3.35 범위 밖(백과사전)
구관(구의 캡)
Spherical Cap
3.34(구)에서 구를 평면으로 자를 때 생기는 교선(374번, 대원·소원·접평면)을 이미 다루었습니다. 이 절에서는 그 평면이 구를 두 조각으로 나눈다는 사실에 주목해, 그 중 한 조각—구관(구의 캡, spherical cap)—의 모양과 크기를 다룹니다. 캡의 높이 h와 밑면(절단면 원)의 반지름 r을 정의하고(378번), 374번으로부터 곧바로 r을 h와 R로 표현합니다(379번). 캡의 축 단면이 3.21(원의 활꼴)과 합동임을 확인한 뒤(380번), 3.34에서 겉넓이·부피를 얻었던 것과 같은 방식—내접 다각형(회전체)의 극한—으로 캡의 옆넓이(381번), 겉넓이(382번), 부피(383번)를 차례로 얻습니다. 이 절의 공식 6개(378~383번)를 정리합니다.
구관(구의 캡) — 반지름 R인 구를 중심 O에서 거리 d=R−h인 평면으로 잘라 얻은 조각. 꼭짓점(위쪽 극)에서 절단면까지의 높이 h, 절단면 원(밑면)의 반지름 r
378정의구관(구의 캡)반지름 R인 공을, 꼭짓점 P₀(지름의 한 끝)에서 축을 따라 거리 h인 곳에서 축에 수직인 평면으로 잘라 얻은 P₀ 쪽 조각 — 높이 h, 밑면(절단면 원)의 반지름 r을 씀 (0<h<2R, d=R−h는 부호 있는 값)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 중심 O, 반지름 R인 구의 한 지름을 축으로 잡고, 그 한 끝을 P₀(캡의 꼭짓점)라 합니다. 축 위에서 P₀로부터 거리 h(0<h<2R)인 점 M을 잡고, M에서 축에 수직인 평면 π로 공(구의 안쪽까지 포함한 입체)을 자릅니다. 이때 π에 대해 P₀와 같은 쪽에 있는 공의 부분(π 위의 점 포함)을 높이 h인 구관 또는 구의 캡(spherical cap)이라 합니다. 캡의 겉면은 구면의 일부인 곡면 부분과, π와 공이 만나는 원판인 밑면으로 이루어집니다. 밑면의 경계는 π와 구가 만나서 생기는 원(3.34의 374번의 소원 또는 대원)이고, 그 반지름을 r이라 씁니다.
축 위의 점을 O를 원점으로, P₀ 쪽을 양의 방향으로 하는 좌표로 나타내면 P₀의 좌표는 R, M의 좌표는 R−h입니다. 이 부호 있는 값을 d=R−h라 씁니다. O에서 π까지의 거리는 OM=|d|이고, d>0이면 M이 O와 P₀ 사이에, d=0이면 M=O(캡은 반구), d<0이면 O가 M과 P₀ 사이에 있습니다(h>R, 반구보다 큰 캡). 어느 경우든 |d|<R이므로 374번에 의해 π는 구와 원에서 만납니다. h=2R이면 π가 반대쪽 극에서 구에 접해 ‘캡’이 공 전체가 되므로 정의에서 뺍니다.
캡의 축 단면 — 꼭짓점 P₀, 중심 O, 절단면의 축 위의 점 M(그림은 d=R−h>0인 경우), 절단면 원 위의 한 점 P(MP=r, OP=R)
379정리밑면의 반지름r² = h(2R−h) (r = h(2R−h))
증명법 : 직접증명법
3.34의 374번에 의해, 중심 O에서 거리 d인 평면과 구의 교선(원)의 반지름은 R²−d²입니다. 378번에서 d=R−h로 놓았으므로, 이를 그대로 대입합니다 :
| r² = R²−d² | 3.34의 374번(평면과 구의 교선, 소원의 반지름) |
| = R²−(R−h)² | 378번(d=R−h) 대입 |
| = R²−(R²−2Rh+h²) | (R−h)² 전개 |
| = 2Rh−h² = h(2R−h) | 정리 · 인수분해 |
r = h(2R−h)
0<h<2R에서 2R−h>0이므로 근호 안이 양수이고, r은 실제로 존재하는(잘 정의된) 양의 실수입니다.
검산 : R=5, h=2이면 r²=2(10−2)=16, r=4로, 3.34 374번의 검산 예시(R=5, d=3, ρ=4)와 d=R−h=5−2=3으로 정확히 이어집니다(3–4–5 직각삼각형). 이 값들(R=5, h=2, r=4)을 이 절의 나머지 정리(381~383번)에서도 검산 예시로 그대로 사용합니다.
직각삼각형 OMP : OM=d=R−h=3, MP=r=4, OP=R=5(3.34 f374의 검산 예시와 동일)
사용 : 378번(구관의 정의, d=R−h) · 3.34의 374번(평면과 구의 교선)
증명 끝
380정리축 단면(원의 활꼴과 합동)캡의 축을 지나는 평면 단면은 대원의 활꼴(3.21)과 합동 — 사기타(화살) h, 반현 r, 중심각의 절반 θ₀은 cosθ₀=(R−h)/R
증명법 : 직접증명법
캡의 축(P₀와 O를 지나는 직선)을 포함하는 평면 π₀를 하나 고정합니다. π₀는 O를 지나므로 3.34의 374번(iii)(d=0인 경우)에 의해 π₀와 구의 교선은 반지름 R인 대원 Γ입니다. 한편 π₀는 캡의 절단면(378번의 π)과도 만나는데, 두 평면이 서로 다르고 평행하지 않으므로(π₀는 π에 수직인 축을 포함) 그 교선은 하나의 직선 ℓ이고, ℓ은 π 위에서 O의 수선의 발 M을 지납니다(M은 축 위의 점이고 축⊂π₀이므로).
ℓ과 대원 Γ의 교점을 A, B라 합시다(ℓ은 Γ의 중심 O로부터 거리 OM=|d|<R만큼 떨어져 있으므로 ℓ은 Γ를 실제로 두 점에서 가로지릅니다). Γ는 π₀ 안에 있고 ℓ=π₀∩π이므로, A, B는 모두 π 위에 있는 동시에 구 위에 있는 점—즉 378번의 밑면 원(반지름 r) 위의 점입니다. 특히 A, B는 이 밑면 원과 평면 π₀의 교점이므로, 직각삼각형 OMA(∠M이 직각)에서 379번과 똑같은 논증(피타고라스 정리, 3.1의 163번)이 그대로 적용되어 MA=MB=r을 얻습니다.
이제 π₀ 안에서 대원 Γ를 현 AB로 자른 두 조각을 보면, 그 중 P₀를 포함하는 쪽(현 AB와, P₀를 지나는 쪽 호로 둘러싸인 영역)이 바로 캡의 축 단면(캡∩π₀)입니다—구관의 정의(378번)에 의해 캡은 “공 가운데 π에 대해 P₀와 같은 쪽(π 위 포함)에 있는 부분”이고, 이는 π₀ 위에서 정확히 “Γ로 둘러싸인 원판 가운데 ℓ에 대해 P₀와 같은 쪽(ℓ 위 포함)에 있는 부분”으로 나타나기 때문입니다. 현과 호로 둘러싸인 이 영역은 3.21의 278번(활꼴의 정의) 그대로이므로, 캡의 축 단면은 대원 Γ의 활꼴과 합동입니다.
이 활꼴의 사기타(화살, 호의 중점에서 현까지의 거리)는 정확히 P₀에서 현 AB까지의 거리이고, P₀, M, O가 모두 축 위에 있으므로 이는 P₀M=h(378번의 정의 그대로)와 같습니다.
이제 θ₀=∠P₀OA(0<θ₀<π)라 합시다. π₀ 위에서 O를 원점으로, 축을 P₀ 쪽이 양인 좌표축으로 잡으면, OA=R이고 OA가 축과 이루는 각이 θ₀이므로 A의 축 위 좌표는 R cosθ₀입니다(삼각함수의 정의). 이 값은 A에서 축에 내린 수선의 발 M의 좌표 d=R−h(378번)와 같으므로
h = R(1−cosθ₀) ⟺ cosθ₀ = R−hR = dR
이고, 이 θ₀가 바로 381번에서 옆넓이를 구할 때 쓰는 “꼭짓점에서 밑면 원까지의 중심각”입니다. h<R(θ₀<π/2)이면 이 식은 3.21의 280번(활꼴의 높이 h=r(1−cos(θ/2)), r=R, θ/2=θ₀)과 같고, 위 좌표 계산은 h≥R인 경우까지 그대로 성립합니다. 또 A에서 축까지의 거리, 곧 반현은 r=R sinθ₀(sinθ₀>0)이고, r²=R²sin²θ₀=R²(1−cos²θ₀)=R²−d²=h(2R−h)로 379번과 정확히 일치합니다(h<R이면 3.21의 279번과 대응).
주의(혼동 방지) : 여기서 말하는 “활꼴”은 어디까지나 축 단면이라는 2차원 평면 도형일 뿐입니다. 이 활꼴 자체의 둘레·넓이(3.21의 281번·282번)는 캡의 옆넓이(381번, 구면이라는 곡면의 넓이)나 부피(383번, 3차원 입체의 부피)와는 전혀 다른 양이며, 서로 대입하거나 혼동해서는 안 됩니다—380번은 오직 축 단면의 모양이 활꼴과 합동이라는 사실만을 말합니다.
캡의 축 단면(강조된 영역) — 대원의 활꼴과 합동, 사기타 h, 반현 r(현 전체 길이 2r)
사용 : 378번(정의) · 379번(MA=MB=r) · 3.34의 374번(대원) · 3.21의 278번(활꼴의 정의)·279번(현의 길이)·280번(활꼴의 높이, h<R일 때의 대응) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
381정리옆넓이(곡면 부분)Slat = 2πRh = π(r²+h²)
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
캡의 곡면 부분은 대원 Γ 위의 호 P₀A를 축 둘레로 돌려 만든 곡면입니다. 그래서 3.34의 376번과 같은 골격을 씁니다. 380번의 자오면 π₀ 위에서, 대원 Γ 위에 꼭짓점 P₀(축과 이루는 각 0)부터 밑면 원의 A(축과 이루는 각 θ₀, cosθ₀=(R−h)/R)까지, 중심각을 n등분한 내접하는 n개의 현으로 이루어진 꺾은선을 그은 뒤, 이를 축 둘레로 돌립니다. 첫 현은 원뿔의 옆면을, 나머지 현은 원뿔대(축에 평행한 현이면 원기둥)의 옆면을 만들며, 이 옆넓이들의 합을 Sn이라 합니다.
현 하나를 돌린 옆넓이는 3.34 376번의 보조정리(현의 회전면)에 의해 2π·(원점에서 현까지의 거리 p)·(그 현의 축 위 투영 길이)입니다. 이 보조정리는 현의 두 끝이 축과 이루는 각이 0≤α<β≤π(β−α<π)이기만 하면 성립하므로, θ₀가 둔각인 경우(h>R)에도 그대로 씁니다.
1단계 — n개의 현이 모두 같은 pn을 가짐. P₀에서 A까지의 각 θ₀을 n등분하면 각 현의 중심각은 Δθn=θ₀/n로 모두 같고, 376번과 같은 이유로 원점에서 각 현까지의 거리는 pn=R cosδn(δn=Δθn/2=θ₀/(2n))으로 모든 현에 대해 같습니다.
2단계 — 축 위 투영의 합. n개의 현은 축 위에서 P₀(축 좌표 R)부터 A(축 좌표 R−h)까지 단조로 이어지므로, 각 현의 축 위 투영 길이를 모두 더하면 텔레스코핑에 의해 정확히 그 총 거리 h=R−(R−h)와 같습니다(n의 크기에 관계없이 항상 정확히 h—376번에서 전체 지름 2R을 얻었던 것과 같은 방식이며, 여기서는 범위가 h로 줄어들 뿐입니다).
| Sn = Σ 2πpn·(투영 길이) = 2πpn·h | pn 공통, 투영의 합=h(1단계·2단계) |
| = 2πRh·cosδn = 2πRh·cosθ₀2n | pn=R cosδn 대입 |
3단계 — 극한. n→∞이면 δn=θ₀/(2n)→0이고 cosδn→cos0=1(3.34 376번과 같은 극한—8.2의 635번 증명 ②단계에서 확립)이므로
Sn → 2πRh·1 = 2πRh
이고, 각 현의 길이 2R sinδn<2Rδn=Rθ₀/n도 0으로 가므로, 3.34 376번의 받아들이는 사실(곡면의 넓이) ①에 의해 캡의 옆넓이(곡면 부분만, 밑면 원판은 제외)는
Slat = lim Sn = 2πRh
덧붙임 1 — 외접(접선)으로도 같은 값. 같은 자오면 위에서, 이번에는 대원에 외접하는 n개의 접선분(원점까지의 거리가 모두 정확히 R, 3.19의 265번)을 이어 만든 꺾은선 — 축 위 P₀ 바깥의 한 점에서 시작해 반직선 OA 위의 점(O에서 거리 R/cosδn)에서 끝남 — 을 돌린 회전체의 옆넓이의 합은 같은 방식으로 Sn′=2πRh/cosδn이 되어(376번의 외접 구성과 같은 계산), 0<cosδn<1이므로 모든 n에 대해 Sn<2πRh<Sn′이고 양쪽 모두 n→∞일 때 2πRh로 수렴합니다.
검산(R=5, h=2, θ₀=arccos(35)≈53.13°) : n=6이면 Sn≈62.64, Sn′≈63.02; n=20이면 62.81, 62.85; n=100이면 62.83, 62.83으로, 참값 2π·5·2=20π≈62.83에 양쪽에서 좁혀듭니다.
덧붙임 2 — 대안 형태. 379번(r²=h(2R−h))을 쓰면 r²+h²=h(2R−h)+h²=2Rh−h²+h²=2Rh이므로,
Slat = 2πRh = π(r²+h²)
로도 쓸 수 있습니다—R을 몰라도 r, h만으로 옆넓이를 구할 수 있는 형태입니다.
꼭짓점 P₀부터 밑면 원의 A, B까지 내접하는 현(n=4) — 참호(옅은 점선)를 안쪽에서 조여감
내접 회전면(n=4)이 캡의 곡면에 가까워지는 모습(3D 느낌 개략도)
사용 : 378번(정의) · 379번(r²=h(2R−h)) · 380번(θ₀) · 3.34의 376번 보조정리(현의 회전면)·받아들이는 사실(곡면의 넓이) ① · 3.19의 265번(덧붙임의 접선) · 8.2의 635번(sinθ<θ, cosθ→1)
증명 끝
382정리겉넓이(곡면+밑면)S = 2πRh + πr² = πh(4R−h)
증명법 : 직접증명법
구관(캡)의 경계는 두 부분—곡면인 구면 조각(381번, 넓이 Slat=2πRh)과 평평한 밑면 원판(반지름 r, 3.19의 263번에 의해 넓이 πr²)—으로 이루어지고, 이 둘은 오직 경계(밑면 원의 둘레)에서만 만나 겹치는 부분이 없으므로, 캡 전체의 겉넓이는 둘을 더한 것입니다(겉넓이는 겉면을 이루는 조각들의 넓이의 합 — 3.30의 345번과 같은 뜻) :
| S = Slat + πr² = 2πRh + πr² | 381번(곡면) + 3.19 f263(밑면 원판) |
| = 2πRh + πh(2R−h) | 379번(r²=h(2R−h)) 대입 |
| = πh(2R+2R−h) = πh(4R−h) | πh 묶어 정리 |
S = 2πRh + πr² = πh(4R−h)
검산 : R=5, h=2, r=4이면 2π·5·2+π·4²=20π+16π=36π, 그리고 π·2·(20−2)=π·2·18=36π로 두 식이 정확히 일치합니다(≈113.10).
겉넓이 = 곡면(구면, 갈색) 넓이 + 밑면(원판, 진한 빨강) 넓이
사용 : 379번(r²=h(2R−h)) · 381번(옆넓이) · 3.19의 263번(원의 넓이) · 3.30의 345번(겉넓이의 뜻)
증명 끝
383정리부피V = πh²3(3R−h) = πh6(3r²+h²)
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
축 위의 점을 중심 O에서 잰 거리 x로 나타내면, 3.34 377번과 같이 x에서 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 374번에 의해 반지름 r(x)=R²−x²인 원입니다. 캡은 정확히 x가 a=R−h부터 R까지인 구간에 대응하므로(378번, a=d), 이 구간에서 원판을 쌓아 부피를 구합니다.
먼저 h≤R(곧 a≥0)인 경우를 1~3단계에서 다루고, h>R은 4단계에서 이 경우로 돌립니다.
1단계 — 원기둥으로 안쪽에서 채움(h≤R). 구간 [a,R]을 n등분해 Δ=h/n(구간의 길이가 R−a=h이므로), xk=a+kΔ(k=0,1,…,n)이라 합니다. a≥0이므로 r(x)는 [a,R]에서 x에 대해 감소하고, k번째 조각 [xk−1,xk] 안에서 반지름 r(xk)(그 조각에서 가장 작은 반지름), 높이 Δ인 원기둥(3.30의 346번, V=πr²h)은 그 조각 전체가 캡 안에 완전히 들어갑니다(내접). n개를 모두 더한 것을 Vn이라 하면
| Vn = πΔ Σk=1n r(xk)² = πΔ Σ(R²−(a+kΔ)²) | 원기둥 부피의 합, xk=a+kΔ |
| = πΔ Σ(R²−a²−2akΔ−k²Δ²) | (a+kΔ)² 전개 |
| = πΔn(R²−a²) − 2πaΔ² Σk=1nk − πΔ³ Σk=1nk² | 항별로 Σ 분리 |
Δn=h이고 R²−a²=R²−(R−h)²=h(2R−h)(379번과 같은 전개)이므로 첫째 항은 πh·h(2R−h)=πh²(2R−h)입니다. Σk=n(n+1)/2, Σk²=n(n+1)(2n+1)/6(선행학습의 수학적 귀납법으로 증명되는 표준 항등식)을 대입하면
| Vn = πh²(2R−h) − πaΔ²n(n+1) − πΔ³ n(n+1)(2n+1)6 | Σk, Σk² 대입 |
| = πh²(2R−h) − πah² n+1n − πh³ (n+1)(2n+1)6n² | Δ=h/n 대입, aΔ²n(n+1)=ah²(n+1)/n 정리 |
2단계 — 극한. n→∞이면 (n+1)/n→1, (n+1)(2n+1)/(6n²)→26=13이므로
Vn → πh²(2R−h) − πah² − πh³3
이고, a=R−h를 대입해 이 극한값을 정리하면
| lim Vn = πh²(2R−h) − π(R−h)h² − πh³3 | a=R−h 대입 |
| = 2πRh²−πh³ − πRh²+πh³ − πh³3 | 전개(첫 두 항) |
| = πRh² − πh³3 = πh²3(3R−h) | −πh³+πh³ 소거, πh²/3 묶기 |
3단계 — 바깥쪽 원기둥과 조임. 같은 분할에서 각 조각의 가장 큰 반지름 r(xk−1)을 쓴 원기둥(외접)들은 캡을 완전히 덮고, 그 합 Vn′은 Vn과 첫 항·끝 항만 달라
Vn′ − Vn = πΔ(r(a)² − r(R)²) = πhr²n
입니다(r(a)=r은 밑면의 반지름). 3.34 377번과 같은 이유(3.22의 285번 ②, 부피의 단조성)로 Vn ≤ V ≤ Vn + πhr²/n이고, 양 끝이 모두 위의 극한값으로 가므로 조임(11.4의 보조정리)에 의해
V = πh²3(3R−h) (h≤R)
입니다. h=R이면 2πR³/3으로 3.34 377번의 반구와 같습니다.
4단계 — h>R(곧 a<0) : 공에서 반대쪽 캡을 뺌. 이때는 [a,0]에서 r(x)가 증가하므로 1단계의 원기둥이 캡 밖으로 나갈 수 있습니다(예: R=5, h=8, n=6이면 처음 두 조각). 대신 축의 반대쪽 끝 P₀′을 꼭짓점으로 하는 높이 h′=2R−h인 캡을 봅니다. P₀′에서 같은 점 M까지의 거리가 2R−h이므로 이 캡은 같은 평면 π로 자른 반대쪽 조각이고, 공은 두 캡으로 나뉘며 둘은 밑면 원판만 공유합니다. h′<R이므로 h′의 캡에는 1~3단계를 쓸 수 있고, 285번 ②과 3.34 377번에 의해
| V = 43πR³ − πh′²3(3R−h′) | 공 = 높이 h인 캡 + 높이 h′인 캡 |
| = π3[4R³ − (2R−h)²(R+h)] | h′=2R−h, 3R−h′=R+h |
| = π3[4R³ − (4R³−3Rh²+h³)] = πh²3(3R−h) | (2R−h)²(R+h) 전개 |
로 h≤R일 때와 같은 식입니다. 따라서 0<h<2R 전체에서
V = πh²3(3R−h)
검산(R=5, h=2, a=3) : n=6이면 Vn≈45.96, Vn′≈62.72; n=20이면 51.93, 56.96; n=100이면 53.95, 54.96으로, 참값 (π·43)(15−2)=52π/3≈54.45에 양쪽에서 좁혀듭니다. h>R인 예(R=5, h=8)는 공의 부피 500π/3≈523.60에서 높이 2인 캡 52π/3을 뺀 448π/3≈469.14로, (π·64/3)(15−8)=448π/3과 같습니다.
덧붙임 2 — 대안 형태. 379번(r²=h(2R−h), 곧 R=(r²+h²)/(2h))을 대입하면
| V = πh²3 (3·r²+h²2h−h) | R=(r²+h²)/(2h) 대입 |
| = πh²3 ⋅ 3(r²+h²)−2h²2h = πh6(3r²+h²) | 통분·정리 |
V = πh²3(3R−h) = πh6(3r²+h²)
로도 쓸 수 있습니다(R을 몰라도 r, h만으로 부피를 구할 수 있는 형태). 검산 : R=5, h=2, r=4이면 (π·26)(3·16+4)= π3·52=52π/3으로 위와 정확히 일치합니다.
부피의 원판(리만 합) 2D 정확 단면 — 구간 [a,R](a=R−h)을 n=5등분, 내접(하한, 남색)과 외접(상한, 갈색 점선)
캡 부분만 얇은 원판(원기둥)으로 쌓아 올린 모습(3D 느낌 개략도) — 각 원판의 반지름은 그 높이에서의 실제 단면 반지름 R²−x² 값 그대로 계산
사용 : 378번(정의, a=R−h) · 379번(r²=h(2R−h)) · 3.34의 374번(단면 반지름)·377번(같은 방식의 조임, 구의 부피) · 3.30의 346번(원기둥의 부피) · 3.22의 285번(부피의 공리 ②) · 선행학습의 수학적 귀납법(제곱의 합 공식) · 11.4의 보조정리(조임)
증명 끝