이론/ 대수/ 2.5 로그

2.5 수능 관련

로그

Logarithms

정의 · 공식과 증명

로그의 정의와 성질 15개(104~118번)를 정리합니다. 로그는 지수의 역연산으로 정의되며, 모든 로그 법칙은 이 정의(104번)와 2.3절의 지수법칙으로부터 증명됩니다.
이 절 전체에서 밑은 a > 0, a ≠ 1, 진수는 양수임을 언제나 가정합니다. 이 조건은 각 정리에도 다시 적어 두었습니다.
범위 안내 : 108~111번의 증명은 지수 m, n이 실수인 경우까지 지수법칙을 사용합니다. 고교 과정에서는 지수법칙을 유리수 지수까지 세운 뒤(2.3의 89·90번) 무리수 지수로는 “연속적으로 확장한다”고 약속하며, 그 확장이 실제로 가능하고 유일하다는 사실의 증명은 대학 미적분학·해석학의 내용입니다. 수능 준비생은 확장의 증명까지 공부할 필요가 없고, 실수 지수에서도 지수법칙이 그대로 성립한다는 사실만 사용하면 됩니다.

104정의로그의 정의y = log_a x ⇔ x = a^y (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. “a를 몇 제곱해야 x가 되는가”를 나타내는 수를 log_a x로 약속합니다.

y = log_a x ⇔ x = a^y(a > 0, a ≠ 1, x > 0)

a > 0, a ≠ 1이면 a^y은 항상 양수이고 y가 달라지면 값도 달라지므로, 양수 x 하나마다 x = a^y을 만족하는 실수 y가 단 하나 존재합니다. 그래서 위 약속이 모순 없이 성립합니다(존재성과 유일성은 지수함수의 연속성과 단조성에서 나오며, 그 엄밀한 증명은 대학 해석학의 중간값정리로 다룹니다).

a > 1일 때 y = a^x(붉은색)와 y = log_a x(푸른색)는 직선 y = x에 대하여 서로 대칭입니다. 두 곡선은 각각 점 (0, 1)과 (1, 0)을 지납니다 — 지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계입니다.

105정리1의 로그log_a 1 = 0

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

a⁰ = 1	2.3의 87번
∴ log_a 1 = 0	104번(x = 1, y = 0인 경우)

사용 : 104번(로그의 정의) · 2.3의 87번(a⁰ = 1)

증명 끝

106정리밑과 같은 수의 로그log_a a = 1

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

a¹ = a	2.3의 87번
∴ log_a a = 1	104번(x = a, y = 1인 경우)

사용 : 104번 · 2.3의 87번(a¹ = a)

증명 끝

107정의진수가 0에 가까워질 때 (극한 표기)limx→0⁺ log_a x = −∞ (a > 1), +∞ (0 < a < 1)

이것은 정리가 아니라 극한을 줄여 쓴 표기 약속입니다. 104번의 정의에서 진수는 반드시 양수이므로 log_a 0은 정의되지 않습니다. 아래 식은 “진수가 0에 한없이 가까워질 때 로그값이 어떻게 되는가”를 나타낸 것입니다.

limx→0⁺ log_a x = −∞ (a > 1), limx→0⁺ log_a x = +∞ (0 < a < 1)

a > 1일 때 a^y은 언제나 양수이지만 y가 작아질수록 0에 한없이 가까워지므로, x를 0에 가깝게 잡을수록 log_a x는 한없이 작아집니다. 0 < a < 1이면 a^y이 감소함수이므로 방향이 반대가 됩니다.

사용 : 104번(로그의 정의) · 지수함수의 단조성(8장에서 다룰 예정, 선행 인용)

108정리로그의 곱셈법칙log_a (xy) = log_a x + log_a y (x > 0, y > 0)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

m = log_a x, n = log_a y라 두면, 104번에 의해 x = a^m, y = aⁿ입니다.

xy = a^m · aⁿ	위의 치환
= a^m+n	2.3의 82번(지수의 덧셈)
∴ log_a (xy) = m + n	104번
= log_a x + log_a y	치환을 되돌림

사용 : 104번 · 2.3의 82번(지수의 덧셈)

증명 끝

109정리로그의 나눗셈법칙log_a (xy) = log_a x − log_a y (x > 0, y > 0)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

m = log_a x, n = log_a y라 두면 x = a^m, y = aⁿ입니다.

xy = a^maⁿ	위의 치환
= a^m−n	2.3의 83번(지수의 뺄셈)
∴ log_a (xy) = m − n	104번
= log_a x − log_a y	치환을 되돌림

사용 : 104번 · 2.3의 83번(지수의 뺄셈)

증명 끝

110정리로그의 거듭제곱법칙log_a (xⁿ) = n · log_a x (x > 0, n은 실수)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

m = log_a x이라 두면 x = a^m입니다.

xⁿ = (a^m)ⁿ	위의 치환
= a^mn	2.3의 86번(거듭제곱의 거듭제곱)
∴ log_a (xⁿ) = mn = n · log_a x	104번

조건에 주의 : x > 0이어야 합니다. 예를 들어 x = −2, n = 2이면 좌변 log_a 4는 정의되지만 우변의 log_a(−2)는 정의되지 않습니다. x < 0이고 n이 짝수인 경우까지 포함하려면 log_a(xⁿ) = n log_a|x| 로 써야 합니다.

사용 : 104번 · 2.3의 86번

증명 끝

111정리거듭제곱근의 로그log_a nx = 1n · log_a x (x > 0, n은 2 이상의 자연수)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

nx = x¹ⁿ	2.4의 98번(단위분수 지수)
∴ log_a nx = log_a (x¹ⁿ)	위 식을 대입
= 1n · log_a x	110번을 지수 1n에 적용

사용 : 110번 · 2.4의 98번

증명 끝

112정리밑의 변환공식log_a x = log_c xlog_c a = log_c x · log_a c (c > 0, c ≠ 1)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

m = log_a x이라 두면 x = a^m입니다. 여기에 밑이 c인 로그를 취합니다.

log_c x = log_c (a^m)	x = a^m
= m · log_c a	110번
∴ m = log_c xlog_c a	양변을 log_c a(≠ 0)로 나눔
∴ log_a x = log_c xlog_c a	치환을 되돌림

여기서 log_c a ≠ 0인 이유는 a ≠ 1이기 때문입니다(104번에 의해 log_c a = 0이면 a = c⁰ = 1이기 때문입니다).

두 번째 형태 : 아래 113번(역수 관계)에 의해 1log_c a = log_a c이므로 다음과 같이도 씁니다.

log_a x = log_c x · log_a c

순환논법이 아닌 이유 : 113번은 위 첫 번째 등식만 사용해서 유도됩니다. 즉 “112번의 첫 등식 → 113번 → 112번의 두 번째 형태” 순서이므로 서로가 서로를 필요로 하는 순환이 생기지 않습니다.

사용 : 104번 · 110번 · (두 번째 형태에 한하여) 113번

증명 끝

113정리밑과 진수의 교환 (역수 관계)log_a c = 1log_c a (a, c > 0, a, c ≠ 1)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

log_a c = log_c clog_c a	112번의 첫 등식에서 x = c
= 1log_c a	106번(log_c c = 1)

사용 : 112번(첫 등식) · 106번

증명 끝

114정리로그의 정의로 되돌아가기a^log_a x = x (x > 0)

증명법 : 직접증명법

m = log_a x이라 두면 104번의 정의에 의해 곧바로 x = a^m이고, m을 되돌려 쓰면 다음을 얻습니다.

x = a^log_a x

즉 104번의 정의를 반대 방향으로 읽은 것과 같습니다. 지수함수와 로그함수가 서로 역함수라는 사실을 식으로 쓴 형태입니다.

사용 : 104번(로그의 정의)

증명 끝

115정의상용로그log₁₀ x = log x (밑 10을 생략하는 표기)

정의(표기 약속)이므로 증명 대상이 아닙니다. 밑이 10인 로그는 밑을 생략하고 log x로 씁니다. 자릿수 계산 등에서 자주 쓰이기 때문입니다.

log₁₀ x = log x

116정의자연로그와 자연상수 elog_e x = ln x, e = limk→∞ (1 + 1k)^k ≈ 2.718281828

정의(표기 약속)이므로 증명 대상이 아닙니다. 밑이 자연상수 e인 로그를 ln x로 씁니다.

log_e x = ln x, e = limk→∞ (1 + 1k)^k = 2.718281828459045…

e의 근삿값은 2.71828 18284 59045…이며, 원주율과 마찬가지로 무리수입니다. 위 극한이 실제로 존재한다는 사실(수열 (1 + 1k)^k이 증가하면서 위로 유계임을 보이는 증명)은 대학 미적분학·해석학의 내용입니다. 수능 준비생은 e를 위 극한으로 정의한다는 약속과 근삿값 2.7182818…만 알면 충분합니다.

117정리상용로그를 자연로그로log x = ln xln 10 ≈ 0.434294 · ln x

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

log x = log₁₀ x = log_e xlog_e 10	112번에서 a = 10, c = e
= ln xln 10	116번(자연로그 표기)
≈ 0.434294 · ln x	1ln 10 ≈ 12.302585 ≈ 0.434294

사용 : 112번 · 116번

증명 끝

118정리자연로그를 상용로그로ln x = log xlog e ≈ 2.302585 · log x

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

ln x = log₁₀ xlog₁₀ e	112번에서 a = e, c = 10
= log xlog e	115번(상용로그 표기)
≈ 2.302585 · log x	1log e ≈ 10.434294 ≈ 2.302585

117번과 118번의 두 상수는 서로 역수입니다 : 0.434294 × 2.302585 ≈ 1.

사용 : 112번 · 115번

증명 끝

chapter:02-algebra section:2.5