2.6
방정식
Equations
정의 · 공식과 증명
방정식 관련 공식 7개(119~125번)를 정리합니다. 119~124번(일차방정식, 이차방정식의 근의 공식, 판별식,
근과 계수의 관계)은 국내 고등학교 교육과정의 핵심 내용입니다.
범위 안내 : 125번(삼차방정식의 카르다노 공식)은 현행 고교 교육과정·수능 범위 밖의
대학 대수학(체론·갈루아 이론으로 이어지는 방정식론) 내용입니다.
수능 준비생은 여기까지 공부할 필요가 없습니다.
이 절에서는 별도 언급이 없으면 계수 a, b, c, p, q는 실수로 둡니다.
119정리일차방정식ax + b = 0 ⇒ x = −ba (a ≠ 0)
120정리이차방정식의 근의 공식ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = −b ± b2 − 4ac2a (a ≠ 0)
증명법 : 직접증명법 (완전제곱식 만들기)
a ≠ 0이므로 양변을 a로 나눈 뒤, x의 계수의 절반의 제곱인 (b2a)2을 더하고 다시 빼서 완전제곱식을 만듭니다.
| x2 + bax + ca = 0 | 양변을 a로 나눔 |
| x2 + 2 · b2a · x + (b2a)2 − (b2a)2 + ca = 0 | (b2a)2을 더하고 뺌 |
| (x + b2a)2 = (b2a)2 − ca | 2.2의 74번(합의 제곱)을 역방향으로 사용 |
| (x + b2a)2 = b2 − 4ac4a2 | 우변을 통분 |
| x + b2a = ± b2 − 4ac2a | 양변의 제곱근을 취함 (4a2 > 0이므로 분모의 부호는 ±에 흡수됨) |
| ∴ x = −b ± b2 − 4ac2a | 양변에서 b2a을 뺌 |
실근·허근 : b2 − 4ac ≥ 0이면 근호 안이 0 이상이므로 두 근이 모두 실수입니다. b2 − 4ac < 0이면 1.4절의 허수단위 i를 써서 b2 − 4ac = 4ac − b2 i 로 읽으며, 이때 두 근은 서로 켤레인 허근이 됩니다.
사용 : 2.2의 74번(합의 제곱) · 1.3의 사칙연산 공리 · 1.4의 허수단위(D < 0인 경우)
증명 끝
121정의판별식D = b2 − 4ac
120번의 근의 공식에서 근호 안의 식을 판별식이라 부르고 D로 씁니다. 정의이므로 증명 대상이 아닙니다.
D = b2 − 4ac
계수가 실수일 때, 120번의 근의 공식에서 D의 부호에 따라 근의 모양이 다음과 같이 결정됩니다 (이 성질 자체는 정의가 아니라 120번에서 곧바로 따라오는 사실입니다).
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 |
| D = 0 | 중근(서로 같은 두 실근, 실제 값은 하나) |
| D < 0 | 서로 켤레인 두 허근 |
사용 : 120번(근의 공식)
122정리비에트의 공식 (근과 계수의 관계)x2 + px + q = 0의 두 근이 x1, x2이면 x1 + x2 = −p, x1x2 = q
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
120번에 a = 1, b = p, c = q를 대입하면 두 근은 다음과 같습니다.
x1 = −p + p2 − 4q2, x2 = −p − p2 − 4q2
두 근의 합
| x1 + x2 = (−p + p2 − 4q) + (−p − p2 − 4q)2 | 두 근을 더함 |
| = −2p2 = −p | 근호 항이 상쇄됨 |
두 근의 곱
| x1x2 = (−p)2 − (p2 − 4q)24 | 2.1의 65번(제곱의 차) |
| = p2 − (p2 − 4q)4 = 4q4 = q | 정리 |
일반형에서 : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 양변을 a로 나누면 p = ba, q = ca이므로, 위 결과는 다음과 같이 바뀝니다.
x1 + x2 = −ba, x1x2 = ca
D < 0이어서 두 근이 허근인 경우에도 위 계산은 그대로 성립합니다(근호 항이 상쇄되고 제곱의 차만 남기 때문입니다).
사용 : 120번(근의 공식) · 2.1의 65번(제곱의 차)
증명 끝
123정리c = 0인 이차방정식ax2 + bx = 0 ⇒ x = 0 또는 x = −ba (a ≠ 0)
124정리b = 0인 이차방정식ax2 + c = 0 ⇒ x = ±−ca (a ≠ 0, −ca ≥ 0)
증명법 : 직접증명법
| ax2 = −c | 양변에서 c를 뺌 |
| x2 = −ca | 양변을 a(≠ 0)로 나눔 |
| ∴ x = ±−ca | −ca ≥ 0일 때 실근이 존재 |
−ca < 0이면 실근이 없고, 허수단위를 쓰면 두 허근 x = ±ca i 를 얻습니다.
120번과의 일치 확인 : 근의 공식에 b = 0을 대입하면 x = ±−4ac2a = ±−aca이고, 한편 −ca = −ac|a|입니다. a < 0이면 두 식의 부호가 서로 반대이지만, 앞에 ±가 붙어 있으므로 두 근의 집합은 같습니다.
사용 : 120번(b = 0인 특수한 경우) · 2.4의 96번(짝수 제곱근과 절댓값)
증명 끝
125정리대학삼차방정식의 카르다노 공식 (Cardano’s Formula)y3 + py + q = 0 ⇒ y1 = u + v, y2, y3 = −(u + v)2 ± 32(u − v) i u = 3−q2 + (q2)2 + (p3)3, v = 3−q2 − (q2)2 + (p3)3, uv = −p3
증명법 : 직접증명법 (치환법)
범위 안내 : 이 항목은 고교 교육과정·수능 범위 밖입니다 (대학 대수학의 방정식론). 아래 증명은 삼차방정식이 왜 “근호로 풀리는가”를 보여 주는 고전적 유도이며, 수능 준비생은 읽지 않아도 됩니다.
0단계 — 일반형을 축소형으로. 일반 삼차방정식 ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)은 x = y − b3a으로 치환하면 이차항이 사라져 아래의 축소형 y3 + py + q = 0이 됩니다. 그래서 축소형만 풀면 충분합니다.
1단계 — 두 변수로 쪼개기. y = u + v로 두고, u, v는 아직 정하지 않은 두 수라고 봅니다.
| y3 = (u + v)3 = u3 + v3 + 3uv(u + v) | 2.2의 76번(합의 세제곱) |
| = u3 + v3 + 3uv · y | u + v = y |
| ∴ y3 − 3uv · y − (u3 + v3) = 0 | 이항 |
2단계 — 계수 비교. 이 식이 원래의 y3 + py + q = 0과 같아지도록 u, v를 고르면 됩니다. 즉 다음 두 조건을 만족하는 u, v를 찾습니다.
uv = −p3 …①
u3 + v3 = −q …②
3단계 — u3, v3을 두 근으로 갖는 이차방정식. ①의 양변을 세제곱하면 u3v3 = (uv)3 = (−p3)3 = −(p3)3이므로, 122번(근과 계수의 관계)을 거꾸로 쓰면 u3, v3은 다음 이차방정식의 두 근입니다.
t2 + qt − (p3)3 = 0
| t = −q ± q2 + 4(p3)32 | 120번(근의 공식) |
| = −q2 ± (q2)2 + (p3)3 | 근호 안을 14로 정리 |
4단계 — 세제곱근을 취한다. u3, v3에 세제곱근을 취하면 u, v를 얻습니다. 이때 세제곱근의 세 값 중 아무거나 골라서는 안 되고, 반드시 ① (uv = −p3)를 만족하는 짝만 골라야 합니다. 이 조건을 빠뜨리면 근이 아닌 값이 섞여 나옵니다.
u = 3−q2 + (q2)2 + (p3)3, v = 3−q2 − (q2)2 + (p3)3
5단계 — 나머지 두 근. 1의 원시세제곱근 ω = −1 + 3 i2을 이용하면 u의 다른 두 세제곱근은 ωu, ω2u이고, 각각에 ①를 만족시키는 짝 ω2v, ωv를 맞추어 더하면 나머지 두 근이 나옵니다. 정리하면 다음과 같습니다.
y1 = u + v, y2, y3 = −(u + v)2 ± 32(u − v) i
이 구조는 1.4절의 복소수 n제곱근(63번, n = 3인 경우)과 같습니다. 또한 근호 안의 (q2)2 + (p3)3이 음수이면 (세 근이 모두 실수인 경우) 계산 도중 반드시 허수가 등장합니다 — 이를 환원 불능의 경우 (casus irreducibilis)라 하며, 복소수가 수학에 받아들여지게 된 역사적 계기가 되었습니다.
사용 : 2.2의 76번(합의 세제곱) · 120번(근의 공식) · 122번(근과 계수의 관계, 역방향) · 1.4의 63번(복소수의 n제곱근)
증명 끝