2.7
부등식
Inequalities
정의 · 공식과 증명
부등식의 성질과 활용 27개(126~152번)를 정리합니다. 127~136번은 실수의 순서공리에서 바로 나오는 기본 성질,
137~142번은 거듭제곱·평균과 관련된 부등식, 143~152번은 부등식을 실제로 푸는 방법(일차·이차·절댓값·유리부등식)입니다.
이 절에서 반복해서 쓰는 순서공리 : ① 임의의 두 실수 a, b에 대해 a > b, a = b, a < b 중 정확히
하나가 성립한다(삼분법) ② a > b의 뜻은 a − b가 양수라는 것이다 ③ 양수끼리의 합과 곱은 양수이다
④ a > b, b > c이면 a > c이다(추이법칙).
범위 안내 : 137번을 자연수가 아닌 실수 지수까지 확장하는 부분과 142번(일반 n에 대한 산술—기하 평균
부등식)은 고교 교육과정·수능 범위 밖이며 대학 해석학의 내용입니다.
수능에서는 137번의 자연수 지수, 140번(n = 2인 산술—기하 평균)까지만 쓰입니다.
126정의부등식과 구간 표기[a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (−∞, b], (−∞, b), [a, ∞), (a, ∞)
정의(표기 약속)이므로 증명 대상이 아닙니다. 대괄호 [ ]는 그 끝점을 포함(≤, ≥), 소괄호 ( )는 포함하지 않음(<, >)을 나타냅니다. 국내 교육과정과 같은 표기입니다. ∞는 수가 아니라 “끝없이 뻗어감”을 나타내는 기호이므로 언제나 소괄호를 씁니다.
[a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (−∞, b], (−∞, b), [a, ∞), (a, ∞)
닫힌구간(채운 점, 끝점 포함)과 열린 반직선(빈 점, 끝점 제외)의 예
127정리부등식의 대칭성a > b ⇔ b < a
128정리부등식과 뺄셈의 부호a > b ⇔ a − b > 0 ⇔ b − a < 0
129정리부등식의 덧셈a > b ⇒ a + c > b + c
131정리두 부등식의 변끼리 덧셈a > b 이고 c > d 이면 a + c > b + d
증명법 : 직접증명법
| a + c > b + c | a > b에 129번 적용(양변에 c를 더함) |
| b + c > b + d | c > d에 129번 적용(양변에 b를 더함) |
| ∴ a + c > b + d | 순서공리 ④(추이법칙) |
등호가 섞인 형태 — a ≥ b 이고 c ≥ d 이면 a + c ≥ b + d — 도 성립합니다. 두 등호가 모두 성립하면 양변이 같고, 그렇지 않으면 위와 같은 논법(129번과 추이법칙, 등호인 쪽은 그대로 둠)으로 부등호가 됩니다(146번에서 이 형태를 씁니다).
사용 : 129번(두 차례) · 순서공리 ④(추이법칙)
증명 끝
132정리두 부등식의 변끼리 뺄셈a > b 이고 c > d 이면 a − d > b − c
133정리양수를 곱하는 부등식a > b 이고 m > 0 이면 ma > mb
134정리양수로 나누는 부등식a > b 이고 m > 0 이면 am > bm
증명법 : 직접증명법
보조 사실(0이 아닌 수의 제곱은 양수) : x ≠ 0이면 x2 > 0입니다. x > 0이면 순서공리 ③으로 x·x > 0이고, x < 0이면 −x > 0이므로 x2 = (−x)(−x) > 0입니다. 따라서 모든 실수 x에 대해 x2 ≥ 0이고, x2 = 0은 x = 0일 때뿐입니다(136·140·145·149·150·151번에서 씁니다).
m > 0이면 1m ≠ 0이고(m·0 = 0 ≠ 1, 1.3의 41번), 1m = m·(1m)2에서 위 보조 사실과 순서공리 ③에 의해 1m > 0입니다(양수의 역수는 양수). 133번에서 곱하는 수를 1m으로 두면 곧바로 얻습니다.
1m · a > 1m · b, 즉 am > bm
증명 끝
135정리음수를 곱하면 부등호 반전a > b 이고 m < 0 이면 ma < mb
136정리음수로 나누면 부등호 반전a > b 이고 m < 0 이면 am < bm
137정리양수의 거듭제곱과 대소관계0 < a < b 이고 n이 자연수이면 an < bn
증명법 : 수학적 귀납법
n이 자연수인 경우를 수학적 귀납법으로 증명합니다.
| n = 1 : a1 = a < b = b1 | 가정 그 자체 |
| n = k 가정 : ak < bk | 귀납 가정 |
| a · ak < a · bk | 133번(a > 0을 곱함) |
| a · bk < b · bk | 133번(bk > 0을 a < b에 곱함) |
| ∴ ak+1 < bk+1 | 순서공리 ④(추이법칙) |
범위 안내 : 위 증명은 n이 자연수일 때의 것입니다. n이 유리수이면 2.4절의 거듭제곱근과 139번을 이어 붙여 같은 결론을 얻고, n이 무리수인 경우까지 포함하려면 지수함수의 연속성과 단조성이 필요하며 이는 대학 해석학의 내용입니다. 수능에서는 자연수 지수의 경우만 쓰입니다.
사용 : 133번 · 선행학습 수학적 귀납법
증명 끝
138정리음의 지수에서는 부등호 반전0 < a < b 이고 n이 음의 정수이면 an > bn
증명법 : 직접증명법
n이 음의 정수이므로 −n은 자연수이고, 2.3의 88번에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
an = 1a−n, bn = 1b−n
| a−n < b−n | 137번 (−n은 자연수) |
| 1a−n − 1b−n = b−n − a−na−nb−n > 0 | 분자 > 0, 분모 > 0(양수끼리의 곱, 순서공리 ③)이므로 몫도 양수(134번) |
| ∴ an > bn | 128번 |
보강 : 이전 판에서는 “두 양수 중 작은 수의 역수가 더 크다”를 근거 없이 사용했습니다. 위와 같이 두 역수의 차를 직접 통분하면 별도의 정리 없이 증명됩니다.
사용 : 137번 · 128번 · 134번 · 2.3의 88번(음의 정수 지수)
증명 끝
139정리거듭제곱근과 대소관계0 < a < b 이면 na < nb (n은 2 이상의 자연수)
증명법 : 귀류법
결론을 부정하여 na ≥ nb라고 가정하고 모순을 이끌어냅니다. (n은 2 이상의 자연수, a, b > 0이므로 두 거듭제곱근은 모두 양수입니다.)
| (i) na > nb이면 (nb)n < (na)n | 137번 |
| 즉 b < a | 2.4의 96번((na)n = a) |
| (ii) na = nb이면 양변을 n제곱하여 a = b | 같은 수의 n제곱은 같음 |
| (i)(ii) 모두 a < b에 모순 | 순서공리 ①(삼분법) |
| ∴ na < nb | 귀류법 |
거꾸로 na < nb이면 137번에 의해 a < b이므로, 사실 두 명제는 서로 동치입니다(149번에서 이 동치를 사용합니다).
사용 : 137번 · 2.4의 96번 · 간접증명법(귀류법)
증명 끝 (귀류법)
140정리산술—기하 평균 부등식 (AM–GM, n = 2)ab ≤ a + b2 (a, b > 0, 등호는 a = b일 때)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
두 수의 차를 직접 계산해서 항상 0 이상임을 보입니다. a, b > 0이므로 a, b가 모두 정의되고, ab = a · b입니다 (2.4의 91번).
| a + b2 − ab = a − 2ab + b2 | 통분 |
| = (a)2 − 2ab + (b)22 | a = (a)2, b = (b)2 |
| = (a − b)22 ≥ 0 | 2.2의 73번(차의 제곱)을 역방향으로 사용 — 제곱은 0 이상(134번의 보조 사실), 2로 나누어도 그대로(134번) |
| ∴ ab ≤ a + b2 | 128번 |
등호 조건 : 등호는 (a − b)2 = 0일 때, 즉 a = b 곧 a = b일 때만 성립합니다.
사용 : 2.2의 73번(차의 제곱) · 2.4의 91번(곱의 거듭제곱근) · 128번 · 134번(보조 사실 포함)
증명 끝
141정리역수의 합의 최솟값a + 1a ≥ 2 (a > 0, 등호는 a = 1일 때)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
140번(AM–GM)에서 b 대신 1a을 대입합니다(a > 0이므로 1a > 0).
| a · 1a ≤ a + 1a2 | 140번 |
| 1 = 1 ≤ a + 1a2 | 좌변 계산 |
| ∴ a + 1a ≥ 2 | 양변에 2를 곱함 — 133번 |
등호 조건 : 140번의 등호 조건 a = 1a에서 a2 = 1이고, a > 0이므로 a = 1일 때만 등호가 성립합니다.
증명 끝
·보조정리대학AM–GM의 배가(倍加) 단계 (142번의 근거)Q(n) ⇒ Q(2n)
증명법 : 직접증명법
표기 안내 : 이 보조정리와 다음 보조정리, 그리고 142번 전체에서 Q(n)은 다음 명제를 뜻합니다 — “n개의 양의 실수 a1, a2, …, an에 대하여 na1a2…an ≤ a1 + a2 + … + ann이 성립하고, 등호는 a1 = a2 = … = an일 때만 성립한다.”
자연수 n에 대해 Q(n)이 성립한다고 가정하고, 임의의 양의 실수 a1, …, a2n이 주어졌다고 하자. 앞의 n개와 뒤의 n개로 나누어 각각의 평균을
A = a1 + a2 + … + ann, B = an+1 + … + a2nn
라 하자. ai > 0이므로 A > 0, B > 0이다. Q(n)을 앞의 n개, 뒤의 n개에 각각 적용하면
| na1a2…an ≤ A | Q(n)을 a1, …, an에 적용 |
| nan+1an+2…a2n ≤ B | Q(n)을 an+1, …, a2n에 적용 |
두 부등식의 좌변은 모두 양수(양수들의 곱의 n제곱근)이고 우변도 A, B > 0이므로, 양변이 모두 음이 아닌 두 부등식을 변끼리 곱해도 부등호 방향은 유지된다(133번의 양수 곱셈 규칙을 두 인수에 순서대로 적용하는 것과 같음 — na1a2…an · nan+1an+2…a2n ≤ A · nan+1an+2…a2n ≤ A · B).
| na1a2…an · nan+1an+2…a2n ≤ AB | 위 두 부등식을 변끼리 곱함 |
| na1a2…a2n ≤ AB | 2.4의 91번(곱의 거듭제곱근) |
| na1a2…a2n ≤ AB | 양변이 음이 아니므로 139번(제곱근과 대소관계, n = 2) |
| 2na1a2…a2n ≤ AB | 거듭제곱근의 거듭제곱근 — nx = 2nx (2.4의 94번) |
| AB ≤ A + B2 | 140번(AM–GM, n = 2)를 A, B에 적용 |
| ∴ 2na1a2…a2n ≤ A + B2 = a1 + a2 + … + a2n2n | A, B의 정의를 대입 |
등호 조건 : 위 사슬의 각 부등호는 모두 그 근거가 되는 정리(Q(n) 두 번, 140번)의 등호 조건이 각각 성립할 때만 등식이 되므로, 전체 등호는 “a1 = … = an”이고 “an+1 = … = a2n”이고 “A = B”일 때, 그리고 그때만 성립한다. 앞의 두 조건에 의해 A = a1, B = an+1이므로 세 조건을 합치면 결국 a1 = a2 = … = a2n(2n개 전부가 같음)과 동치이다 — 이는 정확히 Q(2n)이 요구하는 등호 조건이다.
사용 : 133번(양수를 곱하는 부등식) · 2.4의 91번(곱의 거듭제곱근) · 139번(거듭제곱근과 대소관계) · 140번(AM–GM, n = 2)
증명 끝
·보조정리대학AM–GM의 후진(後進) 단계 (142번의 근거)Q(n) ⇒ Q(n−1) (n ≥ 3)
증명법 : 직접증명법
3 이상의 자연수 n에 대해(그래야 아래에서 쓰는 139번의 지수 n − 1이 2 이상) Q(n)이 성립한다고 가정하고, 임의의 양의 실수 a1, a2, …, an−1이 주어졌다고 하자 (n − 1개). 이들의 평균을
s = a1 + a2 + … + an−1n − 1
이라 하면 ai > 0이므로 s > 0이고, 정의에 의해 a1 + a2 + … + an−1 = (n − 1)s이다. 이제 n개의 양수 a1, a2, …, an−1, s에 Q(n)을 적용한다.
| na1a2…an−1 · s ≤ a1 + a2 + … + an−1 + sn | Q(n)을 a1, a2, …, an−1, s에 적용 |
| = (n − 1)s + sn = nsn = s | a1 + a2 + … + an−1 = (n − 1)s를 대입 |
| ∴ na1a2…an−1 · s ≤ s | 위 두 줄을 결합 |
| a1a2…an−1 · s ≤ sn | 양변이 양수이므로 137번(양수의 거듭제곱과 대소관계)의 n제곱 · 좌변의 n제곱근을 n제곱하면 원래 수(2.4의 96번) |
| a1a2…an−1 ≤ sn−1 | 양변을 s(> 0)로 나눔 — 134번 · 2.3의 83번 |
| ∴ n−1a1a2…an−1 ≤ s = a1 + a2 + … + an−1n − 1 | 양변이 음이 아니므로 139번(거듭제곱근과 대소관계)의 (n−1)제곱근 (n − 1 ≥ 2) · 우변은 96번으로 s |
이는 정확히 Q(n − 1)이다.
등호 조건 : 위 사슬은 모두 Q(n)의 적용(첫 줄)과 거듭제곱·나눗셈·거듭제곱근이라는 순증가 연산으로만 이루어져 있으므로, 전체 등호는 첫 줄에서 Q(n)의 등호 조건이 성립할 때, 즉 “a1 = a2 = … = an−1 = s”일 때, 그리고 그때만 성립한다. 그런데 s는 a1, …, an−1의 평균이므로, a1 = … = an−1이면 자동으로 s도 그 공통값과 같아진다. 따라서 이 등호 조건은 결국 a1 = a2 = … = an−1과 동치이다 — 이는 정확히 Q(n − 1)이 요구하는 등호 조건이다.
사용 : 134번(양수로 나누는 부등식) · 2.4의 96번 · 2.3의 83번 · 137번 (양수의 거듭제곱과 대소관계) · 139번(거듭제곱근과 대소관계)
증명 끝
142정리대학산술—기하 평균 부등식 (일반 n)na1a2…an ≤ a1 + a2 + … + ann (모든 ai > 0)
증명법 : 수학적 귀납법 (코시의 전진—후진 귀납법)
범위 안내 : n = 2인 경우(140번)와 n = 3인 경우 정도까지가 고교에서 쓰이며, 일반 n에 대한 이 증명은 수능 범위 밖입니다(대학 해석학·부등식론). 수능 준비생은 140번까지만 익히면 됩니다.
앞의 두 보조정리(배가 단계, 후진 단계)에서 정의한 대로, 2 이상의 자연수 n에 대한 명제 Q(n)을 “n개의 양의 실수 a1, a2, …, an에 대하여 na1a2…an ≤ a1 + a2 + … + ann이 성립하고, 등호는 a1 = a2 = … = an일 때만 성립한다”로 둔다. 코시(Cauchy)의 방법은 ① Q(n)이 성립하는 n을 2의 거듭제곱 전체로 전진시킨 다음, ② 후진 단계로 그 사이의 모든 n을 거꾸로 채우는 두 단계로 이루어진다.
1단계 — 2의 거듭제곱에서 성립. k에 대한 명제 R(k) : “Q(2k)가 성립한다”를 1 이상의 모든 자연수 k에 대해 수학적 귀납법으로 증명한다.
| Ⅰ | R(1)은 Q(2)이고, 이는 140번(AM–GM, n = 2)에서 이미 증명되어 있다. |
| Ⅱ | R(k)가 성립한다고 가정하면, 즉 Q(2k)가 성립한다고 가정하면, 배가 단계 보조정리(n = 2k)에 의해 Q(2 · 2k) = Q(2k+1)도 성립한다. 즉 R(k) ⇒ R(k+1)이다. |
Ⅰ, Ⅱ에 의해 R(k), 즉 Q(2k)는 1 이상의 모든 자연수 k에 대해 성립한다.
2단계 — 후진으로 사이 값을 채움. 이제 임의의 자연수 n ≥ 2가 주어졌다고 하자. 2k ≥ n인 자연수 k를 하나 고른다(예를 들어 k = n이면 된다 — 2m ≥ m + 1은 m에 대한 귀납법으로 바로 나온다 : 2m+1 = 2·2m ≥ 2(m + 1) ≥ m + 2). j = 0, 1, …, 2k − n에 대한 명제
S(j) : “Q(2k − j)가 성립한다”
를 j에 대한 수학적 귀납법으로 증명한다(j는 0부터 2k − n까지만 움직이는 유한 귀납법이며, 이 범위의 2k − j는 항상 n 이상 2k 이하이고, 아래 Ⅱ에서 후진 단계 보조정리를 쓰는 곳에서는 2k − j ≥ n + 1 ≥ 3이므로 그 전제 “n ≥ 3”을 만족한다).
| Ⅰ | S(0)은 Q(2k)이고, 이는 1단계에서 이미 증명되어 있다. |
| Ⅱ | 0 ≤ j < 2k − n에서 S(j)가 성립한다고 가정하면, 즉 Q(2k − j)가 성립한다고 가정하면(이때 2k − j ≥ n + 1 ≥ 3이므로 후진 단계 보조정리를 적용할 수 있다), 후진 단계 보조정리에 의해 Q((2k − j) − 1) = Q(2k − (j+1))도 성립한다. 즉 S(j) ⇒ S(j+1)이다. |
Ⅰ, Ⅱ에 의해 S(2k − n)까지 성립하며, 이는 곧 Q(n)이다. n ≥ 2는 임의로 골랐으므로, Q(n)은 2 이상의 모든 자연수 n에 대해 성립한다(n = 1인 경우는 1a1 = a1 = a11이므로 등호와 함께 자명하게 성립한다).
등호 조건 : Q(n)은 처음부터 등호 조건(“등호는 a1 = … = an일 때만”)까지 포함한 명제로 정했고, 두 보조정리도 등호 조건까지 함께 넘겨주므로(각 보조정리의 등호 조건 항목), 위에서 Q(n)을 증명한 것으로 등호 조건도 함께 증명되었다. 따라서 등호는 a1 = a2 = … = an일 때만 성립한다.
사용 : 140번(n = 2 기본형) · 배가 단계 보조정리 · 후진 단계 보조정리 · 선행학습의 수학적 귀납법
증명 끝
143정리일차부등식 (1)ax + b > 0, a > 0 ⇒ x > −ba
144정리일차부등식 (2)ax + b > 0, a < 0 ⇒ x < −ba
145정리이차부등식의 해 (판별식에 따른 분류)ax2 + bx + c > 0의 해는 a와 D = b2 − 4ac의 부호로 결정됨
증명법 : 경우를 나누는 방법
120번(근의 공식)으로 실근의 존재 여부를 판정하고, ax2 + bx + c를 인수분해하거나 완전제곱식으로 바꾸어 부호를 직접 읽습니다(아래 포물선 그림은 이해를 돕는 그림일 뿐 증명에 쓰지 않습니다). D = b2 − 4ac로 둡니다.
a > 0 (아래로 볼록)
| D > 0 (두 실근 x1 < x2) | 해 : x < x1 또는 x > x2 |
| D = 0 (중근 x1) | 해 : x ≠ x1인 모든 실수 |
| D < 0 (실근 없음) | 해 : 모든 실수 |
근거 (a > 0) : ① D > 0이면 2.6의 122번에서 x1 + x2 = −ba, x1x2 = ca이므로 ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)입니다. x < x1이면 (x1 − x)와 (x2 − x)가 모두 양수이고 (x − x1)(x − x2) = (x1 − x)(x2 − x) > 0(순서공리 ③), x > x2이면 두 인수가 모두 양수라 곱이 양수, x1 < x < x2이면 (x − x1)(x − x2) = −(x − x1)(x2 − x) < 0, x = x1, x2이면 0입니다. 양수 a를 곱해도 부호는 그대로입니다(133번). ② D = 0이면 x1 = x2 = −b2a이고 같은 식으로 ax2 + bx + c = a(x − x1)2이며, x ≠ x1이면 (x − x1)2 > 0입니다(134번의 보조 사실). ③ D < 0이면 120번의 완전제곱식에서 ax2 + bx + c = a[(x + b2a)2 + −D4a2]이고, (x + b2a)2 ≥ 0(134번의 보조 사실), −D4a2 > 0(134번)이므로 대괄호 안이 늘 양수입니다.
a < 0 (위로 볼록) — 모든 방향이 반대가 됩니다.
| D > 0 (두 실근 x1 < x2) | 해 : x1 < x < x2 |
| D = 0 | 해 없음 (∅) |
| D < 0 | 해 없음 (∅) |
근거 (a < 0) : 양변에 −1을 곱하면(135번) (−a)x2 + (−b)x + (−c) < 0이 되고, −a > 0이며 판별식은 (−b)2 − 4(−a)(−c) = D로 그대로입니다. 위 근거 ①~③에서 식이 음수인 곳을 읽으면 D > 0일 때 x1 < x < x2뿐이고, D = 0이면 (−a)(x − x1)2은 음수가 될 수 없으며, D < 0이면 늘 양수이므로 해가 없습니다.
a > 0, D > 0인 경우 : 포물선이 x축 아래(음수)에 놓이는 구간은 x1 < x < x2 뿐이므로, ax2 + bx + c > 0의 해는 x < x1 또는 x > x2입니다.
사용 : 2.6의 120번(근의 공식) · 121번(판별식) · 122번(근과 계수의 관계) · 133번 · 134번(보조 사실 포함) · 135번 · 순서공리 ③
증명 끝
146정리삼각부등식|a + b| ≤ |a| + |b|
증명법 : 직접증명법
| −|a| ≤ a ≤ |a|, −|b| ≤ b ≤ |b| | 절댓값의 정의 |
| −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| | 131번(변끼리 덧셈, ≤ 형태) |
| ∴ |a + b| ≤ |a| + |b| | 147번의 ≤ 형태 (|X| ≤ c ⇔ −c ≤ X ≤ c) |
등호 조건 : a와 b의 부호가 같거나 둘 중 하나가 0일 때(곧 ab ≥ 0일 때)만 등호가 성립합니다. a, b ≥ 0이면 |a + b| = a + b = |a| + |b|이고, a, b ≤ 0이면 |a + b| = −(a + b) = |a| + |b|입니다. 부호가 다르면(예컨대 a > 0 > b) a + b < a < a − b, −(a + b) < −b < a − b이므로 |a + b| < a − b = |a| + |b|입니다(129번·추이법칙).
참조 정정 : 이전 판에서는 근거로 149번(제곱과 절댓값 부등식)을 들었으나, 여기서 실제로 필요한 것은 147번(|X| ≤ c ⇔ −c ≤ X ≤ c)입니다.
사용 : 131번 · 147번(≤ 형태) · 절댓값의 정의
증명 끝
147정리절댓값 부등식 (1)|x| < a ⇔ −a < x < a (a > 0)
증명법 : 경우를 나누는 방법
| x ≥ 0인 경우 : |x| = x이므로 |x| < a ⇔ x < a | 이때 x ≥ 0 > −a이므로 −a < x는 저절로 성립 |
| x < 0인 경우 : |x| = −x이므로 |x| < a ⇔ −x < a ⇔ x > −a | 이때 x < 0 < a이므로 x < a는 저절로 성립 |
| ∴ |x| < a ⇔ −a < x < a | 두 경우를 합침 |
부등호를 ≤로 바꾸어도 같은 논법이 그대로 통하므로, |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a도 성립합니다. 이 ≤ 형태는 a = 0이어도 같은 논법으로 성립하므로(양쪽 모두 x = 0) a ≥ 0이면 쓸 수 있습니다(146번에서 이 형태를 씁니다).
|x| < a의 해 : −a와 a 사이(양 끝 제외)
사용 : 절댓값의 정의(경우 나누기)
증명 끝
148정리절댓값 부등식 (2)|x| > a ⇔ x < −a 또는 x > a (a > 0)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
147번의 ≤ 형태를 부정하면 됩니다.
| |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a | 147번(≤ 형태) |
| 양변을 부정 : |x| > a ⇔ ¬(−a ≤ x 그리고 x ≤ a) | 순서공리 ①(삼분법) |
| ⇔ x < −a 또는 x > a | 드모르간의 법칙 |
정정 : 이전 판에는 “147번(|x| < a)의 부정이 |x| > a”라고 적혀 있었으나, |x| < a의 부정은 |x| ≥ a입니다. 위와 같이 ≤ 형태를 부정해야 정확히 |x| > a가 나옵니다.
|x| > a의 해 : −a보다 작거나 a보다 큰 두 반직선
증명 끝
149정리제곱과 절댓값 부등식 (1)x2 < a ⇔ |x| < a ⇔ −a < x < a (a > 0)
150정리제곱과 절댓값 부등식 (2)x2 > a ⇔ |x| > a ⇔ x < −a 또는 x > a (a > 0)
151정리유리부등식 (1)f(x)g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0 (g(x) ≠ 0)
증명법 : 직접증명법
g(x) ≠ 0이므로 g(x)2 > 0입니다(134번의 보조 사실). 분모와 분자에 g(x)를 곱해도 값이 변하지 않으므로,
| f(x)g(x) = f(x) · g(x)g(x)2 | 분모·분자에 g(x)를 곱함 |
| 양수 g(x)2으로 나누어도 부호는 그대로 | 134번 |
| ∴ f(x)g(x) > 0 ⇔ f(x)·g(x) > 0 | 두 식의 부호가 항상 같음 |
이 성질 덕분에 유리부등식을 분모를 곱해 없애지 않고 다항부등식으로 바꾸어 풀 수 있습니다. (분모를 그냥 곱하면 g(x)의 부호를 몰라 부등호 방향을 정할 수 없습니다.)
사용 : 133번 · 134번(양수를 곱하거나 나누어도 부호 유지)
증명 끝