3.30 범위 밖(백과사전)
원기둥
Right Circular Cylinder
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 밑면이 원인 기둥, 곧 원기둥(right circular cylinder)을 다룹니다. 밑면인 원의 반지름을 r, 높이를 h라 하고 밑넓이 B, 옆넓이 Sₗₐₜ, 겉넓이 S, 부피 V를 차례로 구합니다. 3.24의 각기둥과 달리 밑면이 다각형이 아니므로 옆넓이와 부피는 곧바로 얻을 수 없고, 원기둥에 내접·외접하는 정n각기둥의 값을 n→∞로 보내는 조임(squeeze) 논증으로 얻습니다 — 원의 둘레와 넓이를 정n각형의 극한으로 얻은 3.19의 방식(262번, 263번)을 그대로 입체로 옮긴 것입니다. 이 절의 공식 8개(342~349번)를 정리합니다.
원기둥 — 반지름 r인 두 밑면(중심 O, O′), 축 OO′, 높이 h, 모선 AE(길이 l=h). 점선은 보이지 않는 아래 밑면의 뒤쪽 반원
- 두 밑면의 중심을 잇는 선분 OO′를 축(axis)이라 하고, 그 길이 h를 높이(altitude)라 합니다.
- 두 밑면의 대응점을 잇는 선분(예 : AE)을 모선(generator)이라 합니다. 평행이동으로 만들었으므로 모든 모선은 서로 평행하고 길이가 모두 같으며 밑면에 수직입니다 — 즉 모선의 길이 l과 높이 h가 같습니다 (l=h). 모선이 밑면에 수직이라는 점이 “직(right)”원기둥이라는 이름의 근거입니다.
- 축을 포함하는 평면으로 자른 단면을 축 단면(axial section)이라 합니다 (347번).
- h=2r인 원기둥을 등변원기둥(equilateral cylinder)이라 합니다 (349번).
- 두 밑면(축에 수직인 평면)에 접하려면, M에서 밑면까지의 거리가 ρ여야 합니다. 그 거리는 축의 절반이므로 ρ = h2.
- 옆면에 접하려면, M에서 옆면까지의 거리가 ρ여야 합니다. 옆면 위의 점 Q에 대해 MQ² = r²+(z-h2)² (348번 3단계)이므로 이 값이 가장 작아지는 것은 z=h2일 때이고 최솟값은 r입니다. 즉 M에서 옆면까지의 거리는 r이므로 ρ = r.
342정의원기둥원기둥 = 밑면이 원이고 모선이 밑면에 수직인 기둥 (r : 밑면의 반지름, h : 높이)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 한 평면 위에 중심 O, 반지름 r인 원(3.19의 260번)이 있을 때, 이 평면에 수직인 방향으로 거리 h만큼 원 전체를 평행이동시켜 얻은 또 하나의 원을 중심 O′인 원이라 합시다. 두 원(밑면, base)과, 대응하는 두 점을 잇는 모든 선분이 이루는 곡면(옆면, lateral surface)으로 둘러싸인 입체를 원기둥(정확히는 직원기둥, right circular cylinder)이라 합니다.
동치인 서술로, 직사각형의 한 변을 포함하는 직선을 축으로 하여 그 직사각형을 한 바퀴 회전시켜 얻는 회전체가 원기둥입니다. 축이 되는 변의 길이가 h, 그와 이웃한 변의 길이가 r입니다.
각 부분의 이름은 다음과 같습니다.
밑면에 평행한 평면으로 자른 단면은 밑면을 그 평면까지 평행이동시킨 것이므로 밑면과 합동인 반지름 r의 원입니다 — 이 성질은 346번(부피)에서 원기둥이 “모든 높이에서 같은 굵기”임을 쓰는 근거가 됩니다. 한편 원기둥은 3.24의 각기둥(298번)에서 밑면인 다각형을 원으로 바꾼 것에 해당하지만, 원은 다각형이 아니므로 원기둥은 다면체(3.22의 283번)가 아닙니다. 옆면이 평면이 아닌 곡면이기 때문입니다.
사용 : 3.19의 260번(원의 정의) · 261번(반지름과 지름) · 3.24의 298번(각기둥의 정의) · 3.22의 283번(다면체의 정의)
343정리밑넓이B = πr²
344정리옆넓이Sₗₐₜ = 2πrh
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
옆면은 평면이 아닌 곡면이므로 다각형의 넓이 공식을 곧바로 쓸 수 없습니다. 그래서 원의 둘레를 정n각형의 둘레의 극한으로 얻은 3.19의 262번과 똑같은 방법을 씁니다.
1단계 — 내접·외접 정n각기둥. 밑면 원에 내접하는 정n각형을 밑면으로 하는 직각기둥(3.24의 298번)을 Kₙ, 밑면 원에 외접하는 정n각형을 밑면으로 하는 직각기둥을 K′ₙ라 하고, 둘 다 높이는 원기둥과 같은 h로 둡니다. 두 기둥의 옆넓이는 3.24의 299번(Sₗₐₜ=Ph)에 의해 각각 Pₙh, Qₙh입니다. 여기서 Pₙ, Qₙ는 각각 내접·외접 정n각형의 둘레입니다.
2단계 — 두 둘레의 계산. 내접 정n각형은 외접원의 반지름이 r이므로 한 변의 길이가 2r sin(π/n)(3.18의 256번)이고, 둘레는 3.18의 258번에 의해
Pₙ = 2nr sin(π/n).
외접 정n각형은 내접원(아포템)의 반지름이 r이므로 3.18의 257번(r₀=a2 tan(π/n))에서 한 변의 길이가 2r tan(π/n)이고, 둘레는
Qₙ = 2nr tan(π/n).
3단계 — 조임. Kₙ의 옆면은 원기둥의 옆면보다 안쪽에, K′ₙ의 옆면은 바깥쪽에 있고 높이는 셋이 모두 같으므로
Pₙh ≤ Sₗₐₜ ≤ Qₙh.
4단계 — 극한. 두 둘레를 3.19의 262번과 같은 꼴로 정리하면
Pₙ = 2πr·sin(π/n)π/n, Qₙ = 2πr·tan(π/n)π/n.
n→∞이면 θ=πn→0이고, 극한 sin θθ→1과 cos θ→1로부터 tan θθ = sin θθ·1cos θ→1 이므로 Pₙ→2πr, Qₙ→2πr입니다(8.2의 635번·636번). 양 끝이 같은 값 2πrh로 수렴하므로 조임에 의해
Sₗₐₜ = 2πrh.
원기둥에 내접하는 정n각기둥(n=8인 경우)과, 밑면을 위에서 내려다본 평면도 — 안쪽 정n각형(내접)과 바깥 정n각형(외접) 사이에 밑면 원이 끼어 있고, n이 커지면 두 다각형이 모두 원에 한없이 가까워짐
전개도를 이용한 확인. 옆면을 모선 하나를 따라 잘라 평면 위에 펼치면, 가로가 밑면의 둘레 2πr(3.19의 262번)이고 세로가 모선의 길이 h인 직사각형이 됩니다. 직사각형의 넓이(3.6의 204번)로부터 곧바로 Sₗₐₜ=2πrh를 얻습니다. 다만 “곡면을 펼쳐도 넓이가 변하지 않는다”는 사실 자체가 위 1~4단계의 극한 논증으로 정당화되는 것이므로, 전개도는 결과를 기억하기 위한 그림이고 증명의 근거는 조임 논증입니다.
원기둥의 전개도 — 옆면은 가로 2πr, 세로 h인 직사각형이 되고, 위아래로 반지름 r인 두 밑면 원이 붙음
사용 : 3.24의 298번(직각기둥) · 299번(각기둥의 옆넓이) · 3.18의 256번·257번·258번(정n각형의 외접원·내접원의 반지름과 둘레) · 3.19의 262번(원의 둘레) · 3.6의 204번(직사각형의 넓이) · 8.2의 635번(극한 sin θθ→1) · 636번(tan θθ→1)
증명 끝
345정리겉넓이S = 2πr(r+h) = 2πr²+2πrh
346정리부피V = πr²h = Bh
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
344번에서 쓴 내접·외접 정n각기둥 Kₙ, K′ₙ를 그대로 사용합니다 (344번의 도형 참조).
1단계 — 두 기둥의 부피. 각기둥의 부피 공식(3.24의 301번, V=Bh)에 의해 두 기둥의 부피는 각각 Bₙh, B′ₙh입니다. 여기서 Bₙ, B′ₙ는 내접·외접 정n각형의 넓이입니다. 3.18의 259번에 의해
Bₙ = n r²2sin(2πn), B′ₙ = 12·Qₙ·r = n r² tan(π/n)
입니다(외접 정n각형은 둘레가 Qₙ=2nr tan(π/n)이고 아포템이 r이므로, 중심과 각 변으로 만들어지는 n개의 삼각형의 넓이의 합이 12×(둘레)×(아포템)입니다 — 3.4의 195번).
2단계 — 부피의 단조성. 입체 X가 입체 Y에 포함되면 Y는 X와 “Y에서 X를 제외한 부분”의 두 부분으로 나뉘고, 부피는 음이 아니므로 부피의 공리(3.22의 285번)의 성질 ②(부분으로 나누면 부피는 각 부분의 합)에 의해 V(X)≤V(Y)입니다. Kₙ⊂(원기둥)⊂K′ₙ이므로
Bₙh ≤ V ≤ B′ₙh.
3단계 — 극한. 3.19의 263번과 같은 정리로
Bₙ = πr²·sin(2π/n)2π/n→πr², B′ₙ = πr²·tan(π/n)π/n→πr²
이므로(344번 4단계와 같은 극한, 8.2의 635번·636번) 양 끝이 모두 πr²h로 수렴합니다. 조임에 의해
V = πr²h = Bh.
각기둥의 부피 V=Bh와 완전히 같은 꼴이며, 원기둥의 어느 높이에서 잘라도 단면의 넓이가 B=πr²로 일정하다는 343번의 관찰과도 어긋나지 않습니다.
사용 : 344번(내접·외접 정n각기둥의 구성과 극한) · 3.24의 301번(각기둥의 부피) · 3.18의 259번(정n각형의 넓이) · 3.4의 195번(삼각형의 넓이) · 3.22의 285번(부피의 공리 ②) · 3.19의 263번(원의 넓이) · 8.2의 635번(극한 sin θθ→1)
증명 끝
347정리축 단면Sₐₓ = 2rh, d = 4r²+h²
증명법 : 직접증명법
축 OO′를 포함하는 평면으로 원기둥을 자릅니다. 이 평면은 아래 밑면과 O를 지나는 지름 AB에서 만나고(3.19의 261번, AB=2r), 위 밑면과는 A, B의 바로 위에 있는 두 점 E, F를 잇는 지름 EF에서 만납니다.
AE와 BF는 모선이므로 342번에 의해 둘 다 밑면에 수직이고 길이가 h이며 서로 평행합니다. 따라서 사각형 ABFE는 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으므로 평행사변형이고, 게다가 AE⊥AB이므로 네 각이 모두 직각인 직사각형입니다. 즉 축 단면은 가로 2r, 세로 h인 직사각형입니다. 넓이는 3.6의 204번에 의해
Sₐₓ = 2rh.
3D 로케이터 — 축 OO′를 포함하는 평면으로 자른 축 단면 ABFE(파란 면). A, B는 아래 밑면의 지름의 양 끝, E, F는 각각 그 바로 위의 점
이제 대각선 AF를 구합니다. 사교투영 그림에서는 각도가 보존되지 않으므로, 축 단면만 실제 모양대로 따로 그려 계산합니다. 삼각형 ABF는 B에서 직각인 직각삼각형(BF⊥AB)이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
d² = AF² = AB²+BF² = (2r)²+h² = 4r²+h²,
길이는 양수이므로 d = 4r²+h²입니다. 두 대각선의 길이는 같고 서로를 이등분하므로 그 교점 M은 축 OO′의 중점이며, M에서 네 꼭짓점까지의 거리는 모두 d2입니다(3.6의 202번, 직사각형의 외접원). 이 사실이 348번에서 외접구의 반지름을 주는 열쇠가 됩니다.
축 단면 ABFE의 실제 모양(2D 정확 단면) — 가로 2r, 세로 h인 직사각형과 그 대각선 d, 두 대각선의 교점 M(=축의 중점)
사용 : 342번(모선의 성질) · 3.19의 261번(지름) · 3.6의 204번(직사각형의 넓이)·202번(직사각형의 외접원) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
348정리외접구의 반지름R = 124r²+h²
증명법 : 직접증명법
(구의 정의와 기본 성질은 3.34의 373번을 참고하세요. 여기서는 “한 점 M에서 거리가 R로 일정한 점 전체”라는 뜻으로만 씁니다.)
1단계 — 중심의 위치. 원기둥은 축 OO′를 회전축으로 하는 회전대칭이고, 축의 중점 M을 지나며 축에 수직인 평면에 대해 대칭이므로(342번), 모든 겉면 위의 점에서 같은 거리에 있는 점이 있다면 그것은 이 두 대칭을 함께 만족하는 점, 곧 축의 중점 M뿐입니다.
2단계 — 거리 계산. 아래 밑면의 둘레 위의 임의의 점을 P라 하면 OP=r이고, MO는 축의 절반이므로 MO=h2이며, 축은 밑면에 수직이므로 MO⊥OP입니다. 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
MP² = MO²+OP² = h²4+r².
위 밑면의 둘레 위의 점에 대해서도 대칭에 의해 같은 값이 나옵니다. 따라서 두 밑면의 둘레 위의 모든 점은 M으로부터 거리가
R = r²+h²4 = 124r²+h²
로 일정합니다. 이는 축 단면의 대각선의 절반, 곧 d2와 같습니다 (347번).
3단계 — 원기둥 전체가 이 구 안에 들어감. 옆면 위의 점 Q가 아래 밑면으로부터 높이 z (0≤z≤h)에 있다고 하면, Q에서 축에 내린 수선의 발을 N이라 할 때 NQ=r이고 MN=|z-h2|이므로 MQ² = r²+(z-h2)² ≤ r²+h²4 = R²이고, 등호는 z=0 또는 z=h일 때, 곧 밑면의 둘레 위에서만 성립합니다. 밑면의 내부 점도 마찬가지로 거리가 R보다 작습니다. 따라서 중심 M, 반지름 R인 구는 원기둥을 모두 품으면서 두 밑면의 둘레(원)에서만 만나는 외접구입니다. 1단계에서 중심의 후보가 M뿐이었으므로 외접구는 유일합니다.
축 단면(2D 정확 단면)으로 본 외접구 — 축 단면 직사각형 ABFE의 외접원이 곧 외접구의 대원이고, 반지름은 대각선의 절반 R
사용 : 342번(축과 대칭성) · 347번(축 단면의 대각선) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝
349정리내접구와 등변원기둥내접구가 존재할 필요충분조건은 h = 2r이고, 그때 반지름은 r
증명법 : 직접증명법
(구의 정의는 348번과 마찬가지로 3.34의 373번을 참고하세요. 내접구란 두 밑면과 옆면에 모두 접하면서 원기둥 안에 들어 있는 구를 말합니다.)
1단계 — 중심의 위치. 348번의 1단계와 같은 대칭 논증에 의해, 내접구가 있다면 그 중심은 축의 중점 M입니다.
2단계 — 두 조건. 중심이 M이고 반지름이 ρ인 구를 생각합니다.
3단계 — 결론. 두 조건이 동시에 성립할 필요충분조건은 h2 = r, 곧 h = 2r이고, 이때 내접구의 반지름은 ρ = r입니다. h≠2r이면 한쪽 조건을 만족시키는 순간 다른 쪽에 접하지 못하므로 내접구는 존재하지 않습니다.
h=2r인 원기둥을 등변원기둥(equilateral cylinder)이라 합니다 (342번). 축 단면은 347번에 의해 가로 2r, 세로 2r인 정사각형(3.5)이 되고, 그 안에 내접구의 대원(반지름 r)이 꼭 들어갑니다.
등변원기둥(h=2r)의 축 단면 — 한 변이 2r인 정사각형과 그 내접원(=내접구의 대원, 반지름 r)
덧붙임 — 아르키메데스의 비. 등변원기둥의 부피는 346번에 의해 V = πr²·2r = 2πr³이고, 겉넓이는 345번에 의해 S = 2πr(r+2r) = 6πr²입니다. 3.34에서 구의 부피 43πr³과 겉넓이 4πr²을 얻고 나면, 등변원기둥과 그 내접구 사이에 부피의 비도 겉넓이의 비도 모두 3 : 2라는 사실을 확인할 수 있습니다. 아르키메데스가 자신의 묘비에 새기게 했다는 그 관계입니다(3.34의 376번·377번 참고).
사용 : 342번(정의) · 345번(겉넓이) · 346번(부피) · 347번(축 단면) · 348번(중심의 대칭 논증과 옆면까지의 거리) · 3.34의 373번(구의 정의)·376번(겉넓이)·377번(부피)
증명 끝