3.23 범위 밖(백과사전)
직육면체
Rectangular Parallelepiped
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 정육면체(3.22)를 일반화한 직육면체를 다룹니다. 다면체·부피의 기본 공리는 3.22의 283~285번에서 이미 약속했으므로, 여기서는 세 모서리의 길이가 서로 다른 경우(a, b, c)로 확장하여 공식 6개(292~297번)를 정리합니다. 꼭짓점 표기는 3.22와 동일하게 밑면 ABCD, 윗면 EFGH (A 위에 E, B 위에 F, C 위에 G, D 위에 H)를 사용하며, 모서리 AB = a, BC = b, AE = c로 둡니다.
직육면체 ABCD-EFGH — 세 모서리의 길이 a(=AB), b(=BC), c(=AE)가 서로 다르다 (점선은 보이지 않는 모서리)
292정의직육면체직육면체 = 여섯 면이 모두 직사각형인 다면체 (세 모서리 a, b, c)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 여섯 면이 모두 직사각형인 다면체를 직육면체(rectangular parallelepiped, cuboid)라 합니다. 마주보는 세 쌍의 면은 각각 합동이고, 모서리는 서로 다른 세 길이 a, b, c를 가지며 같은 길이의 모서리가 각각 4개씩 있습니다 (모서리 12개, 꼭짓점 8개). 각 꼭짓점에는 세 면이 모이고, 한 꼭짓점에서 만나는 세 모서리는 서로 수직입니다 — 각 쌍이 어느 한 직사각형 면의 이웃한 변이기 때문입니다(예 : 꼭짓점 C에서 만나는 CB·CG는 면 BCGF의, CD·CG는 면 CDHG의, CB·CD는 밑면 ABCD의 이웃한 변). 또한 각 모서리는 자신과 한 점에서 만나는 두 면 이외의 면과 수직입니다(예 : 모서리 CG와 밑면 ABCD). 실제로 CG는 밑면 위에서 C에서 만나는 두 직선 CB, CD와 각각 수직이므로, 직선과 평면의 수직 판정(3.22 단원 서두의 약속 ②)에 의해 CG는 밑면 위의 모든 직선과 수직입니다 — 정육면체 (284번)에서 확인한 것과 완전히 같은 논증이며, 294번에서 CG⊥AC로 쓰이는 것이 바로 이 성질입니다. 실제로 a = b = c인 특수한 경우가 정육면체(3.22)입니다.
사용 : 3.22의 283번(다면체의 정의) · 3.22의 284번(정육면체 : 세 모서리 길이가 모두 같은 특수한 경우) · 3.6의 직사각형(각 면의 모양)
293정리면의 대각선(3종)d₁ = a²+b², d₂ = a²+c², d₃ = b²+c²
증명법 : 직접증명법
직육면체의 세 쌍의 마주보는 면은 각각 변의 길이가 (a,b), (a,c), (b,c)인 합동인 직사각형입니다 (정의 292번). 3.6의 201번(직사각형의 대각선, d = a²+b²)을 각 면에 적용합니다.
| d₁ = a²+b² | 밑면 ABCD(변 a, b)의 대각선 AC |
| d₂ = a²+c² | 앞면 ABFE(변 a, c)의 대각선 BE |
| d₃ = b²+c² | 옆면 BCGF(변 b, c)의 대각선 CF |
세 쌍의 마주보는 면과 그 대각선 — 밑면(변 a,b) · 앞면(변 a,c) · 옆면(변 b,c)
사용 : 292번(세 쌍의 마주보는 면은 직사각형) · 3.6의 201번(직사각형의 대각선)
증명 끝
294정리공간대각선d = a²+b²+c²
증명법 : 직접증명법
공간대각선 AG의 길이를 구합니다. 모서리 CG(길이 c)는 밑면 ABCD와 수직이므로(정의 292번), 밑면 위의 선분 AC와도 수직입니다. 따라서 삼각형 ACG는 ∠ACG = 90°인 직각삼각형입니다.
| AG² = AC² + CG² | 3.1의 163번(피타고라스 정리) |
| = d₁² + c² | 293번(AC = d₁) · CG = c |
| = (a²+b²) + c² = a²+b²+c² | 계산 |
길이는 양수이므로
d = AG = a²+b²+c²
덧붙여 이 증명은 꼭짓점의 이름만 바꾸면 어느 공간대각선에도 그대로 적용됩니다 — BH는 △BDH(BD = d₁, DH = c), CE는 △CAE(CA = d₁, AE = c), DF는 △DBF(DB = d₁, BF = c)에서 같은 계산이 되므로, 네 공간대각선 AG, BH, CE, DF의 길이는 모두 d로 같습니다 (297번에서 사용).
직각삼각형 ACG — AC = d₁ = √(a²+b²), CG = c, ∠ACG = 90°(CG⊥밑면), 빗변 AG = d
사용 : 292번(모서리와 면의 수직) · 293번(면의 대각선) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
295정리겉넓이S = 2(ab+bc+ca)
증명법 : 직접증명법
직육면체의 여섯 면은 세 쌍의 합동인 직사각형으로 이루어집니다(정의 292번) — 밑면 ABCD와 윗면 EFGH(변 a,b), 앞면 ABFE와 뒷면 DCGH(변 a,c), 옆면 BCGF와 ADHE(변 b,c). 3.6의 204번(직사각형의 넓이 S = ab)에 의해 각 쌍을 이루는 면 하나의 넓이는 각각 ab, ac, bc입니다. 겉넓이는 이 여섯 면의 넓이의 합, 즉 각 쌍의 넓이의 2배의 합이므로
S = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab+bc+ca)
직육면체의 전개도 — ①윗면 ②옆면(ADHE) ③앞면(ABFE) ④옆면(BCGF) ⑤뒷면(DCGH) ⑥밑면, 세 쌍씩 합동
사용 : 292번(세 쌍의 마주보는 합동인 면) · 3.6의 204번(직사각형의 넓이)
증명 끝
296정리부피V = abc
297정리외접구의 반지름R = d2
증명법 : 직접증명법
먼저 네 공간대각선 AG, BH, CE, DF가 모두 한 점 O(직육면체의 중심)에서 만나고, O가 각 대각선의 중점임을 보입니다. 3.22의 보조정리(네 공간대각선의 공통 중점)와 완전히 같은 논법입니다 — 그 증명은 모서리의 길이가 모두 같다는 사실을 쓰지 않으므로(각 단계는 마주 보는 한 쌍의 모서리가 평행하고 길이가 같다는 것만 사용), 직육면체에도 문자 그대로 적용됩니다.
① 네 점 A, B, G, H가 한 평면 위에 있음을 확인합니다. AB ∥ DC(직사각형 ABCD의 마주 보는 변)이고 DC ∥ HG(직사각형 DCGH의 마주 보는 변)이므로, 평행의 추이성(3.22 단원 서두의 약속 ①)에 의해 AB ∥ HG이고, 길이도 AB = HG = a로 같습니다(정의 292번). 평행한 두 직선 AB, HG는 한 평면을 결정하므로 사각형 ABGH는 평면 사각형입니다.
② 이 평면 위에서 두 대각선 AG와 BH의 교점을 O라 하면,
| ∠OAB = ∠OGH, ∠OBA = ∠OHG | AB ∥ HG의 엇각(5.9 예정, 선행 인용) |
| AB = GH | ①에서 (둘 다 a) |
| △OAB ≡ △OGH | ASA 합동 |
| OA = OG, OB = OH | 합동인 삼각형의 대응변 |
이므로 O는 대각선 AG의 중점이자 대각선 BH의 중점입니다.
③ 같은 논법을 사각형 ACGE와 사각형 ADGF에 적용합니다. AE ∥ CG(AE ∥ BF, BF ∥ CG — 각각 직사각형 ABFE, BCGF의 마주 보는 변)이고 AE = CG = c이므로 사각형 ACGE에서 두 대각선 AG와 CE는 서로의 중점에서 만나고, AD ∥ FG(AD ∥ BC, BC ∥ FG)이고 AD = FG = b이므로 사각형 ADGF에서 두 대각선 AG와 DF도 서로의 중점에서 만납니다. 선분 AG의 중점은 하나뿐이므로 ②·③의 교점은 전부 같은 점 O입니다.
④ 294번에서 보였듯이 네 공간대각선의 길이는 어느 것을 택하든 d = a²+b²+c²로 같습니다. 따라서 O에서 여덟 꼭짓점까지의 거리는 모두 대각선의 절반으로 같고, O를 중심으로 반지름
R = d2 = 12a²+b²+c²
인 구를 그리면 여덟 꼭짓점을 모두 지납니다(외접구). (구의 정의와 성질은 3.34의 373번을 참고하세요)
A, C, G, E를 지나는 대각선 단면(직사각형, 변 d₁×c)과 외접구의 대원 — 지름 AG = d, R = d2
사용 : 292번(마주 보는 모서리의 평행·등장) · 294번(공간대각선, 네 대각선의 등장) · 3.22의 보조정리(같은 논법 : 네 공간대각선의 공통 중점) · 평행선의 엇각(5.9 예정, 선행 인용) · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝