2.5
로그
Logarithms
정의 · 공식과 증명
로그의 정의와 성질 15개(104~118번)를 정리합니다. 로그는 지수의 역연산으로 정의되며, 모든 로그 법칙은
이 정의(104번)와 2.3절의 지수법칙으로부터 증명됩니다.
이 절 전체에서 밑은 a > 0, a ≠ 1, 진수는 양수임을 언제나 가정합니다. 이 조건은 각 정리에도
다시 적어 두었습니다.
범위 안내 : 104번과 108~111번은 지수가 실수인 경우까지 지수법칙을 씁니다. 그 근거는 맨 앞의
실수 지수의 약속(받아들이는 사실)입니다. 수능 준비생은 확장의 증명까지
공부할 필요가 없고, 실수 지수에서도 지수법칙이 그대로 성립한다는 사실만 사용하면 됩니다.
·약속대학실수 지수와 지수법칙 (이 절의 근거)axay = ax+y, (ax)y = axy (a > 0, x, y는 실수)
받아들이는 사실입니다. 지수를 무리수까지 넓히는 정의와 아래 성질의 증명에는 실수의 완비성이 필요하며, 이는 대학 미적분학·해석학의 내용입니다. 그래서 여기서는 증명하지 않고 받아들여 씁니다. 2.3의 87~90번(정수·유리수 지수)을 실수 지수까지 잇는 약속입니다.
ⓐ 값 : a > 0이면 모든 실수 x에 대하여 ax는 하나로 정해지는 양수입니다. x가 정수나 유리수이면 그 값은 2.3의 87~90번에서 정한 값과 같습니다.
ⓑ 지수법칙 : a, b > 0이고 x, y가 실수이면 다음이 성립합니다.
ax · ay = ax+y, axay = ax−y, (ax)y = axy, (ab)x = axbx
x, y가 자연수일 때는 이 네 식이 2.3의 82·83·86·84번이며, 거기서 증명했습니다.
ⓒ 증가·감소와 값의 범위 : a > 1이면 x가 커질수록 ax도 커지고, 0 < a < 1이면 ax는 작아집니다. 그래서 a ≠ 1이면 서로 다른 x에서 ax의 값이 서로 다르고, 모든 양수가 ax의 값으로 꼭 한 번씩 나옵니다(‘빠짐없이 나온다’는 부분이 중간값정리의 내용입니다).
쓰는 곳 : 이 절의 104번 · 108~111번 · 113번
104정의로그의 정의y = loga x ⇔ x = ay (a > 0, a ≠ 1, x > 0)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. “a를 몇 제곱해야 x가 되는가”를 나타내는 수를 loga x로 약속합니다.
y = loga x ⇔ x = ay(a > 0, a ≠ 1, x > 0)
실수 지수의 약속 ⓐ·ⓒ에 의해, a > 0, a ≠ 1이면 ay은 언제나 양수이고 양수 x 하나마다 x = ay을 만족하는 실수 y가 꼭 하나 있습니다(ⓒ의 ‘서로 다른 y에서 값이 다르다’가 유일성, ‘모든 양수가 값으로 나온다’가 존재성). 그래서 위 약속이 모순 없이 성립합니다. 진수 x를 양수로 제한하는 것도 ay이 늘 양수이기 때문입니다.
a > 1일 때 y = ax(붉은색)와 y = loga x(푸른색)는 직선 y = x에 대하여 서로 대칭입니다. 두 곡선은 각각 점 (0, 1)과 (1, 0)을 지납니다 — 지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계입니다.
105정리1의 로그loga 1 = 0
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
| a0 = 1 | 2.3의 87번 |
| ∴ loga 1 = 0 | 104번(x = 1, y = 0인 경우) |
사용 : 104번(로그의 정의) · 2.3의 87번(a0 = 1)
증명 끝
106정리밑과 같은 수의 로그loga a = 1
107정의진수가 0에 가까워질 때 (극한 표기)limx→0+ loga x = −∞ (a > 1), +∞ (0 < a < 1)
이것은 정리가 아니라 극한을 줄여 쓴 표기 약속입니다. 104번의 정의에서 진수는 반드시 양수이므로 loga 0은 정의되지 않습니다. 아래 식은 “진수가 0에 한없이 가까워질 때 로그값이 어떻게 되는가”를 나타낸 것입니다.
limx→0+ loga x = −∞ (a > 1), limx→0+ loga x = +∞ (0 < a < 1)
a > 1일 때 ay은 언제나 양수이지만 y가 작아질수록 0에 한없이 가까워지므로, x를 0에 가깝게 잡을수록 loga x는 한없이 작아집니다. 0 < a < 1이면 ay이 감소함수이므로 방향이 반대가 됩니다. 기호 ±∞의 정확한 뜻은 8.2의 637번 ⑵(무한대로의 발산)이고, 위 극한이 그 뜻으로 성립함은 637번의 보기 2에서 확인합니다.
108정리로그의 곱셈법칙loga (xy) = loga x + loga y (x > 0, y > 0)
109정리로그의 나눗셈법칙loga (xy) = loga x − loga y (x > 0, y > 0)
110정리로그의 거듭제곱법칙loga (xn) = n · loga x (x > 0, n은 실수)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
m = loga x이라 두면 x = am입니다.
| xn = (am)n | 위의 치환 |
| = amn | 실수 지수의 약속 ⓑ(자연수 지수면 2.3의 86번) |
| ∴ loga (xn) = mn = n · loga x | 104번 |
조건에 주의 : x > 0이어야 합니다. 예를 들어 x = −2, n = 2이면 좌변 loga 4는 정의되지만 우변의 loga(−2)는 정의되지 않습니다. x < 0이고 n이 짝수인 경우까지 포함하려면 loga(xn) = n loga|x| 로 써야 합니다.
사용 : 104번 · 실수 지수의 약속 ⓑ(거듭제곱의 거듭제곱)
증명 끝
111정리거듭제곱근의 로그loga nx = 1n · loga x (x > 0, n은 2 이상의 자연수)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
| nx = x1n | 2.4의 98번(단위분수 지수) |
| ∴ loga nx = loga (x1n) | 위 식을 대입 |
| = 1n · loga x | 110번을 지수 1n에 적용 |
증명 끝
112정리밑의 변환공식loga x = logc xlogc a = logc x · loga c (c > 0, c ≠ 1)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
m = loga x이라 두면 x = am입니다. 여기에 밑이 c인 로그를 취합니다.
| logc x = logc (am) | x = am |
| = m · logc a | 110번 |
| ∴ m = logc xlogc a | 양변을 logc a(≠ 0)로 나눔 |
| ∴ loga x = logc xlogc a | 치환을 되돌림 |
여기서 logc a ≠ 0인 이유는 a ≠ 1이기 때문입니다(104번에 의해 logc a = 0이면 a = c0 = 1이기 때문입니다).
두 번째 형태 : 아래 113번(역수 관계)에 의해 1logc a = loga c이므로 다음과 같이도 씁니다.
loga x = logc x · loga c
순환논법이 아닌 이유 : 113번은 112번을 쓰지 않고 104번과 실수 지수의 약속만으로 증명됩니다. 그래서 두 번째 형태가 113번을 써도 서로가 서로를 필요로 하는 순환이 생기지 않습니다.
사용 : 104번 · 110번 · (두 번째 형태에 한하여) 113번
증명 끝
113정리밑과 진수의 교환 (역수 관계)loga c = 1logc a (a, c > 0, a, c ≠ 1)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
m = loga c라 두면 104번에 의해 c = am입니다. c ≠ 1이므로 m ≠ 0입니다 (m = 0이면 c = a0 = 1이 되기 때문입니다, 105번).
| c1m = (am)1m | c = am |
| = am·1m = a1 = a | 실수 지수의 약속 ⓑ · 2.3의 87번 |
| ∴ logc a = 1m | 104번(밑이 c) |
| ∴ loga c = m = 1logc a | m ≠ 0이므로 양변의 역수 |
이 증명은 112번을 쓰지 않습니다. (확인 : 112번의 첫 등식에 x = c를 넣고 106번을 쓰면 같은 결과가 나옵니다.)
사용 : 104번 · 105번 · 실수 지수의 약속 ⓑ · 2.3의 87번
증명 끝
114정리로그의 정의로 되돌아가기aloga x = x (x > 0)
115정의상용로그log10 x = log x (밑 10을 생략하는 표기)
정의(표기 약속)이므로 증명 대상이 아닙니다. 밑이 10인 로그는 밑을 생략하고 log x로 씁니다. 자릿수 계산 등에서 자주 쓰이기 때문입니다.
log10 x = log x
116정의자연로그와 자연상수 eloge x = ln x, e = limk→∞ (1 + 1k)k ≈ 2.718281828
정의(표기 약속)이므로 증명 대상이 아닙니다. 밑이 자연상수 e인 로그를 ln x로 씁니다.
loge x = ln x, e = limk→∞ (1 + 1k)k = 2.718281828459045…
위 정의에서 k는 자연수입니다(수열의 극한). e의 근삿값은 2.71828 18284 59045…이며, 원주율과 마찬가지로 무리수입니다(무리수라는 사실의 증명은 여기서 다루지 않습니다). 위 극한이 실제로 존재한다는 사실(수열 (1 + 1k)k이 증가하면서 위로 유계임을 보이는 증명)은 대학 미적분학·해석학의 내용입니다. 수능 준비생은 e를 위 극한으로 정의한다는 약속과 근삿값 2.7182818…만 알면 충분합니다.
함께 받아들이는 사실 : ① k가 자연수가 아니라 실수로 한없이 커져도 (1 + 1k)k는 같은 수 e로 다가갑니다. ② 2 < e < 3이므로 e > 0, e ≠ 1이어서 e를 로그의 밑으로 쓸 수 있습니다. 두 사실의 증명도 대학 과정입니다.
117정리상용로그를 자연로그로log x = ln xln 10 ≈ 0.434294 · ln x
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
| log x = log10 x = loge xloge 10 | 112번에서 a = 10, c = e(e > 0, e ≠ 1 : 116번) |
| = ln xln 10 | 116번(자연로그 표기) |
| ≈ 0.434294 · ln x | 1ln 10 ≈ 12.302585 ≈ 0.434294 |
증명 끝
118정리자연로그를 상용로그로ln x = log xlog e ≈ 2.302585 · log x
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
| ln x = log10 xlog10 e | 112번에서 a = e(e > 0, e ≠ 1 : 116번), c = 10 |
| = log xlog e | 115번(상용로그 표기) |
| ≈ 2.302585 · log x | 1log e ≈ 10.434294 ≈ 2.302585 |
117번과 118번의 두 상수는 정확히 서로 역수입니다 : 113번에 의해 1log e = 1log10 e = loge 10 = ln 10이고, 117번의 상수는 1ln 10이기 때문입니다(어림값으로도 0.434294 × 2.302585 ≈ 1).
사용 : 112번 · 115번 · 116번 · 113번(두 상수의 관계)
증명 끝