이론/ 도형/ 3.35 구관(구의 캡)

3.35 범위 밖(백과사전)

구관(구의 캡)

Spherical Cap

3.34(구)에서 구를 평면으로 자를 때 생기는 교선(374번, 대원·소원·접평면)을 이미 다루었습니다. 이 절에서는 그 평면이 구를 두 조각으로 나눈다는 사실에 주목해, 그 중 한 조각—구관(구의 캡, spherical cap)—의 모양과 크기를 다룹니다. 캡의 높이 h와 밑면(절단면 원)의 반지름 r을 정의하고(378번), 374번으로부터 곧바로 r을 h와 R로 표현합니다(379번). 캡의 축 단면이 3.21(원의 활꼴)과 합동임을 확인한 뒤(380번), 3.34에서 겉넓이·부피를 얻었던 것과 같은 방식—내접 다각형(회전체)의 극한—으로 캡의 옆넓이(381번), 겉넓이(382번), 부피(383번)를 차례로 얻습니다. 이 절의 공식 6개(378~383번)를 정리합니다.

구관(구의 캡) — 반지름 R인 구를 중심 O에서 거리 d=R−h인 평면으로 잘라 얻은 조각. 꼭짓점(위쪽 극)에서 절단면까지의 높이 h, 절단면 원(밑면)의 반지름 r

378정의구관(구의 캡)반지름 R인 구를 중심 O로부터 거리 d인 평면으로 자를 때 생기는 두 조각 중 하나 — 캡의 높이 h(꼭짓점에서 절단면까지, 축 위에서 잰 거리)와 밑면(절단면 원)의 반지름 r을 씀 (0<h≤2R, d=R−h)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 3.34의 374번(평면과 구의 교선)에 의해, 중심 O인 구를 O로부터 거리 d(−R≤d<R, 즉 평면이 구를 실제로 두 조각으로 가름)인 평면 π로 자르면 π는 구를 정확히 두 조각으로 나눕니다. 이 평면에 수직이고 O를 지나는 직선(축)이 구와 만나는 두 점 중, π에 의해 갈라진 두 조각 가운데 더 작은 쪽(또는 h=R인 반구의 경우 어느 쪽이든)에 속하는 점을 P₀(캡의 꼭짓점)라 합니다. P₀에서 π까지 축을 따라 잰 거리를 캡의 높이 h라 하고, 이 P₀를 포함하는 쪽 조각(구면의 일부 + 그 경계인 절단면 원판)을 구관 또는 구의 캡(spherical cap)이라 합니다. 캡의 밑면은 절단면과 구가 만나서 생기는 원(374번의 소원 또는 대원)이고, 그 반지름을 r이라 씁니다.

O에서 π까지의 거리를 d라 하면, P₀와 O 사이의 거리는 반지름 R이고 P₀, O, 그리고 π와 축의 교점 M은 모두 축 위에 순서대로 놓이므로 h=R−d, 곧 d=R−h입니다(d>0이면 M이 O와 P₀ 사이에, d<0이면 O가 M과 P₀ 사이에 있는 경우—즉 h>R인 “큰 쪽” 캡—에 해당하며, 어느 경우든 h=R−d가 성립합니다). h의 범위는 0<h≤2R이고, 특히 h=R이면 캡은 정확히 반구, h=2R이면 캡은 구 전체 (이때 절단면은 존재하지 않는 극한적인 경우)가 됩니다. 이 절에서는 실제로 절단면이 존재하는 0<h<2R을 기본으로 다룹니다.

캡의 축 단면 — 꼭짓점 P₀, 중심 O, 절단면의 축 위의 점 M(OM=d=R−h), 절단면 원 위의 한 점 P(MP=r, OP=R)

사용 : 3.34의 373번(구의 정의) · 374번(평면과 구의 교선, 소원의 반지름과 대원·접평면)

379정리밑면의 반지름r² = h(2R−h) (r = h(2R−h))

증명법 : 직접증명법

3.34의 374번에 의해, 중심 O에서 거리 d인 평면과 구의 교선(원)의 반지름은 R²−d²입니다. 378번에서 d=R−h로 놓았으므로, 이를 그대로 대입합니다 :

r² = R²−d²	3.34의 374번(평면과 구의 교선, 소원의 반지름)
= R²−(R−h)²	378번(d=R−h) 대입
= R²−(R²−2Rh+h²)	(R−h)² 전개
= 2Rh−h² = h(2R−h)	정리 · 인수분해

r = h(2R−h)

0<h<2R에서 2R−h>0이므로 근호 안이 양수이고, r은 실제로 존재하는(잘 정의된) 양의 실수입니다.

검산 : R=5, h=2이면 r²=2(10−2)=16, r=4로, 3.34 374번의 검산 예시(R=5, d=3, ρ=4)와 d=R−h=5−2=3으로 정확히 이어집니다(3–4–5 직각삼각형). 이 값들(R=5, h=2, r=4)을 이 절의 나머지 정리(381~383번)에서도 검산 예시로 그대로 사용합니다.

직각삼각형 OMP : OM=d=R−h=3, MP=r=4, OP=R=5(3.34 f374의 검산 예시와 동일)

사용 : 378번(구관의 정의, d=R−h) · 3.34의 374번(평면과 구의 교선)

증명 끝

380정리축 단면(원의 활꼴과 합동)캡의 축을 지나는 평면 단면은 대원의 활꼴(3.21)과 합동 — 사기타(화살) h, 반현 r, 중심각의 절반 θ₀은 cosθ₀=(R−h)/R

증명법 : 직접증명법

캡의 축(P₀와 O를 지나는 직선)을 포함하는 평면 π₀를 하나 고정합니다. π₀는 O를 지나므로 3.34의 374번(i)에 의해 π₀와 구의 교선은 반지름 R인 대원 Γ입니다. 한편 π₀는 캡의 절단면(378번의 π)과도 만나는데, 두 평면이 서로 다르고 평행하지 않으므로(π₀는 π에 수직인 축을 포함) 그 교선은 하나의 직선 ℓ이고, ℓ은 π 위에서 O의 수선의 발 M을 지납니다(M은 축 위의 점이고 축⊂π₀이므로).

ℓ과 대원 Γ의 교점을 A, B라 합시다(ℓ은 Γ의 중심 O로부터 거리 OM=d=R−h<R만큼 떨어져 있으므로 ℓ은 Γ를 실제로 두 점에서 가로지릅니다). Γ는 π₀ 안에 있고 ℓ=π₀∩π이므로, A, B는 모두 π 위에 있는 동시에 구 위에 있는 점—즉 378번의 밑면 원(반지름 r) 위의 점입니다. 특히 A, B는 이 밑면 원과 평면 π₀의 교점이므로, 직각삼각형 OMA(∠M이 직각)에서 379번과 똑같은 논증(피타고라스 정리, 3.1의 163번)이 그대로 적용되어 MA=MB=r을 얻습니다.

이제 π₀ 안에서 대원 Γ를 현 AB로 자른 두 조각을 보면, 그 중 P₀를 포함하는 쪽(현 AB와, P₀를 지나는 쪽 호로 둘러싸인 영역)이 바로 캡의 축 단면(캡∩π₀)입니다—구관의 정의(378번)에 의해 캡은 “π에 대해 P₀와 같은 쪽에 있는 구 위의 점들과 그 안쪽”이고, 이는 π₀ 위에서 정확히 “ℓ에 대해 P₀와 같은 쪽에 있는 Γ 위의 점들과 그 안쪽”으로 나타나기 때문입니다. 현과 호로 둘러싸인 이 영역은 3.21의 278번(활꼴의 정의) 그대로이므로, 캡의 축 단면은 대원 Γ의 활꼴과 합동입니다.

이 활꼴의 사기타(화살, 호의 중점에서 현까지의 거리)는 정확히 P₀에서 현 AB까지의 거리이고, P₀, M, O가 모두 축 위에 있으므로 이는 P₀M=h(378번의 정의 그대로)와 같습니다. 즉 3.21의 280번(활꼴의 높이 공식 h=r(1−cos(θ/2)), 여기서 r=R, θ/2=θ₀로 대응)에 의해

h = R(1−cosθ₀) ⇑⇐ cosθ₀ = R−hR = dR

이고, 이 θ₀가 바로 381번에서 옆넓이를 구할 때 쓰는 “꼭짓점에서 밑면 원까지의 중심각”입니다(3.21의 279번과 대응해 반현 r=R sinθ₀도 확인할 수 있고, 이는 r²=R²sin²θ₀=R²(1−cos²θ₀)=R²−d²=h(2R−h)로 379번과 정확히 일치합니다).

주의(혼동 방지) : 여기서 말하는 “활꼴”은 어디까지나 축 단면이라는 2차원 평면 도형일 뿐입니다. 이 활꼴 자체의 둘레·넓이(3.21의 281번·282번)는 캡의 옆넓이(381번, 구면이라는 곡면의 넓이)나 부피(383번, 3차원 입체의 부피)와는 전혀 다른 양이며, 서로 대입하거나 혼동해서는 안 됩니다—380번은 오직 축 단면의 모양이 활꼴과 합동이라는 사실만을 말합니다.

캡의 축 단면(강조된 영역) — 대원의 활꼴과 합동, 사기타 h, 반현 r(현 전체 길이 2r)

사용 : 378번(정의) · 379번(MA=MB=r) · 3.34의 374번(대원) · 3.21의 278번(활꼴의 정의)·279번(현의 길이)·280번(활꼴의 높이) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)

증명 끝

381정리옆넓이(곡면 부분)S_lat = 2πRh = π(r²+h²)

증명법 : 직접증명법(극한을 이용)

380번의 자오면 π₀ 위에서, 대원 Γ 위에 꼭짓점 P₀(축과 이루는 각 0)부터 밑면 원의 A(축과 이루는 각 θ₀, cosθ₀=(R−h)/R)까지, 중심각을 n등분한 내접하는 n개의 현으로 이루어진 꺾은선을 그은 뒤, 이를 축을 중심으로 회전시켜 얻는 회전체(캡에 내접하는 n개의 원뿔대·원뿔의 이어붙임)의 옆넓이의 합 S_n을 구합니다. n→∞이면 이 회전체는 캡에 한없이 가까워지므로, S_n의 극한을 캡의 옆넓이로 정의합니다.

3.34의 376번 증명에서 이미 확인한 핵심 보조 사실—대원 위의 임의의 현을 축으로 회전시켜 얻는 회전체 한 조각의 옆넓이는 2π·(원점에서 현까지의 거리 p)·(그 현의 축 위 투영 길이)와 같다—는 현의 위치(어느 각 범위에 있는지)에 무관하게 성립하는 일반적인 사실이므로, 이 절에서도 다시 증명하지 않고 그대로 가져다 씁니다.

1단계 — n개의 현이 모두 같은 p_n을 가짐. P₀에서 A까지의 각 θ₀을 n등분하면 각 현의 중심각은 Δθ_n=θ₀/n로 모두 같고, 376번과 같은 이유로 원점에서 각 현까지의 거리는 p_n=R cosδ_n(δ_n=Δθ_n/2=θ₀/(2n))으로 모든 현에 대해 같습니다.

2단계 — 축 위 투영의 합. n개의 현은 축 위에서 P₀(축 좌표 R)부터 A(축 좌표 R−h)까지 단조로 이어지므로, 각 현의 축 위 투영 길이를 모두 더하면 텔레스코핑에 의해 정확히 그 총 거리 h=R−(R−h)와 같습니다(n의 크기에 관계없이 항상 정확히 h—376번에서 전체 지름 2R을 얻었던 것과 같은 방식이며, 여기서는 범위가 h로 줄어들 뿐입니다).

S_n = Σ 2πp_n·(투영 길이) = 2πp_n·h	p_n 공통, 투영의 합=h(1단계·2단계)
= 2πRh·cosδ_n = 2πRh·cosθ₀2n	p_n=R cosδ_n 대입

3단계 — 극한. n→∞이면 δ_n=θ₀/(2n)→0이고 cosδ_n→cos0=1(3.34 376번과 같은 극한—8.2의 635번 증명 ②단계에서 확립)이므로

S_n → 2πRh·1 = 2πRh

이 극한값을 캡의 옆넓이(곡면 부분만, 밑면 원판은 제외) S_lat로 정의합니다.

참고(대학 과정) : 3.34의 376·377번과 같은 사정으로, cosδ_n→1 자체는 고교 과정이며 8.2의 635번 증명 ②단계에서 확립되지만, “곡면(구관의 구면 부분)의 넓이”를 내접 회전체 옆넓이의 극한으로 엄밀하게 정의하는 일과 그 극한의 존재성의 증명은 대학 미적분학(곡면적분)의 내용입니다. 수능 준비생은 이 범위까지 공부할 필요가 없고, 공식 S_lat=2πRh와 극한의 결과만 알면 충분합니다.

덧붙임 1 — 외접(접선)으로도 확인. 같은 자오면 위에서, 이번에는 대원에 외접하는 n개의 접선분(3.34 375번과 같은 이유로 원점까지의 거리가 항상 정확히 R)을 P₀에서 A까지 이어 만든 회전체의 옆넓이의 합은 같은 방식으로 S_n^′=2πRh/cosδ_n이 되어(376번의 외접 구성과 같은 계산), 0<cosδ_n<1이므로 모든 n에 대해 S_n<2πRh<S_n^′이고 양쪽 모두 n→∞일 때 2πRh로 수렴합니다.

검산(R=5, h=2, θ₀=arccos(3/5)≈53.13°) : n=6이면 S_n≈62.64, S_n^′≈63.02; n=20이면 62.81, 62.85; n=100이면 62.83, 62.83으로, 참값 2π·5·2=20π≈62.83에 양쪽에서 좁혀듭니다.

덧붙임 2 — 대안 형태. 379번(r²=h(2R−h))을 쓰면 r²+h²=h(2R−h)+h²=2Rh−h²+h²=2Rh이므로,

S_lat = 2πRh = π(r²+h²)

로도 쓸 수 있습니다—R을 몰라도 r, h만으로 옆넓이를 구할 수 있는 형태입니다.

꼭짓점 P₀부터 밑면 원의 A, B까지 내접하는 현(n=4) — 참호(옅은 점선)를 안쪽에서 조여감

내접 회전면(n=4)이 캡의 곡면에 가까워지는 모습(3D 느낌 개략도)

사용 : 378번(정의) · 379번(r²=h(2R−h)) · 380번(θ₀) · 3.34의 374번·375번·376번(핵심 보조 사실과 극한 골격을 그대로 인용) · 8.2의 635번(cosθ→1, θ→0)

증명 끝

382정리겉넓이(곡면+밑면)S = 2πRh + πr² = πh(4R−h)

증명법 : 직접증명법

구관(캡)의 경계는 두 부분—곡면인 구면 조각(381번, 넓이 S_lat=2πRh)과 평평한 밑면 원판(반지름 r, 3.19의 263번에 의해 넓이 πr²)—으로 이루어지고, 이 둘은 오직 경계(밑면 원의 둘레)에서만 만나 겹치는 부분이 없으므로 캡 전체의 겉넓이는 둘을 더한 것입니다 :

S = S_lat + πr² = 2πRh + πr²	381번(곡면) + 3.19 f263(밑면 원판)
= 2πRh + πh(2R−h)	379번(r²=h(2R−h)) 대입
= πh(2R+2R−h) = πh(4R−h)	πh 묶어 정리

S = 2πRh + πr² = πh(4R−h)

검산 : R=5, h=2, r=4이면 2π·5·2+π·4²=20π+16π=36π, 그리고 π·2·(20−2)=π·2·18=36π로 두 식이 정확히 일치합니다(≈113.10).

겉넓이 = 곡면(구면, 갈색) 넓이 + 밑면(원판, 진한 빨강) 넓이

사용 : 379번(r²=h(2R−h)) · 381번(옆넓이) · 3.19의 263번(원의 넓이)

증명 끝

383정리부피V = πh²3(3R−h) = πh6(3r²+h²)

증명법 : 직접증명법(극한을 이용)

축 위의 점을 중심 O에서 잰 거리 x로 나타내면, 3.34 377번과 같이 x에서 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 374번에 의해 반지름 r(x)=R²−x²인 원입니다. 캡은 정확히 x가 a≡R−h부터 R까지인 구간에 대응하므로(378번, a=OM=d), 이 구간에서 원판을 쌓아 부피를 구합니다.

1단계 — 원기둥으로 안쪽에서 채움. 구간 [a,R]을 n등분해 Δ=h/n(구간의 길이가 R−a=h이므로), x_k=a+kΔ(k=0,1,…,n)이라 합니다. r(x)는 x에 대해 감소하므로, k번째 조각 [x_k−1,x_k] 안에서 반지름 r(x_k)(그 조각에서 가장 작은 반지름), 높이 Δ인 원기둥(3.30의 346번, V=πr²h)은 그 조각 전체가 캡 안에 완전히 들어갑니다(내접). n개를 모두 더한 것을 V_n이라 하면

V_n = πΔ Σ_k=1ⁿ r(x_k)² = πΔ Σ(R²−(a+kΔ)²)	원기둥 부피의 합, x_k=a+kΔ
= πΔ Σ(R²−a²−2akΔ−k²Δ²)	(a+kΔ)² 전개
= πΔn(R²−a²) − 2πaΔ² Σ_k=1ⁿk − πΔ³ Σ_k=1ⁿk²	항별로 Σ 분리

Δn=h이고 R²−a²=R²−(R−h)²=h(2R−h)(379번과 같은 전개)이므로 첫째 항은 πh·h(2R−h)=πh²(2R−h)입니다. Σk=n(n+1)/2, Σk²=n(n+1)(2n+1)/6(선행학습의 수학적 귀납법으로 증명되는 표준 항등식)을 대입하면

V_n = πh²(2R−h) − πaΔ²n(n+1) − πΔ³ n(n+1)(2n+1)6	Σk, Σk² 대입
= πh²(2R−h) − πah² n+1n − πh³ (n+1)(2n+1)6n²	Δ=h/n 대입, aΔ²n(n+1)=ah²(n+1)/n 정리

2단계 — 극한. n→∞이면 (n+1)/n→1, (n+1)(2n+1)/(6n²)→2/6=1/3이므로

V_n → πh²(2R−h) − πah² − πh³3

이고, a=R−h를 대입해 정리하면

V = πh²(2R−h) − π(R−h)h² − πh³3	a=R−h 대입
= 2πRh²−πh³ − πRh²+πh³ − πh³3	전개(첫 두 항)
= πRh² − πh³3 = πh²3(3R−h)	−πh³+πh³ 소거, πh²/3 묶기

V = πh²3(3R−h)

이 극한값을 캡의 부피로 정의합니다.

참고(대학 과정) : 3.34의 377번과 같은 사정으로, 위 극한(유리식의 극한) 자체는 고교 과정(수열의 극한)이지만, “입체(캡)의 부피”를 내접 원기둥 부피의 합의 극한으로 엄밀하게 정의하는 일과 그 극한의 존재성(리만 합의 수렴)의 증명은 대학 미적분학(적분론)의 내용입니다. 수능 준비생은 이 범위까지 공부할 필요가 없고, 공식과 극한의 결과만 알면 충분합니다.

덧붙임 1 — 바깥쪽에서도 확인. 같은 분할에서 각 조각의 가장 큰 반지름 r(x_k−1)을 쓴 원기둥(외접, 캡을 완전히 덮음)들의 합도 같은 계산으로 n→∞일 때 똑같이 (πh²/3)(3R−h)로 수렴하므로, 안팎에서 조여도 같은 값을 얻습니다.

검산(R=5, h=2, a=3) : n=6이면 내접≈45.96, 외접≈62.72; n=20이면 51.93, 56.96; n=100이면 53.95, 54.96으로, 참값 (π·4/3)(15−2)=52π/3≈54.45에 양쪽에서 좁혀듭니다.

덧붙임 2 — 대안 형태. 379번(r²=h(2R−h), 곧 R=(r²+h²)/(2h))을 대입하면

V = πh²3 (3·r²+h²2h−h)	R=(r²+h²)/(2h) 대입
= πh²3 ⋅ 3(r²+h²)−2h²2h = πh6(3r²+h²)	통분·정리

V = πh²3(3R−h) = πh6(3r²+h²)

로도 쓸 수 있습니다(R을 몰라도 r, h만으로 부피를 구할 수 있는 형태). 검산 : R=5, h=2, r=4이면 (π·2/6)(3·16+4)= π3·52=52π/3으로 위와 정확히 일치합니다.

부피의 원판(리만 합) 2D 정확 단면 — 구간 [a,R](a=R−h)을 n=5등분, 내접(하한, 남색)과 외접(상한, 갈색 점선)

캡 부분만 얇은 원판(원기둥)으로 쌓아 올린 모습(3D 느낌 개략도) — 각 원판의 반지름은 그 높이에서의 실제 단면 반지름 R²−x² 값 그대로 계산

사용 : 378번(정의, a=R−h) · 379번(r²=h(2R−h)) · 3.34의 374번(단면 반지름)·377번(같은 방식의 리만 합) · 3.30의 346번(원기둥의 부피) · 선행학습의 수학적 귀납법(제곱의 합 공식)

증명 끝

chapter:03-geometry section:3.35