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2.4   수능 관련

거듭제곱근

Roots

정의 · 공식과 증명

거듭제곱근의 성질 11개(91~101번)를 정리합니다.
증명 방식의 통일 : 이 절의 정리는 모두 아래 보조정리(n제곱근의 존재와 유일성)를 이용한 유일성 논법으로 증명합니다 — 구하려는 값 x를 놓고 xⁿ을 계산해 보아 원하는 수가 나오는지, 그리고 부호 조건을 만족하는지 두 가지를 확인하는 방식입니다. 이렇게 하면 자연수 지수의 법칙(2.3의 82~86번)만 사용하게 되어, 유리수 지수(2.3의 89번)를 근거로 쓰는 순환 논증을 피할 수 있습니다.
조건에 특히 주의 : 지표 n이 짝수인 근호는 밑이 음이 아닐 때만 실수값을 가집니다. 93 · 94 · 95 · 99번은 이 조건을 빠뜨리면 거짓이 되는 공식이므로, 각 항목의 조건 표기를 반드시 확인하세요.

·정의 · 보조정리n제곱근의 정의, 존재와 유일성 (이 절 전체의 근거)xⁿ = a  ⇔  x = na
정의 : 자연수 n(n ≥ 2)과 실수 a에 대하여, xⁿ = a를 만족하는 실수 x를 a의 n제곱근이라 합니다. 그중 기호 na는 다음을 가리킵니다.
	a > 0	a = 0	a < 0
n이 홀수	양수 하나	0	음수 하나
n이 짝수	± 두 개 중 양수	0	실수 없음
n이 짝수일 때 na는 항상 0 이상이며, a < 0에서는 정의되지 않는다
유일성(고교 범위에서 증명 가능) : 0 ≤ x < y이면 xⁿ < yⁿ입니다.
yn − xn = (y−x)(yn−1 + yn−2x + … + xn−1)	2.1의 기본 인수분해 항등식
y − x > 0이고, 둘째 인수는 0 이상인 항들의 합이며 yn−1 > 0	x ≥ 0, y > 0
∴ yn − xn > 0	양수 × 양수
즉 x ↦ xⁿ은 0 이상의 범위에서 순증가이므로, 서로 다른 두 음이 아닌 수가 같은 n제곱값을 가질 수 없습니다. 이것이 이 절 전체에서 쓰는 유일성 논법의 근거입니다.
x ≥ 0,  y ≥ 0,  xⁿ = yⁿ  ⇒  x = y
n이 홀수일 때는 음수 범위에서도 (−x)ⁿ = −xⁿ이므로 같은 논법이 실수 전체에서 성립합니다.
사용 : 2.1의 기본 인수분해 항등식 · 부등식의 기본 성질
증명 끝(유일성 부분)
참고(대학 과정) : 위에서 증명한 것은 유일성뿐입니다. “a > 0이면 xⁿ = a인 양수 x가 실제로 존재한다”는 존재성은 유리수만으로는 성립하지 않고(예 : x² = 2), 실수의 완비성이 있어야 보장됩니다. 표준적인 증명은 f(x) = xⁿ − a에 중간값 정리를 적용하는 것으로, 대학 미적분학 · 해석학의 내용입니다. 고교 과정에서는 존재성을 받아들이고 사용하며, 수능 준비생이 이 증명까지 공부할 필요는 없습니다.
한편 복소수 범위에서는 0이 아닌 모든 수가 정확히 n개의 n제곱근을 가집니다 (1.4의 63번) — 이는 대학 복소해석학의 내용입니다.
91정리곱의 거듭제곱근na · nb = nab (n이 짝수이면 a, b ≥ 0)

증명법 : 유일성 논법 — 좌변을 n제곱해서 ab가 됨을 보인다

x = na, y = nb로 놓으면 정의에 의해 xⁿ = a, yⁿ = b입니다.

(xy)n = xnyn	2.3의 84번(곱의 거듭제곱, 자연수 지수)
= ab	xn = a, yn = b
n이 짝수이면 x ≥ 0, y ≥ 0이므로 xy ≥ 0	보조정리의 부호 규약
∴ xy = nab	유일성

조건을 빠뜨리면 안 되는 이유 : n = 2, a = b = −4라면 좌변은 −4 · −4로 실수 범위에서 아예 정의되지 않는 반면, 우변은 16 = 4가 되어 등식이 성립할 수 없습니다.

사용 : n제곱근의 존재와 유일성 · 2.3의 84번

증명 끝

92정리몫의 거듭제곱근nanb = nab (b ≠ 0, n이 짝수이면 a ≥ 0, b > 0)

증명법 : 유일성 논법

x = na, y = nb (y ≠ 0)로 놓습니다.

(xy)n = xnyn	2.3의 85번(몫의 거듭제곱, 자연수 지수)
= ab	xn = a, yn = b
n이 짝수이면 x ≥ 0, y > 0이므로 xy ≥ 0	부호 확인
∴ xy = nab	유일성

사용 : n제곱근의 존재와 유일성 · 2.3의 85번

증명 끝

93정리거듭제곱근의 거듭제곱(na)^m = na^m (m은 자연수, n이 짝수이면 a ≥ 0)

증명법 : 유일성 논법

x = na로 놓으면 xⁿ = a입니다.

(xm)n = xmn = (xn)m	2.3의 86번(거듭제곱의 거듭제곱) · 곱셈의 교환법칙
= am	xn = a
n이 짝수이면 x ≥ 0이므로 xm ≥ 0	부호 확인
∴ xm = nam	유일성

조건 주의 : 이전 판에는 조건 표기가 없었으나, n이 짝수이고 a < 0이면 좌변이 정의되지 않으므로 a ≥ 0 조건이 반드시 필요합니다. n이 홀수일 때는 모든 실수 a에서 성립합니다.

사용 : n제곱근의 존재와 유일성 · 2.3의 86번

증명 끝

94정리거듭제곱근의 거듭제곱근pna = npa (n 또는 p가 짝수이면 a ≥ 0)

증명법 : 유일성 논법

x = pna로 놓으면 정의에 의해 x^p = na입니다.

(xp)n = (na)n = a	n제곱근의 정의
한편 (xp)n = xpn	2.3의 86번
∴ xnp = a
n 또는 p가 짝수이면 x ≥ 0	부호 확인
∴ x = npa	유일성

지표의 순서는 무관 : 같은 논법으로 npa = npa도 성립합니다 (np = pn이므로).

사용 : n제곱근의 존재와 유일성 · 2.3의 86번

증명 끝

95정리지표와 지수의 약분kna^km = na^m (k는 자연수, a ≥ 0)

증명법 : 유일성 논법

x = na^m ≥ 0로 놓으면 xⁿ = a^m입니다.

xkn = (xn)k	2.3의 86번
= (am)k = akm	xn = am · 86번
x ≥ 0	a ≥ 0이므로
∴ x = knakm	유일성

⚠ a ≥ 0 조건이 없으면 거짓입니다. 이전 판에는 이 조건이 빠져 있었습니다. k = 2, n = 1, m = 1, a = −3을 넣어 보면 :

좌변 : 2(−3)2 = 29 = 3	짝수 지표의 근호는 음이 아닌 값
우변 : 1−3 = −3
3 ≠ −3	등식 성립하지 않음

일반적으로 밑이 음수일 수 있는 경우에는 96번처럼 절댓값을 붙여야 합니다.

사용 : n제곱근의 존재와 유일성 · 2.3의 86번

증명 끝

96정리근호와 거듭제곱의 순서 — 절댓값이 필요한 경우(na)ⁿ = a  ;  naⁿ = a (n 홀수),  |a| (n 짝수)

이전 판 수정 : 이 항목의 진술문에 편집 중의 메모가 그대로 남아 있어 두 개의 서로 다른 식이 뒤섞여 있었습니다. 아래와 같이 두 식을 분리합니다 — 이 둘을 혼동하는 것이 이 단원에서 가장 흔한 실수입니다.

① 근호를 먼저, 거듭제곱을 나중에 : 언제나 a 그대로입니다.

(na)ⁿ = a정의역 안(n이 짝수이면 a ≥ 0)에서는 조건 없이 성립

이것은 “n제곱해서 a가 되는 수”라는 정의 그 자체입니다.

② 거듭제곱을 먼저, 근호를 나중에 : n이 짝수이면 절댓값이 붙습니다.

naⁿ = a  (n이 홀수),    naⁿ = |a|  (n이 짝수)

n이 홀수 : x = a로 두면 xn = an이고, 홀수 지표는 부호를 보존하므로 x = a	유일성(홀수 지표는 실수 전체에서 성립)
n이 짝수 : an = |a|n이고 |a| ≥ 0이므로 nan = |a|	짝수 지표의 근호는 음이 아닌 값

예 : (−3)² = 9 = 3 = |−3| 이며, −3이 아닙니다.
반면 3−27 = −3이고, (3−27)³ = −27로 ①가 그대로 성립합니다.

사용 : n제곱근의 정의와 유일성 · 93번

증명 끝

97정의유리수 지수와 거듭제곱근의 관계a^mn = na^m (a > 0)

2.3의 89번과 같은 내용이며, 정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 이 절에서 다시 싣는 것은, 91~96번의 근호 성질이 곧 지수법칙(2.3의 82~86번)의 다른 얼굴임을 확인해 두기 위해서입니다.

na · nb = nab  ⇔  a1nb1n = (ab)1n	91번 ⇔ 2.3의 84번
(na)m = nam  ⇔  (a1n)m = amn	93번 ⇔ 2.3의 86번
pna = npa  ⇔  (a1n)1p = a1np	94번 ⇔ 2.3의 86번

표기 통일 : 이전 판은 2.3절에서 a^n/m = maⁿ, 2.4절에서 a^m/n = na^m으로 문자를 서로 반대로 써서 혼동을 주었습니다. 분모가 근호의 지표가 되는 국내 교과서 표기로 통일했습니다.

사용 : 2.3의 89번(유리수 지수의 정의)

98정의단위분수 지수a¹ⁿ = na (a > 0)

97번에서 m = 1인 특수한 경우로, 정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 가장 자주 쓰이는 형태이므로 따로 적어 둡니다.

예 : 8¹³ = 38 = 2,   16¹⁴ = 416 = 2,   9¹² = 9 = 3.

사용 : 97번(m = 1)

99정리분모의 유리화 (단항 근호)1na = naⁿ⁻¹a (a > 0)

증명법 : 분자 · 분모에 같은 수를 곱하기

1na = 1 · nan−1na · nan−1	분자 · 분모에 nan−1(≠ 0)을 곱함
분모 : na · nan−1 = na · an−1 = nan	91번(곱의 거듭제곱근) · 2.3의 82번
= a	96번②, a > 0이므로 |a| = a
∴ 1na = nan−1a

조건 수정 : 이전 판의 조건은 “a ≠ 0”이었으나, 이는 잘못입니다. n이 짝수이면 a < 0에서 좌변부터 정의되지 않고, 96번②의 절댓값 때문에 등식도 무너집니다. a > 0이 맞는 조건이며, n이 홀수인 경우에 한해 a ≠ 0까지 넓힐 수 있습니다 (이때 naⁿ = a가 음수에서도 성립하기 때문입니다).

예(n = 3) : 132 = 32²2 = 342.

사용 : 91번(곱의 거듭제곱근) · 96번(근호와 거듭제곱의 순서) · 2.3의 82번

증명 끝

100정리이중근호 벗기기a ± b = a + a²−b2 ± a − a²−b2 (a > 0, a² ≥ b ≥ 0)
증명법 : 양변이 모두 0 이상임을 확인한 뒤, 제곱해서 같음을 보인다
X = a + a²−b2,  Y = a − a²−b2로 놓습니다.
① X, Y가 잘 정의되고 X ≥ Y ≥ 0임을 확인
a2 ≥ b이므로 a2 − b ≥ 0 → a2−b 는 실수	조건
a > 0이고 0 ≤ a2−b ≤ a	b ≥ 0이므로 a2−b ≤ a2
∴ X ≥ Y ≥ 0	분자가 모두 0 이상
② (X ± Y)²을 계산
(X ± Y)2 = X + Y ± 2XY	2.2의 73 · 74번
X + Y = (a + a2−b) + (a − a2−b)2 = 2a2 = a	근호 부분이 상쇄
XY = a2 − (a2−b)4 = b4	2.1의 65번(제곱의 차)
XY = b2	b ≥ 0
∴ (X ± Y)2 = a ± b
③ 제곱근을 취해 결론
①에서 X ± Y ≥ 0이고, a ± b ≥ 0입니다. 음이 아닌 두 수의 제곱이 같으므로 유일성에 의해 두 수 자체가 같습니다.
a ± b = X ± Y
실전에서 쓰는 형태 : a ± 2B 꼴이면, x + y = a, xy = B인 두 수 x ≥ y ≥ 0를 찾아
a ± 2B = x ± y단, x + y = a,  xy = B
예 : 5 + 26에서 x + y = 5, xy = 6이므로 x = 3, y = 2 → 5 + 26 = 3 + 2.
사용 : 2.2의 73 · 74번(합 · 차의 제곱) · 2.1의 65번(제곱의 차) · n제곱근의 유일성
증명 끝
교육과정 안내 : 이중근호는 현행 고교 교육과정에서 직접 다루지 않는 심화 내용입니다 (대학 과정이라는 뜻은 아닙니다). 다만 무리식 계산에서 종종 유용하므로 참고로 실어 둡니다.
101정리분모의 유리화 (합 · 차 꼴)1a ± b = a ∓ ba − b (a ≠ b, a, b ≥ 0)

증명법 : 분자 · 분모에 켤레(a ∓ b)를 곱하기

1a ± b = a ∓ b(a ± b)(a ∓ b)	분자 · 분모에 켤레를 곱함
분모 : (a)2 − (b)2 = a − b	2.1의 65번(제곱의 차) · 96번①
∴ 1a ± b = a ∓ ba − b

조건이 필요한 이유 : a = b이면 분모가 0이 되어 − 부호 쪽의 원래 식 (a − b = 0)부터 정의되지 않습니다. 또 a, b ≥ 0이어야 a, b가 실수입니다.

예 : 15 + 3 = 5 − 35 − 3 = 5 − 32.

사용 : 2.1의 65번(제곱의 차) · 96번(근호와 거듭제곱의 순서)

증명 끝