2.7
부등식
Inequalities
정의 · 공식과 증명
부등식의 성질과 활용 27개(126~152번)를 정리합니다. 127~136번은 실수의 순서공리에서 바로 나오는 기본 성질,
137~142번은 거듭제곱·평균과 관련된 부등식, 143~152번은 부등식을 실제로 푸는 방법(일차·이차·절댓값·유리부등식)입니다.
이 절에서 반복해서 쓰는 순서공리 : ① 임의의 두 실수 a, b에 대해 a > b, a = b, a < b 중 정확히
하나가 성립한다(삼분법) ② a > b의 뜻은 a − b가 양수라는 것이다 ③ 양수끼리의 합과 곱은 양수이다
④ a > b, b > c이면 a > c이다(추이법칙).
범위 안내 : 137번을 자연수가 아닌 실수 지수까지 확장하는 부분과 142번(일반 n에 대한 산술—기하 평균
부등식)은 고교 교육과정·수능 범위 밖이며 대학 해석학의 내용입니다.
수능에서는 137번의 자연수 지수, 140번(n = 2인 산술—기하 평균)까지만 쓰입니다.
126정의부등식과 구간 표기[a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (−∞, b], (−∞, b), [a, ∞), (a, ∞)
정의(표기 약속)이므로 증명 대상이 아닙니다. 대괄호 [ ]는 그 끝점을 포함(≤, ≥), 소괄호 ( )는 포함하지 않음(<, >)을 나타냅니다. 국내 교육과정과 같은 표기입니다. ∞는 수가 아니라 “끝없이 뻗어감”을 나타내는 기호이므로 언제나 소괄호를 씁니다.
[a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (−∞, b], (−∞, b), [a, ∞), (a, ∞)
닫힌구간(채운 점, 끝점 포함)과 열린 반직선(빈 점, 끝점 제외)의 예
127정리부등식의 대칭성a > b ⇔ b < a
128정리부등식과 뺄셈의 부호a > b ⇔ a − b > 0 ⇔ b − a < 0
129정리부등식의 덧셈a > b ⇒ a + c > b + c
131정리두 부등식의 변끼리 덧셈a > b 이고 c > d 이면 a + c > b + d
132정리두 부등식의 변끼리 뺄셈a > b 이고 c > d 이면 a − d > b − c
133정리양수를 곱하는 부등식a > b 이고 m > 0 이면 ma > mb
134정리양수로 나누는 부등식a > b 이고 m > 0 이면 am > bm
135정리음수를 곱하면 부등호 반전a > b 이고 m < 0 이면 ma < mb
136정리음수로 나누면 부등호 반전a > b 이고 m < 0 이면 am < bm
137정리양수의 거듭제곱과 대소관계0 < a < b 이고 n > 0 이면 an < bn
증명법 : 수학적 귀납법
n이 자연수인 경우를 수학적 귀납법으로 증명합니다.
| n = 1 : a1 = a < b = b1 | 가정 그 자체 |
| n = k 가정 : ak < bk | 귀납 가정 |
| a · ak < a · bk | 133번(a > 0을 곱함) |
| a · bk < b · bk | 133번(bk > 0을 a < b에 곱함) |
| ∴ ak+1 < bk+1 | 순서공리 ④(추이법칙) |
범위 안내 : 위 증명은 n이 자연수일 때의 것입니다. n이 유리수이면 2.4절의 거듭제곱근과 139번을 이어 붙여 같은 결론을 얻고, n이 무리수인 경우까지 포함하려면 지수함수의 연속성과 단조성이 필요하며 이는 대학 해석학의 내용입니다. 수능에서는 자연수 지수의 경우만 쓰입니다.
사용 : 133번 · 선행학습 수학적 귀납법
증명 끝
138정리음의 지수에서는 부등호 반전0 < a < b 이고 n < 0 이면 an > bn
증명법 : 직접증명법
n < 0이므로 −n > 0이고, 2.3의 88번에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
an = 1a−n, bn = 1b−n
| a−n < b−n | 137번 (−n > 0) |
| 1a−n − 1b−n = b−n − a−na−nb−n > 0 | 분자 > 0, 분모 > 0 |
| ∴ an > bn | 128번 |
보강 : 이전 판에서는 “두 양수 중 작은 수의 역수가 더 크다”를 근거 없이 사용했습니다. 위와 같이 두 역수의 차를 직접 통분하면 별도의 정리 없이 증명됩니다.
사용 : 137번 · 128번 · 2.3의 88번(음의 정수 지수)
증명 끝
139정리거듭제곱근과 대소관계0 < a < b 이면 na < nb (n은 2 이상의 자연수)
증명법 : 귀류법
결론을 부정하여 na ≥ nb라고 가정하고 모순을 이끌어냅니다. (n은 2 이상의 자연수, a, b > 0이므로 두 거듭제곱근은 모두 양수입니다.)
| (i) na > nb이면 (nb)n < (na)n | 137번 |
| 즉 b < a | 2.4의 96번((na)n = a) |
| (ii) na = nb이면 양변을 n제곱하여 a = b | 같은 수의 n제곱은 같음 |
| (i)(ii) 모두 a < b에 모순 | 순서공리 ①(삼분법) |
| ∴ na < nb | 귀류법 |
거꾸로 na < nb이면 137번에 의해 a < b이므로, 사실 두 명제는 서로 동치입니다(149번에서 이 동치를 사용합니다).
사용 : 137번 · 2.4의 96번 · 간접증명법(귀류법)
증명 끝 (귀류법)
140정리산술—기하 평균 부등식 (AM–GM, n = 2)ab ≤ a + b2 (a, b > 0, 등호는 a = b일 때)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
두 수의 차를 직접 계산해서 항상 0 이상임을 보입니다. a, b > 0이므로 a, b가 모두 정의되고, ab = a · b입니다 (2.4의 91번).
| a + b2 − ab = a − 2ab + b2 | 통분 |
| = (a)2 − 2ab + (b)22 | a = (a)2, b = (b)2 |
| = (a − b)22 ≥ 0 | 2.2의 73번(차의 제곱)을 역방향으로 사용 |
| ∴ ab ≤ a + b2 | 128번 |
등호 조건 : 등호는 (a − b)2 = 0일 때, 즉 a = b 곧 a = b일 때만 성립합니다.
사용 : 2.2의 73번(차의 제곱) · 2.4의 91번(곱의 거듭제곱근) · 128번
증명 끝
141정리역수의 합의 최솟값a + 1a ≥ 2 (a > 0, 등호는 a = 1일 때)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
140번(AM–GM)에서 b 대신 1a을 대입합니다(a > 0이므로 1a > 0).
| a · 1a ≤ a + 1a2 | 140번 |
| 1 = 1 ≤ a + 1a2 | 좌변 계산 |
| ∴ a + 1a ≥ 2 | 양변에 2를 곱함 — 133번 |
등호 조건 : 140번의 등호 조건 a = 1a에서 a2 = 1이고, a > 0이므로 a = 1일 때만 등호가 성립합니다.
증명 끝
142정리대학산술—기하 평균 부등식 (일반 n)na1a2…an ≤ a1 + a2 + … + ann (모든 ai > 0)
증명법 : 수학적 귀납법
범위 안내 : n = 2인 경우(140번)와 n = 3인 경우 정도까지가 고교에서 쓰이며, 일반 n에 대한 이 부등식은 수능 범위 밖입니다 (대학 해석학·부등식론). 수능 준비생은 140번까지만 익히면 됩니다.
일반 n에 대한 표준 증명은 코시(Cauchy)의 전진—후진 귀납법입니다. 즉 ① 먼저 n = 2k(2의 거듭제곱)인 경우를 140번을 반복 적용하여 증명하고, ② n에서 n − 1로 거꾸로 내려가는 단계를 증명하여 모든 자연수 n을 덮는 방식입니다. 이는 선행학습 수학적 귀납법의 “Ⅱ의 추가사항”에서 다룬 일반화된 귀납법(Ⅳ, Ⅴ)과 같은 계열의 논법입니다.
이 사이트에서는 n = 2인 기본형(140번)만 엄밀히 증명해 두었고, 일반 n의 전체 증명은 추후 별도 항목으로 보강할 예정입니다. 등호는 a1 = a2 = … = an일 때만 성립합니다.
사용 : 140번(n = 2 기본형) · 선행학습의 일반화된 귀납법(Ⅳ, Ⅴ) [일반 n 증명은 추후 보강 예정]
143정리일차부등식 (1)ax + b > 0, a > 0 ⇒ x > −ba
144정리일차부등식 (2)ax + b > 0, a < 0 ⇒ x < −ba
145정리이차부등식의 해 (판별식에 따른 분류)ax2 + bx + c > 0의 해는 a와 D = b2 − 4ac의 부호로 결정됨
증명법 : 경우를 나누는 방법
120번(근의 공식)으로 실근의 존재 여부를 판정하고, 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프(포물선)가 x축과 어떻게 만나는지로 부호를 읽습니다. D = b2 − 4ac로 둡니다.
a > 0 (아래로 볼록)
| D > 0 (두 실근 x1 < x2) | 해 : x < x1 또는 x > x2 |
| D = 0 (중근 x1) | 해 : x ≠ x1인 모든 실수 |
| D < 0 (실근 없음) | 해 : 모든 실수 |
a < 0 (위로 볼록) — 모든 방향이 반대가 됩니다.
| D > 0 (두 실근 x1 < x2) | 해 : x1 < x < x2 |
| D = 0 | 해 없음 (∅) |
| D < 0 | 해 없음 (∅) |
a > 0, D > 0인 경우 : 포물선이 x축 아래(음수)에 놓이는 구간은 x1 < x < x2 뿐이므로, ax2 + bx + c > 0의 해는 x < x1 또는 x > x2입니다.
증명 끝
146정리삼각부등식|a + b| ≤ |a| + |b|
증명법 : 직접증명법
| −|a| ≤ a ≤ |a|, −|b| ≤ b ≤ |b| | 절댓값의 정의 |
| −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| | 131번(변끼리 덧셈, ≤ 형태) |
| ∴ |a + b| ≤ |a| + |b| | 147번의 ≤ 형태 (|X| ≤ c ⇔ −c ≤ X ≤ c) |
등호 조건 : a와 b의 부호가 같거나 둘 중 하나가 0일 때 등호가 성립합니다.
참조 정정 : 이전 판에서는 근거로 149번(제곱과 절댓값 부등식)을 들었으나, 여기서 실제로 필요한 것은 147번(|X| ≤ c ⇔ −c ≤ X ≤ c)입니다.
사용 : 131번 · 147번(≤ 형태) · 절댓값의 정의
증명 끝
147정리절댓값 부등식 (1)|x| < a ⇔ −a < x < a (a > 0)
증명법 : 경우를 나누는 방법
| x ≥ 0인 경우 : |x| = x이므로 |x| < a ⇔ x < a | 이때 x ≥ 0 > −a이므로 −a < x는 저절로 성립 |
| x < 0인 경우 : |x| = −x이므로 |x| < a ⇔ −x < a ⇔ x > −a | 이때 x < 0 < a이므로 x < a는 저절로 성립 |
| ∴ |x| < a ⇔ −a < x < a | 두 경우를 합침 |
부등호를 ≤로 바꾸어도 같은 논법이 그대로 통하므로, |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a도 성립합니다(146번에서 이 형태를 씁니다).
|x| < a의 해 : −a와 a 사이(양 끝 제외)
사용 : 절댓값의 정의(경우 나누기)
증명 끝
148정리절댓값 부등식 (2)|x| > a ⇔ x < −a 또는 x > a (a > 0)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
147번의 ≤ 형태를 부정하면 됩니다.
| |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a | 147번(≤ 형태) |
| 양변을 부정 : |x| > a ⇔ ¬(−a ≤ x 그리고 x ≤ a) | 순서공리 ①(삼분법) |
| ⇔ x < −a 또는 x > a | 드모르간의 법칙 |
정정 : 이전 판에는 “147번(|x| < a)의 부정이 |x| > a”라고 적혀 있었으나, |x| < a의 부정은 |x| ≥ a입니다. 위와 같이 ≤ 형태를 부정해야 정확히 |x| > a가 나옵니다.
|x| > a의 해 : −a보다 작거나 a보다 큰 두 반직선
증명 끝
149정리제곱과 절댓값 부등식 (1)x2 < a ⇔ |x| < a ⇔ −a < x < a (a > 0)
150정리제곱과 절댓값 부등식 (2)x2 > a ⇔ |x| > a ⇔ x < −a 또는 x > a (a > 0)
151정리유리부등식 (1)f(x)g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0 (g(x) ≠ 0)
증명법 : 직접증명법
g(x) ≠ 0이므로 g(x)2 > 0입니다. 분모와 분자에 g(x)를 곱해도 값이 변하지 않으므로,
| f(x)g(x) = f(x) · g(x)g(x)2 | 분모·분자에 g(x)를 곱함 |
| 양수 g(x)2으로 나누어도 부호는 그대로 | 134번 |
| ∴ f(x)g(x) > 0 ⇔ f(x)·g(x) > 0 | 두 식의 부호가 항상 같음 |
이 성질 덕분에 유리부등식을 분모를 곱해 없애지 않고 다항부등식으로 바꾸어 풀 수 있습니다. (분모를 그냥 곱하면 g(x)의 부호를 몰라 부등호 방향을 정할 수 없습니다.)
사용 : 133번 · 134번(양수를 곱하거나 나누어도 부호 유지)
증명 끝