3.32 범위 밖(백과사전)
원뿔
Right Circular Cone
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 밑면이 원인 뿔, 곧 원뿔(right circular cone)을 다룹니다. 밑면인 원의 반지름을 r, 꼭짓점 P에서 밑면에 내린 수선(축)의 길이인 높이를 h, 꼭짓점에서 밑면 둘레 위의 점까지 이은 선분(모선)의 길이를 l이라 하고, 밑넓이 B, 옆넓이 Slat, 겉넓이 S, 부피 V, 축 단면, 내접구·외접구의 반지름을 차례로 구합니다. 3.26의 정각뿔과 달리 밑면이 다각형이 아니므로 옆넓이·부피를 곧바로 얻을 수 없는데, 이는 3.30의 원기둥과 같은 사정입니다 — 그래서 증명의 골격도 3.30과 같은 조임(squeeze) 논증을 그대로 따르되, 내접·외접하는 것은 정n각기둥이 아니라 정n각뿔(3.26)입니다. 반대로 내접구·외접구는 원뿔이 축에 대해 완전한 회전대칭을 가진다는 점 덕분에, 정각뿔(3.26의 f316·f317)보다 오히려 더 간단한 직접 논증으로 구합니다. 이 절의 공식 9개(356~364번)를 정리합니다.
원뿔 — 밑면(중심 O, 반지름 r)의 둘레 위의 점 A, B와 꼭짓점 P, 높이 h=OP, 모선 l=PA=PB
356정의원뿔원뿔 = 원인 밑면(중심 O, 반지름 r)의 둘레 위의 모든 점과 꼭짓점 P를 잇는 선분들로 둘러싸인 입체
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 원인 밑면(중심 O, 반지름 r, 3.19의 260번)의 둘레 위의 모든 점과, 밑면이 놓인 평면 위에 있지 않은 한 점 P(꼭짓점)를 잇는 선분들로 둘러싸인 입체를 원뿔이라 합니다. 옆면은 평평한 다각형이 아니라 하나로 이어진 곡면이므로, 이 입체는 다면체(3.22의 283번)가 아닙니다.
P에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심 O와 일치하는 경우(즉 축 PO가 밑면에 수직인 경우)를 직원뿔이라 하며, 이 절에서는 항상 이 경우만 다룹니다. 축의 길이 h=PO를 원뿔의 높이라 합니다. 밑면 둘레 위의 임의의 점 A에 대해 선분 PA를 모선(생성선, generator)이라 부르며, 그 길이는 358번에서 구합니다.
동치인 서술로, 직각삼각형(두 다리의 길이가 각각 r, h)을 다리 h를 회전축으로 하여 한 바퀴 회전시켜 얻는 회전체가 정확히 직원뿔입니다(회전축이 되는 다리가 높이 h, 나머지 다리를 회전시켜 밑면의 원이 나오고 그 반지름이 r, 빗변을 회전시켜 옆면이 나오고 그 길이가 모선 l). 3.30의 원기둥(직사각형의 회전체)과 같은 방식으로 회전체로 이해할 수 있습니다.
밑면에 평행한 평면으로 자른 단면은 밑면과 닮음인 원입니다(3.30의 원기둥과 달리 합동은 아닙니다 — 꼭짓점에서 멀어질수록 단면의 원이 커집니다). 이 성질은 3.33 원뿔대에서 사용합니다.
357정리밑넓이B = πr²
358정리모선의 길이l = r²+h²
증명법 : 직접증명법
밑면 둘레 위에 임의의 점 A를 잡습니다. 축 PO⊥밑면(356번)이므로, 특히 PO⊥OA입니다 — 즉 삼각형 POA는 O에서 직각인 직각삼각형입니다. 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
PA² = PO²+OA² = h²+r²
이므로 모선의 길이는
l = r²+h²
입니다. 그런데 이 결과는 OA=r(밑면 둘레 위의 모든 점이 중심에서 같은 거리에 있다는 원의 정의, 3.19의 260번)라는 사실만 썼을 뿐, A를 밑면 둘레 위의 어느 점으로 잡았는지에는 의존하지 않습니다. 따라서 원뿔의 모든 모선의 길이는 항상 같습니다 — 3.26 정각뿔의 옆모서리(밑면이 정n각형이라 정n개의 옆모서리가 있고, 이들이 서로 같음을 대칭성으로 보여야 했던 311번)와 달리, 원뿔은 밑면 자체가 완전한 회전대칭을 가지므로 이 사실이 곧바로 따라옵니다.
사용 : 356번(정의) · 3.19의 260번(원의 정의) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
359정리옆넓이Slat = πrl
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
옆면은 평면이 아닌 곡면이므로 다각형의 옆넓이 공식을 곧바로 쓸 수 없습니다. 3.30의 원기둥이 정n각기둥으로 조여졌던 것과 같은 방법으로, 이번에는 정n각뿔(3.26)로 조입니다.
1단계 — 내접·외접 정n각뿔. 밑면 원에 내접하는 정n각형(외접원의 반지름이 r)을 밑면으로 하고 꼭짓점을 P로 공유하는 정n각뿔을 Tn, 밑면 원에 외접하는 정n각형(내접원, 곧 아포템의 반지름이 r)을 밑면으로 하고 역시 꼭짓점 P를 공유하는 정n각뿔을 T′n이라 합니다. 둘 다 높이는 원뿔과 같은 h이고, 358번에 의해 원뿔의 모든 모선의 길이가 l로 같으므로 두 정n각뿔 모두 원뿔과 꼭짓점 P를 공유한 채로 안쪽·바깥쪽에 딱 들어맞습니다.
2단계 — 두 정n각뿔의 옆넓이. 3.26의 313번 (Slat=pm, p는 밑면 둘레의 절반)에 의해 Tn, T′n의 옆넓이는 각각 pnmn, p′nm′n입니다. 여기서 mn, m′n은 3.26의 312번(빗면의 높이 m=h²+r₀²)에 의해 결정되는, 밑면의 아포템 r₀에 대응하는 값입니다.
내접 정n각형은 외접원의 반지름이 r이므로 한 변의 길이가 2r sin(π/n)(3.18의 256번)이고, 아포템은 3.18의 257번에 의해 r₀=r cos(π/n)입니다 (sin(π/n)/tan(π/n)=cos(π/n)). 3.18의 258번 (둘레 L=na)에 의해
| pn = n r sin(π/n) | 내접 정n각형 둘레의 절반 |
| mn = h²+r²cos²(π/n) | 3.26 f312, r₀=r cos(π/n) 대입 |
외접 정n각형은 아포템(내접원의 반지름)이 정확히 r이므로, 3.18의 257번(r₀=a2 tan(π/n))에서 한 변의 길이가 a′=2r tan(π/n)이고
| p′n = n r tan(π/n) | 외접 정n각형 둘레의 절반 |
| m′n = h²+r² = l | 3.26 f312, r₀=r(외접의 아포템이 정확히 r) 대입, 358번 |
이 됩니다. 특히 m′n은 n에 관계없이 항상 정확히 l입니다 — 외접 정n각뿔의 옆면이 밑면과 만드는 빗면의 높이가, n을 아무리 늘려도 원뿔의 모선 길이와 정확히 같기 때문입니다.
3단계 — 조임. Tn은 원뿔 안쪽에, T′n은 바깥쪽에 있고(둘 다 꼭짓점 P를 공유하므로 옆면끼리도 안쪽·바깥쪽 관계가 그대로 유지됩니다), 옆넓이는 음이 아니므로
pnmn ≤ Slat ≤ p′nl
4단계 — 극한. θn=πn으로 놓으면
pn = πr·sin θnθn, p′n = πr·tan θnθn
이고, n→∞이면 θn→0이므로 3.19의 262번과 같은 극한 sin θθ→1, tan θθ→1(8.2의 635번·636번)에 의해 pn→πr, p′n→πr입니다. 또한 cosθn→1이므로 mn→h²+r²=l(358번)입니다. 따라서 아래쪽 끝은 pnmn→πrl로, 위쪽 끝은 p′nl→πrl로 같은 값에 수렴하므로, 조임에 의해
Slat = πrl
밑면 원에 내접·외접하는 정n각형(n=8)을 밑면으로 하고 꼭짓점 P를 공유하는 정n각뿔들 — n→∞이면 둘 다 원뿔에 한없이 가까워짐
사용 : 358번(모선의 길이가 항상 같음) · 3.26의 312번(빗면의 높이) · 313번(각뿔의 옆넓이) · 3.18의 256번·257번·258번(정n각형의 외접원·내접원의 반지름과 둘레) · 3.19의 262번(같은 극한) · 8.2의 635번(극한 sin θθ→1) · 636번(tan θθ→1)
증명 끝
360정리겉넓이S = πr(r+l) = B + Slat
361정리부피V = 13πr²h
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
359번에서 쓴 내접·외접 정n각뿔 Tn, T′n을 그대로 사용합니다(359번의 도형 참조).
1단계 — 두 각뿔의 부피. 각뿔의 부피 공리(3.25의 304번, V=13Bh)에 의해 Tn, T′n의 부피는 각각 13Bnh, 13B′nh입니다. 여기서 Bn, B′n은 내접·외접 정n각형의 넓이입니다. 3.18의 259번에 의해
Bn = nr²2sin(2πn)
이고, 외접 정n각형은 둘레가 2nr tan(π/n)이고 아포템이 r이므로, 중심과 각 변으로 만들어지는 n개의 삼각형의 넓이의 합(3.4의 195번)으로부터
B′n = 12·(2nr tan(π/n))·r = nr²tan(π/n)
입니다.
2단계 — 부피의 단조성. 입체 X가 입체 Y에 포함되면 부피의 공리(3.22의 285번)의 성질 ②에 의해 V(X)≤V(Y)입니다. Tn⊂(원뿔)⊂T′n이므로
13Bnh ≤ V ≤ 13B′nh
3단계 — 극한. 3.19의 263번과 같은 극한으로
Bn = πr²·sin(2π/n)2π/n→πr², B′n = πr²·tan(π/n)π/n→πr²
(n→∞, 극한 sin θθ→1 — 8.2의 635번)이므로 양 끝이 모두 13πr²h로 수렴합니다. 조임에 의해
V = 13πr²h
각뿔의 부피 V=13Bh와 완전히 같은 꼴이며, 밑넓이 B=πr²(357번)를 그대로 대입한 것과 같습니다.
사용 : 359번(내접·외접 정n각뿔의 구성과 극한) · 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리) · 3.18의 259번(정n각형의 넓이) · 3.4의 195번(삼각형의 넓이) · 3.22의 285번(부피의 공리 ②) · 3.19의 263번(원의 넓이) · 8.2의 635번(극한 sin θθ→1)
증명 끝
362정리축 단면이등변삼각형(밑변 2r, 높이 h, 빗변 l), 넓이 = rh
증명법 : 직접증명법
축 PO를 포함하는 평면으로 원뿔을 자릅니다. 이 평면은 밑면과 O를 지나는 지름 AB에서 만나고(3.19의 261번, AB=2r), 옆면과는 두 모선 PA, PB에서 만납니다. 이 단면을 축 단면이라 하며, 축 단면 삼각형 PAB는 다음 성질을 가집니다.
축 단면(삼각형 PAB)의 위치 — 밑면의 지름 AB와 꼭짓점 P로 결정되는 평면과 원뿔의 교집합
빗변. PA, PB는 모두 모선이므로 358번에 의해 PA=PB=l입니다 — 즉 삼각형 PAB는 이등변삼각형입니다.
밑변과 높이. AB=2r(지름, 3.19의 261번)이고, O는 AB의 중점입니다. 축 PO는 밑면 전체에 수직이므로(356번) 특히 PO⊥AB이고, PO=h이므로 P에서 AB에 내린 수선의 발이 정확히 O이며 그 길이가 h입니다 — 곧 삼각형 PAB의 AB를 밑변으로 하는 높이는 h입니다.
넓이. 삼각형의 넓이 공식(3.4의 195번, 밑변·높이/2)에 의해
| 넓이 = AB·h2 | 3.4의 195번 |
| = 2r·h2 | AB=2r 대입 |
넓이 = rh
어느 지름 AB를 골라도(즉 축 단면 평면을 축 둘레로 어떻게 회전시켜 잡아도) 위 세 성질(이등변, 밑변 2r, 높이 h)이 그대로 성립하므로, 축 단면은 회전대칭에 의해 항상 합동입니다 — 원뿔에는 오직 하나의 축 단면 “모양”만 존재합니다.
축 단면의 2D 정확 도형 — 이등변삼각형 PAB(밑변 2r, 높이 h, 빗변 l), O에서 직각
사용 : 356번(정의) · 358번(모선의 길이) · 3.19의 261번(지름) · 3.4의 195번(삼각형의 넓이)
증명 끝
363정리내접구의 반지름ρ = rhr+l
증명법 : 직접증명법
(구의 정의와 기본 성질은 3.34의 373번을 참고하세요. 여기서는 “한 점에서 거리가 ρ로 일정한 점 전체”라는 뜻으로만 씁니다.)
축 PO 위에 O로부터 거리 ρ만큼 떨어진 점 I를 하나 잡습니다(ρ의 값은 아래에서 결정합니다). I가 밑면에 접하려면 I에서 밑면까지의 거리가 반지름과 같아야 하는데, I가 축 위에 있고 축은 밑면에 수직이므로 이 거리는 바로 OI이고, 따라서 OI=ρ입니다.
회전대칭에 의한 환원. I가 옆면(곡면) 전체에도 접하려면, I에서 옆면까지의 거리도 ρ여야 합니다. 원뿔은 축 PO에 대한 회전에 의해 자기 자신으로 옮겨지고(356번), I는 이 축 위의 점이므로 어떤 회전에 대해서도 움직이지 않습니다. 따라서 밑면 둘레의 한 점 A를 하나 골라 만든 축 단면(삼각형 PAB, 362번) 안에서 I로부터 모선 PA까지의 거리를 한 번만 계산하면, 그 값이 축을 중심으로 회전시켜 얻는 모든 모선까지의 거리와 같습니다 — 다시 말해, I에서 옆면 전체까지의 거리는 이 하나의 자오면(축 단면) 안에서의 계산으로 환원됩니다(3.26 정각뿔의 316번이 n개의 옆면마다 “같은 계산을 반복해도 됨”을 따로 확인해야 했던 것과 달리, 원뿔은 회전이 연속적인 대칭이므로 이 환원이 즉시 성립합니다).
거리의 계산. I에서 직선 PA에 내린 수선의 발을 K라 합니다. 두 직각삼각형 PIK와 PAO는 각 P를 공유하고(I가 선분 PO 위에, K가 선분 PA 위에 있으므로 ∠IPK=∠OPA, 동일한 각) 각각 K, O에서 직각이므로 AA 닮음조건에 의해 △PIK ∽ △PAO입니다. 닮음삼각형의 대응변 비례에 의해
IK/AO = PI/PA, 즉 ρ/r = (h-ρ)/l
(PI=PO-OI=h-ρ, AO=r, PA=l은 358번)이고, I가 옆면에 접하려면 IK=ρ여야 하므로 이를 정리하면 :
| ρl = r(h-ρ) | 위 식의 양변에 rl 곱함 |
| = rh - rρ | 전개 |
즉 ρl + rρ = rh, ρ(l+r) = rh이므로, 밑면과 옆면에 동시에 접하는 (유일한) 점의 반지름은
ρ = rhr+l
입니다. 위 회전대칭에 의한 환원으로, 이 값 ρ는 A를 밑면 둘레의 어느 점으로 잡았는지에 관계없이 항상 같으므로(l, r, h 세 상수만으로 결정되고 이들은 A의 선택과 무관, 358번), 중심 I·반지름 ρ인 구는 밑면과 옆면 전체에 동시에 접합니다. 이로써 내접구가 실제로 존재하며 (1단계에서 중심의 후보가 축 위의 점뿐이었으므로) 유일함도 확인됩니다.
원뿔과 내접구를 함께 나타낸 그림(입체감을 위한 개략도 — 적도의 타원과 하이라이트는 구가 둥글다는 것을 보여주기 위한 장식일 뿐, 엄밀한 논증의 근거는 아래 2D 정확 단면입니다)
축 단면으로 본 내접구 — 중심 I는 축 위의 점으로, 밑면까지의 거리(OI)와 옆면(모선 PA)까지의 거리(IK, K는 I에서 PA에 내린 수선의 발)가 모두 반지름 ρ로 같음
사용 : 356번(원뿔의 회전대칭) · 358번 (모선의 길이) · 362번(축 단면) · AA 닮음조건 · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝
364정리외접구의 반지름R = h²+r²2h
증명법 : 직접증명법
원뿔의 축 PO 위에는 꼭짓점 P와 밑면 둘레 위의 모든 점으로부터 같은 거리에 있는 점 Q가 존재합니다 (이 점을 중심으로 꼭짓점과 밑면 둘레를 지나는 구(외접구)를 그릴 수 있습니다 — 구의 정의는 3.34의 373번을 참고하세요). Q가 O로부터 축을 따라 P쪽으로 거리 x만큼 떨어져 있다고 하면, OQ⊥밑면이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 Q에서 밑면 둘레 위의 한 점 A까지의 거리는 x²+OA² = x²+r²이고(OA=r은 밑면 원의 반지름, 356번, 3.19의 260번), 이 값은 OA=r이 A의 선택에 관계없이 항상 같으므로 밑면 둘레 위의 모든 점에 대해 동일합니다. Q에서 P까지의 거리는 h-x입니다(h는 높이). Q가 구하는 점이 되려면 이 두 거리가 같아야 하므로 :
| x²+r² = h-x | 거리가 같음 |
| x²+r² = h²-2hx+x² | 양변 제곱 |
| r² = h²-2hx | x² 소거 |
이를 x에 대해 풀면
x = h²-r²2h
이므로, 외접구의 반지름은
| R = h-x | 정의 |
| = h - h²-r²2h | 위 x 대입 |
| = 2h²-h²+r²2h | 통분 |
R = h²+r²2h
3.26 정각뿔의 외접구(317번, R=(h²+R₀²)/2h)에서 밑면의 외접원 반지름 R₀를 원 자신의 반지름 r로 바꾼 것과 정확히 같은 꼴입니다 — 밑면이 다각형이 아니라 원 자체이므로 “외접원”이라는 별도의 개념 없이 r이 곧바로 그 역할을 합니다.
원뿔과 외접구를 함께 나타낸 그림(입체감을 위한 개략도) — 외접구는 밑면 평면보다 아래까지 불룩하게 나옵니다(h가 r에 비해 작을수록 두드러지는 현상으로, 위 R=(h²+r²)/2h 공식과도 어긋나지 않습니다). 엄밀한 논증의 근거는 아래 2D 정확 단면입니다.
축 단면으로 본 외접구 — 중심 Q는 축 위의 점으로, 꼭짓점 P와 밑면 둘레 위의 점 A로부터 같은 거리 R에 있음(OQ=x, QP=QA=R)
사용 : 356번(정의) · 3.19의 260번(원의 정의) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝