이론/ 대수/ 2.3 거듭제곱(지수)

2.3 수능 관련

거듭제곱(지수)

Powers

정의 · 공식과 증명

지수법칙 9개(82~90번)를 정리합니다. 이 절은 지수의 범위를 세 단계로 넓혀 가는 구조입니다.
1단계(82~86번) 지수가 자연수 — 거듭제곱의 정의(같은 수를 거듭 곱함)에서 곧바로 증명됩니다.
2단계(87 · 88번) 지수가 0과 음의 정수 — 1단계의 법칙이 그대로 성립하도록 만드는 확장 정의입니다.
3단계(89 · 90번) 지수가 유리수 — 거듭제곱근을 이용한 확장 정의이며, 여기서는 밑 a > 0이라는 조건이 반드시 필요합니다(89번의 반례 참고).
확장 단계에서 나오는 식은 "증명해야 할 정리"가 아니라 "왜 그렇게 정의하는 것이 유일하게 자연스러운가"를 보이는 것이 핵심입니다.

82정리지수의 덧셈a^m · aⁿ = a^m+n (m, n은 자연수)

증명법 : 거듭제곱의 정의 + 수학적 귀납법(n에 대하여)

직관적 설명 : a^m은 a를 m번 곱한 것, aⁿ은 a를 n번 곱한 것이므로, 둘을 곱하면 a를 모두 (m+n)번 곱한 것이 됩니다.

a^m · aⁿ = a · a · … · a · a · a · … · a = a^m+nm개 n개 → 합쳐서 (m+n)개

엄밀한 증명(n에 대한 귀납법) :

① n = 1 : a^m · a¹ = a^m · a = a^m+1	거듭제곱의 정의
② n = k에서 성립 가정 : a^m · a^k = a^m+k	귀납 가정
③ a^m · a^k+1 = a^m · (a^k · a) = (a^m · a^k) · a	곱셈의 결합법칙(1.3의 43번)
= a^m+k · a = a^m+k+1	귀납 가정 ② · 거듭제곱의 정의

따라서 모든 자연수 n에 대해 성립합니다.

사용 : 거듭제곱의 정의 · 곱셈의 결합법칙(1.3의 43번) · 수학적 귀납법

증명 끝

83정리지수의 뺄셈a^maⁿ = a^m−n (a ≠ 0)

증명법 : 82번 적용 후 나눗셈 — m과 n의 대소에 따라 세 경우로 나눕니다.

① m > n인 경우 — 이때 m−n은 자연수이므로 82번을 그대로 쓸 수 있습니다.

a^m−n · aⁿ = a^(m−n)+n = a^m	82번
양변을 aⁿ(≠ 0)으로 나누면 a^m−n = a^maⁿ	a ≠ 0이므로 aⁿ ≠ 0

② m = n인 경우 — 좌변은 a^ma^m = 1이고 우변은 a⁰입니다. 따라서 이 공식이 계속 성립하려면 a⁰ = 1이어야 하며, 이것이 87번의 정의입니다.

③ m < n인 경우 — 이때 m−n은 음의 정수이므로 82번을 직접 쓸 수 없습니다. ①를 뒤집어 쓰면 a^maⁿ = 1a^n−m이고, 이것이 a^−(n−m) = a^m−n과 같으려면 a^−k = 1a^k이어야 하며, 이것이 88번의 정의입니다.

정리하면 : 이 공식이 모든 정수 m, n에서 성립하는 것은 82번만으로 증명되는 사실이 아니라, 87 · 88번의 확장 정의를 그렇게 맞춰 놓았기 때문입니다. 논리의 순서를 이렇게 보아야 순환 논증이 되지 않습니다.

사용 : 82번(지수의 덧셈) · 87번 · 88번(확장 정의)

증명 끝

84정리곱의 거듭제곱(ab)^m = a^mb^m (m은 자연수)

증명법 : 거듭제곱의 정의 + 곱셈의 교환 · 결합법칙

(ab)^m = (ab)(ab)…(ab) = (a · a … a)(b · b … b) = a^mb^mm개의 (ab) → a끼리 · b끼리 모아 재배열

재배열이 가능한 근거는 곱셈의 교환법칙과 결합법칙입니다. 엄밀하게는 82번과 마찬가지로 m에 대한 귀납법으로 마무리합니다 : (ab)^k+1 = (ab)^k(ab) = a^kb^kab = (a^ka)(b^kb) = a^k+1b^k+1.

사용 : 곱셈의 교환 · 결합법칙(1.3의 42번, 43번) · 수학적 귀납법

증명 끝

85정리몫의 거듭제곱(ab)^m = a^mb^m (b ≠ 0)

증명법 : 84번을 치환하여 적용

A = ab, B = b로 두면 (A · B)^m = A^mB^m	84번
좌변 : (ab · b)^m = a^m	나눗셈의 정의(1.3의 45번)
∴ a^m = (ab)^m · b^m
양변을 b^m(≠ 0)으로 나누면 (ab)^m = a^mb^m	b ≠ 0

사용 : 84번(곱의 거듭제곱) · 나눗셈의 정의(1.3의 45번)

증명 끝

86정리거듭제곱의 거듭제곱(a^m)ⁿ = a^mn (m, n은 자연수)

증명법 : 수학적 귀납법(n에 대하여) + 82번

① n = 1 : (a^m)¹ = a^m = a^m·1	거듭제곱의 정의
② n = k에서 성립 가정 : (a^m)^k = a^mk	귀납 가정
③ (a^m)^k+1 = (a^m)^k · a^m = a^mk · a^m	거듭제곱의 정의 · 귀납 가정 ②
= a^mk+m = a^m(k+1)	82번 · 분배법칙

따라서 모든 자연수 n에 대해 성립합니다.

사용 : 82번(지수의 덧셈) · 수학적 귀납법

증명 끝

87정의0과 1인 지수a⁰ = 1 (a ≠ 0), a¹ = a

a¹ = a는 거듭제곱의 정의 그 자체입니다(a를 1번 곱한 것).

a⁰ = 1은 확장 정의입니다. 82번(a^maⁿ = a^m+n)이 m = 0일 때도 계속 성립하기를 바란다면 :

a⁰ · aⁿ = a⁰⁺ⁿ = aⁿ	82번이 m = 0에서도 성립한다고 하면
양변을 aⁿ(≠ 0)으로 나누면 a⁰ = 1	a ≠ 0

즉 a⁰ = 1은 선택의 여지가 없는 유일한 값입니다. 정의이므로 별도의 증명 대상은 아니지만, "왜 그렇게 정의하는가"의 근거는 위와 같습니다.

주의 : 위 논증은 aⁿ ≠ 0, 즉 a ≠ 0을 전제로 합니다. 0⁰은 이 절에서 정의하지 않습니다. 0⁰을 어떤 값으로 두어도 모순 없이 모든 법칙을 만족시킬 수 없기 때문입니다(x⁰ → 1이지만 0^x → 0).

사용 : 82번(지수의 덧셈)이 계속 성립하도록 하는 요구

88정의음의 정수 지수a^−m = 1a^m (a ≠ 0, m은 자연수)

이 역시 82번이 음의 지수에서도 계속 성립하도록 만드는 확장 정의입니다.

a^m · a^−m = a^m+(−m) = a⁰ = 1	82번이 음의 지수에서도 성립한다고 하면 · 87번
양변을 a^m(≠ 0)으로 나누면 a^−m = 1a^m	a ≠ 0

즉 a^−m은 a^m의 곱셈에 대한 역원으로 정의됩니다 (1.3의 39번).

정리(확장의 결과) : 87 · 88번의 정의를 받아들이면 82~86번의 다섯 법칙이 모든 정수 지수에서 성립합니다. 각 법칙을 지수의 부호에 따라 경우를 나누어 확인하면 되며, 증명은 위와 같은 방식(정의를 대입해 자연수 지수의 경우로 되돌리기)의 반복입니다.

사용 : 82번 · 87번(a⁰ = 1)

89정의유리수 지수a^mn = na^m (a > 0, n은 자연수, m은 정수)

표기 약속 : 이 사이트에서는 국내 교과서 표기를 따라 분모 n이 근호의 지표, 분자 m이 안쪽의 지수가 되도록 씁니다 (원서 1300 Math Formulas는 a^n/m = maⁿ 꼴로 문자를 반대로 씁니다 — 내용은 같습니다).

86번(거듭제곱의 거듭제곱)이 분수 지수에서도 성립하기를 바란다면 :

(a^mn)ⁿ = a^mn^·n = a^m	86번이 분수 지수에서도 성립한다고 하면
즉 a^mn은 “n제곱해서 a^m이 되는 양수”	위 식의 뜻
∴ a^mn = na^m	n제곱근의 정의(2.4절)

① 왜 a > 0이어야 하는가 — 반례

a < 0을 허용하면 같은 유리수를 다르게 쓴 것만으로 값이 달라집니다. 13 = 26인데 a = −8을 넣어 보면 :

(−8)¹³ = 3−8 = −2	세제곱해서 −8이 되는 수
(−8)²⁶ = 6(−8)² = 664 = 2	여섯제곱해서 64가 되는 양수
−2 ≠ 2	모순

따라서 유리수 지수는 밑이 양수일 때만 정의합니다. (−8의 세제곱근 3−8 = −2 자체는 2.4절에서 다루듯 잘 정의되지만, 그것을 “유리수 지수”로 부르지는 않는다는 뜻입니다.)

② 잘 정의됨(well-defined) — 표현 방법에 무관함

a > 0이면 mn = pq일 때 na^m = qa^p임을 확인해야 비로소 정의가 성립합니다. mq = np이므로, 두 양수를 각각 nq제곱하면

({R("a^m", "n")})^nq = (a^m)^q = a^mq = a^np = (a^p)ⁿ = ({R("a^p", "q")})^nq

가 되어 두 양수의 nq제곱이 같습니다. 양수의 nq제곱근은 하나뿐이므로 두 수는 같습니다.

사용 : 86번(거듭제곱의 거듭제곱)이 계속 성립하도록 하는 요구 · 2.4의 n제곱근의 존재와 유일성

참고(대학 과정) : 위 정의가 성립하려면 “양수 a와 자연수 n에 대해 n제곱해서 a가 되는 양수가 반드시 하나 존재한다”는 사실이 필요합니다. 이 존재성은 실수의 완비성(중간값 정리)에서 나오며, 엄밀한 증명은 대학 미적분학 · 해석학에서 다룹니다.
또 지수를 무리수까지 넓히는 것(예 : 2^√2)은 유리수 지수의 극한으로 정의하며, 이 역시 대학 해석학의 내용입니다. 고교 과정에서는 지수함수가 실수 전체에서 잘 정의된다는 결과만 사용하면 충분하고, 수능 준비생이 그 증명까지 공부할 필요는 없습니다.

90정의음의 유리수 지수a⁻^mn = 1na^m (a > 0)

88번(음의 정수 지수)과 89번(유리수 지수)을 함께 적용한 것입니다.

a⁻^mn = 1a^mn	88번(음의 지수)
= 1na^m	89번(유리수 지수)

분모에 근호가 남아 있으므로, 실제 계산에서는 2.4의 99번(분모의 유리화)을 이용해 근호를 분자로 올리는 것이 보통입니다.

편집 이력 : 이 항목(90번)은 이전 판에서 누락되어 있었습니다. 원서의 2.3절은 82~90번의 9개 항목으로 구성되며, 2.4절이 91번부터 시작합니다.

사용 : 88번(음의 정수 지수) · 89번(유리수 지수)

chapter:02-algebra section:2.3