2.2
곱셈 공식
Product Formulas
정의 · 공식과 증명
곱셈 공식 9개(73~81번)를 정리합니다. 73~78번은 분배법칙만으로 직접 전개해 증명하고,
79번(이항정리)은 수학적 귀납법으로,
80 · 81번은 79번과 같은 전개 원리를 항이 여러 개인 경우로 확장해 증명합니다.
73~78 · 80번은 고1 수학의 곱셈 공식, 79번은 확률과 통계의 이항정리로 모두 수능 범위입니다.
73정리차의 제곱(a−b)2 = a2−2ab+b2
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
| (a−b)2 = (a−b)(a−b) | 거듭제곱의 정의 |
| = a2 − ab − ab + b2 | 분배법칙(1.3의 44번) |
| = a2 − 2ab + b2 | 동류항 정리 |
사용 : 분배법칙(1.3의 44번)
증명 끝
74정리합의 제곱(a+b)2 = a2+2ab+b2
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
| (a+b)2 = (a+b)(a+b) | 거듭제곱의 정의 |
| = a2 + ab + ab + b2 | 분배법칙 |
| = a2 + 2ab + b2 | 동류항 정리 |
한 변이 (a+b)인 정사각형 = a2, ab, ab, b2 네 조각의 합
사용 : 분배법칙(1.3의 44번)
증명 끝
75정리차의 세제곱(a−b)3 = a3−3a2b+3ab2−b3
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
| (a−b)3 = (a−b)2(a−b) = (a2−2ab+b2)(a−b) | 73번(차의 제곱) |
| = a3 − 2a2b + ab2 − a2b + 2ab2 − b3 | 분배법칙 |
| = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 | 동류항 정리 |
사용 : 73번(차의 제곱) · 분배법칙
증명 끝
76정리합의 세제곱(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
| (a+b)3 = (a+b)2(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b) | 74번(합의 제곱) |
| = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 | 분배법칙 |
| = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 | 동류항 정리 |
참고 : 75번은 이 식의 b 자리에 (−b)를 넣은 것과 같습니다 (bk → (−1)kbk이므로 홀수 차 항의 부호만 뒤집힘).
사용 : 74번(합의 제곱) · 분배법칙
증명 끝
77정리차의 네제곱(a−b)4 = a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
| (a−b)4 = [(a−b)2]2 = (a2−2ab+b2)2 | 73번 · 지수법칙(2.3의 86번) |
| = (a2)2 + (−2ab)2 + (b2)2 + 2(a2)(−2ab) + 2(a2)(b2) + 2(−2ab)(b2) | 80번(세 항의 합의 제곱) |
| = a4 + 4a2b2 + b4 − 4a3b + 2a2b2 − 4ab3 | 각 항 계산 |
| = a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4 | 동류항 정리 |
계수 1, 4, 6, 4, 1은 79번(이항정리)의 n = 4일 때의 이항계수와 일치합니다. 79번의 증명은 77 · 78번을 사용하지 않으므로, 이 확인은 순환 논증이 아닙니다(독립적인 검산).
사용 : 73번 · 80번 · 지수법칙(2.3의 86번)
증명 끝
78정리합의 네제곱(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
·보조정리파스칼의 항등식 (79번의 근거)kCj−1 + kCj = k+1Cj
약속 : 조합 기호는 nCk = n!k!(n−k)! (0 ≤ k ≤ n)로 정의하고, 범위를 벗어나는 자리(k < 0 또는 k > n)에서는 nCk = 0으로 약속합니다. 이 약속이 있어야 79번의 증명에서 합의 첨자를 자유롭게 옮길 수 있습니다.
증명법 : 정의(계승)로 직접 계산
| kCj−1 + kCj = k!(j−1)!(k−j+1)! + k!j!(k−j)! | 조합의 정의 |
| = k! · jj!(k−j+1)! + k! · (k−j+1)j!(k−j+1)! | 분모를 j!(k−j+1)!로 통분 |
| = k! (j + k−j+1)j!(k−j+1)! = k! (k+1)j!(k+1−j)! | 분자 정리 |
| = (k+1)!j!(k+1−j)! = k+1Cj | 계승의 정의 |
사용 : 계승(factorial)의 정의 · 분수의 통분(1.3의 45번)
증명 끝
79정리이항정리 (Binomial Theorem)(a+b)n = nΣk=0 nCk an−kbk
주장 : 모든 자연수 n에 대하여
(a+b)n = nΣk=0 nCk an−kbk단, nCk = n!k!(n−k)!증명법 : 수학적 귀납법 (n에 대하여)
① n = 1일 때
(a+b)1 = a + b = 1C0 a + 1C1 b1C0 = 1C1 = 1이므로 성립② n = k일 때 성립한다고 가정(귀납 가정)
(a+b)k = kΣi=0 kCi ak−ibi③ n = k+1일 때
| (a+b)k+1 = (a+b)k(a+b) = ( kΣi=0 kCi ak−ibi )(a+b) | 귀납 가정 ② |
| = kΣi=0 kCi ak+1−ibi + kΣi=0 kCi ak−ibi+1 | 분배법칙 |
| 뒤쪽 합에서 j = i+1로 바꾸면 k+1Σj=1 kCj−1 ak+1−jbj | 첨자 바꾸기 |
| = k+1Σj=0 ( kCj + kCj−1 ) ak+1−jbj | kC−1 = kCk+1 = 0 약속으로 두 합의 범위를 j = 0~k+1로 통일 |
| = k+1Σj=0 k+1Cj ak+1−jbj | 파스칼의 항등식 |
이는 n = k+1일 때의 주장과 정확히 같은 꼴입니다.
①과 ②→③에 의해, 수학적 귀납법으로 모든 자연수 n에 대해 성립합니다.
사용 : 선행학습 수학적 귀납법 · 파스칼의 항등식 · 분배법칙
증명 끝
80정리세 항의 합의 제곱(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법(74번을 치환하여 적용)
| (a+b+c)2 = [(a+b)+c]2 | 두 항으로 묶기 |
| = (a+b)2 + 2(a+b)c + c2 | 74번에 A = a+b, B = c 치환 |
| = (a2 + 2ab + b2) + 2ac + 2bc + c2 | 74번 한 번 더 · 분배법칙 |
| = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca | 동류항 정리 |
한 변이 (a+b+c)인 정사각형의 9칸 — 대각선의 제곱 3개와, 짝을 이루는 곱 3종류가 각각 2번씩
사용 : 74번(합의 제곱, 두 차례 적용) · 분배법칙
증명 끝
81정리여러 항의 합의 제곱(x1+x2+…+xn)2 = nΣi=1 xi2 + 2 Σ1≤i<j≤n xixj
주장 : n개의 실수 x1, x2, …, xn에 대하여
(x1+x2+…+xn)2 = x12+x22+…+xn2 + 2(x1x2 + x1x3 + … + xn−1xn)즉 “각 항의 제곱의 합” + 2 × “서로 다른 두 항의 곱을 모두 더한 것”증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법(분배법칙의 직접 적용)
분배법칙에 의해, 두 괄호의 곱은 왼쪽 괄호에서 한 항, 오른쪽 괄호에서 한 항을 뽑아 곱한 것을 모든 경우에 대해 더한 것입니다. 즉 (i, j)의 순서쌍 n2개에 대한 합입니다.
| (x1+…+xn)2 = nΣi=1 nΣj=1 xixj | 분배법칙(모든 순서쌍에 대한 합) |
| = Σi=j xixj + Σi≠j xixj | i = j인 항과 i ≠ j인 항으로 나눔 |
| = nΣi=1 xi2 + 2 Σ1≤i<j≤n xixj | i ≠ j인 항은 (i,j)와 (j,i)가 같은 값이므로 두 번씩 나타남 |
서로 다른 두 항을 뽑는 방법은 nC2 = n(n−1)2가지이므로, 전개식의 항의 개수는 제곱항 n개와 곱항 nC2개, 합계 n + n(n−1)2개입니다. n = 3이면 3 + 3 = 6개로 80번과 일치합니다.
사용 : 분배법칙의 일반화 · 80번(n = 3인 경우) · 74번(n = 2인 경우)
증명 끝