 끝의 a³과 −b³만 남는다

사용 : 기본 인수분해 항등식(n=3) · 분배법칙 · 동류항 정리

증명 끝

67정리세제곱의 합a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)

증명법 : 66번의 b 자리에 (−b)를 대입하는 치환

a3 − (−b)3 = (a − (−b))(a2 + a(−b) + (−b)2)	66번에서 b → −b
(−b)3 = −b3,  (−b)2 = b2	홀수 · 짝수 거듭제곱의 부호
∴ a3 + b3 = (a+b)(a2 − ab + b2)	정리

전개로도 바로 확인됩니다.

×	a2	−ab	b2
a	a3	−a2b	ab2
b	a2b	−ab2	b3

가운데 네 항이 상쇄되어 a³ + b³만 남는다

사용 : 66번(세제곱의 차, b → −b 치환) · 분배법칙

증명 끝

68정리네제곱의 차a⁴−b⁴ = (a²−b²)(a²+b²) = (a−b)(a+b)(a²+b²)

증명법 : 65번(제곱의 차)을 두 번 적용

a4 − b4 = (a2)2 − (b2)2	지수법칙(2.3의 86번)
= (a2 − b2)(a2 + b2)	65번, A = a2, B = b2로 치환
= (a − b)(a + b)(a2 + b2)	65번을 a2 − b2에 한 번 더 적용

덧붙임 : n = 4는 짝수이므로 72번에 따라 (a+b)를 인수로 하는 또 다른 인수분해도 성립합니다.

a⁴ − b⁴ = (a+b)(a³ − a²b + ab² − b³)

다만 위쪽의 세 인수로 쪼갠 형태가 더 완전히 인수분해된 꼴입니다 (a³−a²b+ab²−b³ = (a−b)(a²+b²)로 더 쪼개지기 때문입니다).

사용 : 65번(제곱의 차, 두 차례 적용) · 72번(덧붙임 부분)

증명 끝

65번을 두 차례 적용해 내려가는 인수분해 트리

69정리다섯제곱의 차a⁵−b⁵ = (a−b)(a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴)

증명법 : 기본 인수분해 항등식에 n = 5 대입

a⁵ − b⁵ = (a−b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)

전개하면 a⁵+a⁴b+a³b²+a²b³+ab⁴ 에서 a⁴b+a³b²+a²b³+ab⁴+b⁵를 뺀 것이므로, 가운데 네 항이 그대로 상쇄되어 a⁵−b⁵만 남습니다.

주의 : 이 형태(모든 항의 부호가 +)는 n이 홀수든 짝수든 관계없이 성립하는 기본형입니다. n = 5는 그중 한 경우일 뿐이며, 짝수 전용 공식인 72번의 특수한 경우가 아닙니다.

사용 : 기본 인수분해 항등식(n=5)

증명 끝

(a−b)에 곱해지는 나머지 인수 — 모든 항의 부호가 +로 균일한 패턴

70정리다섯제곱의 합a⁵+b⁵ = (a+b)(a⁴−a³b+a²b²−ab³+b⁴)

증명법 : 69번의 b 자리에 (−b)를 대입하는 치환

n = 5는 홀수이므로 (−b)⁵ = −b⁵입니다. 69번에서 b → −b로 두면 :

좌변 : a5 − (−b)5 = a5 + b5	5는 홀수
우변의 첫 인수 : a − (−b) = a + b
우변의 둘째 인수 : a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4	bk → (−1)kbk로 부호가 교대

∴ a⁵ + b⁵ = (a+b)(a⁴ − a³b + a²b² − ab³ + b⁴)

사용 : 69번(다섯제곱의 차, b → −b 치환) · 71번의 n=5인 경우

증명 끝

(a+b)에 곱해지는 나머지 인수 — 부호가 +, −로 번갈아 나타나는 패턴

71정리홀수 n에 대한 합의 인수분해n이 홀수이면  aⁿ+bⁿ = (a+b)(aⁿ⁻¹−aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²−…−abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹)

증명법 : 기본 인수분해 항등식 + b → −b 치환

보조정리의 항등식은 모든 실수 a, b에서 성립하므로, b 자리에 실수 (−b)를 넣어도 그대로 성립합니다.

an − (−b)n = (a − (−b)) · n−1Σk=0 an−1−k(−b)k	기본 항등식에 b → −b
(−b)n = −bn	n이 홀수
(−b)k = (−1)kbk	거듭제곱의 부호
∴ an + bn = (a+b) · n−1Σk=0 (−1)k an−1−kbk	정리

둘째 인수를 풀어 쓰면 k = 0부터 k = n−1까지 부호가 +, −로 번갈아 나타나고, n이 홀수이므로 마지막 항(k = n−1)의 부호는 (−1)ⁿ⁻¹ = +입니다. 즉 끝 항이 +bⁿ⁻¹이 되어 위 정리의 꼴과 정확히 일치합니다.

n이 짝수이면 이 공식은 성립하지 않습니다. 예를 들어 a²+b²은 실수 범위에서 더 이상 인수분해되지 않습니다(a = b = 1이면 좌변 2, (a+b)(a−b) = 0으로 서로 다름).

사용 : 기본 인수분해 항등식 · 67번(n=3), 70번(n=5)은 이 정리의 특수한 경우

증명 끝

참고(대학 과정) : a²+b²이 실수 범위에서 인수분해되지 않는다는 사실은, 복소수 범위에서는 a²+b² = (a+bi)(a−bi)로 인수분해된다는 것과 짝을 이룹니다. "어느 수 체계에서 인수분해가 끝나는가"를 다루는 이론은 대학 추상대수학(체론 · 기약다항식)의 내용입니다.

n이 홀수일 때 (a+b)에 곱해지는 인수 — 부호가 교대하며 양 끝이 모두 +

72정리짝수 n에 대한 차의 인수분해 (두 가지 방식)n이 짝수이면  aⁿ−bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹+…+bⁿ⁻¹) = (a+b)(aⁿ⁻¹−…−bⁿ⁻¹)

증명법 : 기본 인수분해 항등식 + b → −b 치환

n이 짝수이면 aⁿ−bⁿ은 (a−b)와 (a+b) 양쪽으로 모두 나누어떨어집니다. 이것이 짝수 차수의 특별한 성질입니다.

① (a−b)를 인수로 하는 형태 — n의 홀짝과 무관한 기본형

aⁿ − bⁿ = (a−b) · n−1Σk=0 a^n−1−kb^k

이것은 기본 인수분해 항등식 그 자체이며, 모든 자연수 n에서 성립합니다 (n = 2는 65번, n = 3은 66번, n = 4는 68번, n = 5는 69번).

② (a+b)를 인수로 하는 형태 — n이 짝수일 때만 추가로 성립

an − (−b)n = (a+b) · n−1Σk=0 (−1)k an−1−kbk	기본 항등식에 b → −b
(−b)n = bn	n이 짝수
∴ an − bn = (a+b) · n−1Σk=0 (−1)k an−1−kbk	정리

n이 짝수이면 n−1은 홀수이므로 마지막 항(k = n−1)의 부호는 (−1)ⁿ⁻¹ = −가 되어, 둘째 인수가 −bⁿ⁻¹로 끝납니다.

확인(n = 4) : (a+b)(a³−a²b+ab²−b³) = a⁴−a³b+a²b²−ab³ + a³b−a²b²+ab³−b⁴ = a⁴−b⁴. 68번과 일치합니다.

사용 : 기본 인수분해 항등식 · 65번(n=2) · 68번(n=4, 두 형태 모두 확인 가능)

증명 끝

짝수 차수에서만 (a−b)와 (a+b) 양쪽으로 인수분해되는 두 갈래 구조